统计专题论文

基于无偏灰色模糊马尔可夫链法的股价预测方法探究

———以万科A股为例

姓名： 彭冲

班级： 统计2班

日期： 2012年1月7日

基于无偏灰色模糊马尔可夫链法的股价预测方法探究

———以万科A股为例

摘要：本文在灰色预测GM（1,1）模型的基础上结合模糊集理论和马尔可夫预测模型和无偏理论，针对传统灰色马尔可夫预测模型在灰色偏差和抗干扰性上的不足，将无偏理论和模糊集理论引入该模型，从状态分类和趋势曲线灰色模拟上对传统的灰色马尔可夫预测模型加以改进。理论分析和实证算例表明，该方法具有相当高的精确度，对于投资者的决策也有着一定的指导意义。

关键词： 无偏；模糊集理论；灰色预测GM（1,1）模型，马尔可夫链

一、研究背景与现状：

在过去的几十年里，金融市场尤其是股票市场在中国得到了巨大的发展。国际和国内对于股票的研究中也提出了不少股价预测分析的模型。传统的股票预测模型有时间序列模型，金融资产定价模型，神经网络预测方法等，而灰色系统模型是一种典型的针对少数据、小样本不确定性问题的模型。灰色系统模型由我国学者邓聚龙教授于上世纪80年代提出，经过多年的发展，基于灰色建模理论的灰色数列预测方法，在理论方法及实际运用方面均取得较大的发展，成为许多领域进行系统分析、建模、预测的一种崭新方法。然而，随着学者对灰色预测理论研究的不断深入，许多学者发现灰色预测存在一些局限性。传统的灰色系统由于其原始数据的起伏性和无序性，再加上小样本的局限，很难将预测带限制在一个较小的范围之内，导致灰色预测模型的预测精度在很多情况下都是不理想的。在后来的研究中发现，通过对灰色预测模型的结果进行马尔可夫链改进来提高其预测的准确性。鉴于灰色预测适合于时间短、数据量少和波动不大的系统对象，而马尔可夫链理论适用于预测随机波动大的动态过程。国内外学者结合灰色预测和马尔可夫链理论的优点，提出灰色马尔可夫链模型，在实际研究中取得了比单一运用灰色预测模型更好的预测效果。同时，有文献提出了无偏 GM (1 ,1) 模型 ,它是一种具有白指数律重合性、伸缩变换一致性和平移变换一致性的新型指数模型 。与传统 GM (1 ,1) 模型相比 ,它不存在传统 GM (1 ,1) 模型所固有的偏差与不足 ,其应用范围也较传统 GM (1 ,1) 模型广泛。此外 ,无偏 GM (1 ,1) 模型无需进行累减还原 ,简化了建模步骤 ,提高模型计算速度。

二、理论分析以及模型建立：

无偏灰色模糊马尔可夫链模型的建立主要步骤为无偏GM（1,1）的建立，模糊分类，各类转移矩阵的求解，马尔可夫残差修正。以下按照无偏灰色模糊马尔可夫预测模型的建立步骤，对各个部分的理论基础加以阐述。

2.1.无偏GM(1,1)

2.1.1数据检验与处理：

假定，给定了原始时间序列：

，

计算时间序列的级比：。如果所有的级比都落在一个可容覆盖内，则序列可以用于构造GM(1,1)模型，否则要对进行变换，使序列全部落入可溶覆盖的范围内，方法为以适当的常数c对序列进行平移变换：

使得新序列的级比满足条件：

。

2.1.2构造1-AGO序列：

即对原始序列进行一次累加生成新的序列（如果原始序列不能满足级比条件，则对调整后的新序列进行变换）：

构造新序列为：

，

其中：，

2.1.3构造均值序列：

均值序列，即依一次累加原始时间序列的一次相邻项的移动平均：

，

其中,。

2.1.4建立灰色微分方程：

，

它所对应的白化微分方程为：

，其中，是传统灰色系数。

2.1.5求解传统灰色系数：

采用最小二乘法求解灰色系数，记：

，，

则可计算传统灰色系数

进而计算无偏灰色系数：

2.1.6建立无偏灰色模型预测曲线：

2.2灰色预测模型的检验

这里对求解出的灰色预测模型用三种方法进行检验：残差检验，关联度检验，后验差检验。

2.1.1 残差检验

计算原始序列和预测序列的绝对残差序列，及相对残差序列，其中，并计算平均相对残差。给定0.01，0.05，0.1，如果满足成立时，称模型为残差合格模型，且模型的检验结果分别为优、合格、勉强合格。

2.2.2 关联度检验

在绝对残差序列的基础上计算关联系数：

，

计算关联度：。根据经验，在时，关联度大于0.6便是满意的。

2.2.3后验差检验：

计算原始序列的均方差： ，残差的均方差：，方差比，小残差概率。

令，，即。对于给定的，当时，称模型为均方差比合格模型。对给定的，当时，称模型为小残差概率合格模型。参考下表:

2.3模糊分类

模糊集理论应用的核心是如何合理的确定隶属函数由于工程实际问题往往资料缺乏或收集困难，确定隶属函数很困难，因此广泛使用梯形或三角形隶属函数。这种隶属函数具有形式简单，对数据信息要求低的优点。

将原始时间序列与预测序列的相对残差作为分类划分的标准，将系统划分为m个状态。任意的一个状态可以表示为如下的形式： ，式中，、分别为第个划分标准相对残差的上下限；、分别为第个状态的取值区域上下限。

由三角形隶属函数法得到的隶属函数为：

故，系统的每个数据的状态可以用一个向量加以表示，为，称为模糊状态向量。

2.4求解状态转移矩阵

采用最大隶属原则，这一点也很好理解。在最大隶属原则下，确定每个相对残差所属的状态，计算状态转移概率，得到状态转移概率矩阵：

其中，。式中的是状态一步转移到状态的个数，为处于的原始数据的个数， 是对应的一步转移概率。

2.5模糊马尔可夫残差修正

由各个时刻的相对残差以及关于各模糊状态的隶属度，我们可以知道相对残差序列在n+1时刻仍然是一个迷糊向量，有，表示各个分量在n+1时刻相对残差对各个模糊集的隶属度大小，以该隶属度作为权，加权求和得到，则第n+1时刻的预测值为。

三、实证分析

现以万科A股2011年12月1日-12月28日收盘价为例，进行万科A股的收盘价预测，即用2011年12月的20个交易日的收盘价预测2011年最后两个交易日（12月29日、30日）的收盘价。原始数据如下表：

表1 万科A股2011年12月1日-12月28日收盘价：

判断原始序列满足所有级比都落在规定的区间（0.909156,1.099921）内，可以建立无偏灰色预测模型。

求解无偏GM（1,1）模型。首先计算1-AGO序列，如下表：

表2 依次累加1-AGO序列：

计算传统灰色系数：

调整传统灰色系数，得到无偏灰色系数为：

，

由无偏灰色方程得到预测序列：

表3 预测序列：

进而得到残差检验，得到绝对残差序列、相对绝对残差序列和相对残差序列：

表4 绝对残差、相对绝对残差、相对残差序列：

对模型检验：

1. 平均相对残差0.013201<0.05，且=0.0098<0.05，通过残差检验；

2. 关联度大小为0.6319>0.6，在的条件下，通过关联度检验；

3. 原始序列均方差0.12347，绝对残差序列均方差为0.06999，得到均方比0.321347<0.35，结果是优的；计算小残差概率为0.85，模型检验也是合格的，通过后验差检验。

模型通过了检验。根据马尔可夫链随机过程分析方法的经验和相对残差大小的分布情况来看，可以将状态进行划分，划分标准如下表：

表5 状态划分标准

状态分类描述：

状态1：相对残差的幅度为，表示预测股价对实际的严重低估；

状态2：相对残差的幅度为，表示预测股价对实际的轻度低估；

状态3：相对残差的幅度为，表示预测股价与实际较为吻合；

状态4：相对残差的幅度为，表示预测股价对实际的轻度高估；

状态5：相对残差的幅度为，表示预测股价对实际的严重高估。

五种状态在过去的20期数据中，分别出现了0，3，15，2，0次。由于状态1和状态5在过去的20期中从未出现，因此只考虑剩余的三个状态。将状态2~4定义为模糊集，构造每个模糊集的隶属函数（采用三角形构造法），隶属函数如下：

计算各期数据的模糊状态向量，并根据最大隶属原则确定每一个点所属的状态。模糊状态向量如下表：

表6 模糊状态向量

由最大隶属原则可判断各期分别为状态3,3,3,3,3,3,4,3,2,2,2,3,3,3,3,3,4,3,3,3，并可以此为据建立马尔可夫一次转移矩阵：，进而求得一次转移概率矩阵：。

2011年12月28日万科A股的收盘价预测相对残差为-0.0098，状态模糊向量为(0.2462, 0.7538, 0.0000)，计算得到12月29日和12月30日的模糊向量分别是(0.2180,0.6743,0.1077),(0.1935,0.7102,0.0964),计算得到预测的相对残差值分别是-0.0044,-0.0039，通过模糊马尔可夫修正，得到最终预测股价为7.30,7.39。

实际上，对照实际来看，2011年12月29日和30日，万科A股的收盘价分别为7.33, 7.47，相对残差分别为0.0041和0.0107，小于股票的平均绝对跌涨幅率，预测精度都是十分的精确。

四、结论

通过对过去20个交易日的万科A股收盘价的分析，建立无偏灰色模型，并由模型模拟的残差设定股价状态的模糊集，得到模糊马尔可夫残差修订模型。该模型较为准确地预测了2011年最后两个交易日万科A股的收盘价，预测精度接近或超过99%。由此可以将该模型进行推广，基于无偏灰色模糊马尔可夫链的股票预测方法能够预测万科A股，也能够 应用到对其他股票，对股票指数的预测。当然，在满足模型前提条件的情况下，模型还能够预测其他的时间序列的发展趋势，比如河流的径流量，能源的消耗量，出境人口，景点吸引的游客量等。

当然，股票市场的随机波动是永恒的，想要完全预测股票的将来情况也是不可能的，我们能做的仅仅是通过科学的方法对股价的未来发展趋势做一个大致方向和程度的判断。该方法具有理论依据和使用价值，值得进一步的研究。基于无偏无色模糊马尔可夫链的股票预测模型具有较高的精度，对于投资者和决策者来说，都具有一定的指导意义和参考价值。

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