2019-2020学年七年级数学下册期末测试卷

一、选择题：（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a6 B．3a﹣a＝3 C．（b3）2＝b9 D．x6÷x2＝x4

2．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）

A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4

3．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）如图字母B所代表的正方形的面积是（　　）

A．12 B．13 C．144 D．194

5．（3分）大肠杆菌的长度平均约为0.0000014米，把这个数用科学记数表示正确的是（　　）米．

A．1.4×106 B．1.4×10﹣5 C．14×10﹣7 D．1.4×10﹣6

6．（3分）下列整式运算正确的是（　　）

A．（a+b）（a+b）＝a2+b2

B．（﹣a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

D．（+a+b）（﹣a﹣b）＝a2+2ab+b2

7．（3分）若x2﹣mx+是完全平方式，则m的值是（　　）

A．4 B．﹣4 C．±1 D．±4

8．（3分）如图所示，利用尺规作∠AOB的平分线，做法如下：①在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（　　）

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS

9．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝5cm，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则△ABE的周长是（　　）

A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm

10．（3分）小明同学放学回家，从校门口步行一段时间到公交车站，在公交车站等一会儿才上了公交车，到终点站后再步行一段时间回到家中，下面几幅图最能刻画这一过程的是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

11．（4分）计算（2019﹣π）0＝　 　．

12．（4分）如图，AB∥CD，∠BEF＝110°，则∠CDF的度数为　 　．

13．（4分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为　 　．

14．（4分）如图，C、D点在BE上，∠1＝∠2，BD＝EC请补充一个条件：　 　，使△ABC≌△FED．

三.解答题（共54分）

15．（12分）（1）计算

（2）计算m（m﹣4n）﹣（m﹣2n）（m+2n）

16．（7分）先化简再求值：x[（x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y（2y﹣x）]÷（﹣2y），其中x＝﹣，y＝﹣2

17．（8分）已知：如图，BD∥AF∥CE，∠ABD＝50°，∠ACE＝36°，AP是∠BAF的平分线，求∠PAC的度数．

18．（8分）某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级2班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置、25个空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题

（1）该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是多少？

（2）该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是多少？

（3）后来，该班同学强烈呼吁名额太少，要求抽到甲类的概率要达到20%，则还要争取甲类名额多少个？

19．（9分）声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表

（1）此表反映的是变量　 　随　 　变化的情况．

（2）请直接写出y与x的关系式为　 　．

（3）当气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，求此人与烟花燃放所在地的距离．

20．（10分）如图1，△ABC中，AB＝AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M．

（1）探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由；

（2）求证：BM＝DM+DC；

（3）如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论．

二、填空题；（每小题4分共20分）

21．（4分）已知am＝3，an＝2，则a﹣m﹣n＝　 　．

22．（4分）如果在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，那么这两个三角形全等，这个事件是　 　事件．（填“随机”“不可能”或“必然”）

23．（4分）将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2＝　 　°．

24．（4分）已知：（n＝1，2，3，…），记b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2），…，bn＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣an），则通过计算推测出bn的表达式bn＝　 　．（用含n的代数式表示）

25．（4分）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为　 　，最小值为　 　．

二、解答题（共30分）

26．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN．

（1）若Rt△ABC的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？

（2）若正方形EFMN的边长为8，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．

27．（10分）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、BC三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，经过7min同时到达C点，乙机器人始终以60m/min的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（m）与他们的行走时间x（min）之间的图象，请结合图象，回答下列问题．

（1）A、B两点之间的距离是　 　m，甲机器人前2min的速度为　 　m/min．

（2）若前3min甲机器人的速度不变，求出前3min，甲、乙两机器人之间的距离y（m）与他们的行走时间r（min）之间的关系式．

（3）求出两机器人出发多长时间相距28m．

28．（12分）在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD．

（2）如图1，在（1）的条件下，若CD＝2BD，S△ABD＝10，求△BCE的面积．

（3）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，猜想线段AB、AC、AN之间的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

参考答案与试题解析

一、选择题：（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a6 B．3a﹣a＝3 C．（b3）2＝b9 D．x6÷x2＝x4

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则和合并同类项法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；

B、3a﹣a＝2a，故此选项错误；

C、（b3）2＝b6，故此选项错误；

D、x6÷x2＝x4，正确．

故选：D．

2．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）

A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4

【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．

【解答】解：A、1+1＝2，不能组成三角形，故A选项错误；

B、1+2＞2，能组成三角形，故B选项正确；

C、1+2＝3，不能组成三角形，故C选项错误；

D、1+2＜4，不能组成三角形，故D选项错误；

故选：B．

3．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形概念对各图形分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、图形不是轴对称图形，此选项错误；

B、图形不是轴对称图形，此选项错误；

C、图形是轴对称图形，此选项正确；

D、图形不是轴对称图形，此选项错误；

故选：C．

4．（3分）如图字母B所代表的正方形的面积是（　　）

A．12 B．13 C．144 D．194

【分析】由图可知在直角三角形中，已知斜边和一直角边，求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．

【解答】解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方＝169，一直角边的平方＝25，

根据勾股定理知，另一直角边平方＝169﹣25＝144，即字母B所代表的正方形的面积是144．

故选：C．

5．（3分）大肠杆菌的长度平均约为0.0000014米，把这个数用科学记数表示正确的是（　　）米．

A．1.4×106 B．1.4×10﹣5 C．14×10﹣7 D．1.4×10﹣6

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.0000014＝1.4×10﹣6．

故选：D．

6．（3分）下列整式运算正确的是（　　）

A．（a+b）（a+b）＝a2+b2

B．（﹣a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

D．（+a+b）（﹣a﹣b）＝a2+2ab+b2

【分析】利用平方差公式及完全平方公式判断即可．

【解答】解：A、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；

B、原式＝﹣a2+2ab﹣b2，不符合题意；

C、原式＝a2﹣b2，符合题意；

D、原式＝﹣a2﹣2ab﹣b2，不符合题意，

故选：C．

7．（3分）若x2﹣mx+是完全平方式，则m的值是（　　）

A．4 B．﹣4 C．±1 D．±4

【分析】根据完全平方式的结构是：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两种，据此即可求解．

【解答】解：∵x2﹣mx+是完全平方式，

∴原式＝（x）2

∴m＝±1．

故选：C．

8．（3分）如图所示，利用尺规作∠AOB的平分线，做法如下：①在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（　　）

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS

【分析】利用基本作图得到OE＝OD，CE＝CD，加上公共边线段，则利用“SSS”可证明△EOC≌△DOC，于是有∠EOC＝∠DOC．

【解答】解：由作法得OE＝OD，CE＝CD，

而OC＝OC，

所以△EOC≌△DOC（SSS），

所以∠EOC＝∠DOC，即射线OC就是∠AOB的角平分线．

故选：A．

9．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝5cm，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则△ABE的周长是（　　）

A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，进而可得AE+BE＝BC＝5，进而可得答案．

【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，

∴AE＝CE，

∵BC＝5，

∴BE+CE＝5，

∵AB＝3，

∴△ABE的周长为3+5＝8cm，

故选：B．

10．（3分）小明同学放学回家，从校门口步行一段时间到公交车站，在公交车站等一会儿才上了公交车，到终点站后再步行一段时间回到家中，下面几幅图最能刻画这一过程的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据题意判断出离家距离随时间的变化趋势，然后再结合选项可得答案．

【解答】解：小明从学校回家，从校门口步行一段时间到公交车站，因此离家距离随时间的增长而减小，

在公交车站等一会儿才上了公交车，因此时间在增加，离家距离不变，

坐上了公交车直至到终点站，因此离家距离随时间的增长而减小，

到终点站后再步行一段时间回到家中，速度减小，所以离家距离随时间的增长而减小但此时图象倾斜度变小，

故选：A．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

11．（4分）计算（2019﹣π）0＝　1　．

【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．

【解答】解：原式＝1．

故答案为：1．

12．（4分）如图，AB∥CD，∠BEF＝110°，则∠CDF的度数为　70°　．

【分析】根据平行线的性质解答即可．

【解答】解：∵AB∥CD，∠BEF＝110°，

∴∠CDF＝∠AED＝180°﹣∠DEB＝70°，

故答案为：70°．

13．（4分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为　120°或20°　．

【分析】设两个角分别是x，4x，根据三角形的内角和定理分情况进行分析，从而可求得顶角的度数．

【解答】解：设两个角分别是x，4x

①当x是底角时，根据三角形的内角和定理，得x+x+4x＝180°，解得，x＝30°，4x＝120°，即底角为30°，顶角为120°；

②当x是顶角时，则x+4x+4x＝180°，解得，x＝20°，从而得到顶角为20°，底角为80°；

所以该三角形的顶角为120°或20°．

故答案为：120°或20°．

14．（4分）如图，C、D点在BE上，∠1＝∠2，BD＝EC请补充一个条件：　AC＝DF　，使△ABC≌△FED．

【分析】条件是AC＝DF，求出BC＝DE，根据SAS推出即可．

【解答】解：条件是AC＝DF，

理由是：∵BD＝CE，

∴BD﹣CD＝CE﹣CD，

∴BC＝DE，

在△ABC和△FED中，

，

∴△ABC≌△FED（SAS），

故答案为：AC＝DF．

三.解答题（共54分）

15．（12分）（1）计算

（2）计算m（m﹣4n）﹣（m﹣2n）（m+2n）

【分析】（1）先根据负整数指数幂，绝对值，积的乘方进行计算，再求出即可；

（2）先算乘法，再合并同类项即可．

【解答】解：（1）原式＝4﹣2+2＝4；

（2）原式＝m2﹣4mn﹣m2﹣2mn+2mn+4n2

＝﹣4mn+4n2．

16．（7分）先化简再求值：x[（x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y（2y﹣x）]÷（﹣2y），其中x＝﹣，y＝﹣2

【分析】先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．

【解答】解：x[（x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y（2y﹣x）]÷（﹣2y）

＝x[x2+2xy+y2﹣x2+y2﹣4y2+2xy]÷（﹣2y）

＝x[4xy﹣2y2]÷（﹣2y）

＝﹣2x2+xy，

当x＝﹣，y＝﹣2时，原式＝﹣2×（﹣）2+（﹣）×（﹣2）＝．

17．（8分）已知：如图，BD∥AF∥CE，∠ABD＝50°，∠ACE＝36°，AP是∠BAF的平分线，求∠PAC的度数．

【分析】利用平行线的性质角平分线的定义求出∠PAF，∠CAF即可．

【解答】解：∵BD∥AF∥CE，

∴∠ABD＝∠FAB＝50°，∠FAC＝∠ACE＝36°，

∵PA平分∠BAF，

∴∠PAF＝∠BAF＝25°，

∴∠PAC＝∠PAF+∠CAF＝25°+36°＝61°．

18．（8分）某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级2班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置、25个空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题

（1）该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是多少？

（2）该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是多少？

（3）后来，该班同学强烈呼吁名额太少，要求抽到甲类的概率要达到20%，则还要争取甲类名额多少个？

【分析】（1）（2）直接利用概率公式计算；

（3）设还要争取甲类名额x个，利用概率公式得到＝20%，然后解方程求出x即可．

【解答】解：（1）该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率＝＝；

（2）该班小丽同学能有幸去参加实践活动的概率＝＝；

（3）设还要争取甲类名额x个，

根据题意得＝20%，解得x＝6，

答：要求抽到甲类的概率要达到20%，则还要争取甲类名额6个．

19．（9分）声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表

（1）此表反映的是变量　音速　随　气温　变化的情况．

（2）请直接写出y与x的关系式为　y＝x+331　．

（3）当气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，求此人与烟花燃放所在地的距离．

【分析】（1）由已知可得出此表反映的是变量音速随气温变化的情况．

（2）先设函数解析式为y＝kx+b，根据题意取2组x，y的值代入利用待定系数法求解即可；

（3）把x的值代入（2）中所求的代数式可求出对应的y值，从而判断此人与烟花燃放所在地的距离．

【解答】解：（1）由已知可得出此表反映的是变量音速随气温变化的情况．

故答案为：音速、气温；

（2）设y＝kx+b，则，

解得：，

∴y＝x+331；

故答案为：y＝x+331；

（3）∵当x＝22时，y＝×22+331＝344，

∴距离为344×5＝1721（米）

答：此人与烟花燃放所在地的距离为1721米．

20．（10分）如图1，△ABC中，AB＝AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M．

（1）探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由；

（2）求证：BM＝DM+DC；

（3）如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论．

【分析】（1）由三角形内角和定理得出∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC﹣∠ABE）﹣（∠ACB+∠ACF），又∠ABE＝∠ACF，则∠BDC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝∠CAB；

（2）作AN⊥CF于N，连接AD，易证∠AMB＝∠ANC＝90°，由AAS证得△AMB≌△ANC得出BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，由HL证得Rt△AMD≌Rt△AND得出DM＝DN，即可得出结论；

（3）作AN⊥CF于N，连接AD，易证∠AMB＝∠ANC＝90°，由AAS证得△AMB≌△ANC得出BM＝CN＝DN﹣DC，AM＝AN，由HL证得Rt△AMD≌Rt△AND得出DM＝DN，即可得出结论．

【解答】（1）解：∠BDC＝∠CAB；理由如下：

∵∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC﹣∠ABE）﹣（∠ACB+∠ACF），∠ABE＝∠ACF，

∴∠BDC＝180°﹣（∠ABC﹣∠ABE）﹣（∠ACD+∠ACF）＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣∠ACF+∠ABE＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝∠CAB；

（2）证明：作AN⊥CF于N，连接AD，如图1所示：

∵AM⊥BD，

∴∠AMB＝∠ANC＝90°，

在△AMB和△ANC中，，

∴△AMB≌△ANC（AAS）

∴BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，

在Rt△AMD和Rt△AND中，，

∴Rt△AMD≌Rt△AND（HL）

∴DM＝DN，

∴BM＝DM+DC；

（3）不成立，BM＝DM﹣DC；理由如下：

作AN⊥CF于N，连接AD，如图2所示：

∵AM⊥BD，

∴∠AMB＝∠ANC＝90°，

在△AMB和△ANC中，，

∴△AMB≌△ANC（AAS），

∴BM＝CN＝DN﹣DC，AM＝AN，

在Rt△AMD与Rt△AND中，，

∴Rt△AMD≌Rt△AND（HL），

∴DM＝DN，

∴BM＝DM﹣DC．

二、填空题；（每小题4分共20分）

21．（4分）已知am＝3，an＝2，则a﹣m﹣n＝　　．

【分析】原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．

【解答】解：∵am＝3，an＝2，

∴原式＝＝，

故答案为：

22．（4分）如果在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，那么这两个三角形全等，这个事件是　随机　事件．（填“随机”“不可能”或“必然”）

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

【解答】解：如果在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，那么这两个三角形全等，这个事件是随机事件．

故答案为：随机

23．（4分）将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2＝　110　°．

【分析】根据平行线的性质得到∠3＝∠1＝40°，∠2+∠4＝180°，由折叠的性质得到∠4＝∠5，即可得到结论．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠3＝∠1＝40°，∠2+∠4＝180°，

∵∠4＝∠5，

∴∠4＝∠5＝（180°﹣40°）＝70°，

∴∠2＝110°，

故答案为：110°．

24．（4分）已知：（n＝1，2，3，…），记b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2），…，bn＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣an），则通过计算推测出bn的表达式bn＝　　．（用含n的代数式表示）

【分析】根据题意按规律求解：b1＝2（1﹣a1）＝2×（1﹣）＝＝，

b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2）＝×（1﹣）＝＝，

…．所以可得：bn的表达式bn＝．

【解答】解：根据以上分析bn＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣an）＝．

25．（4分）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为　15　，最小值为　12　．

【分析】设AE＝m，CF＝n，则m+n＝y，用m、n及x表示出△ABD及△CBD的面积，根据S△ABC＝S△ABD+S△CBD即可得到m+n关于x的反比例函数关系式．根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB＝13，BC＝14，所以当BD＝BC＝14时，x最大．从而根据反比例函数的性质求出y的最大值和最小值；

【解答】解：设设BD＝x，AE+CF＝y，AE＝m，CF＝n，则m+n＝y，

∵由三角形面积公式，得S△ABD＝BD•AE＝xm，S△CBD＝BD•CF＝xn，

∴m＝，n＝，

∴y＝m+n＝+＝＝，即y＝．

∵△ABC中AC边上的高为＝＝，

∴x的取值范围为≤x≤14．

∵m+n随x的增大而减小，

∴当x＝时，y的最大值为15，当x＝14时，y的最小值为12．

故答案为：15，12．

二、解答题（共30分）

26．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN．

（1）若Rt△ABC的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？

（2）若正方形EFMN的边长为8，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．

【分析】（1）根据勾股定理得到c，根据概率公式即可得到结论；

（2）根据题意求出c，得到a+b的值，根据三角形的面积公式、完全平方公式计算，得到答案．

【解答】解：（1）∵Rt△ABC的两直角边之比均为2：3，

∴设b＝2k，a＝3k，

由勾股定理得，a2+b2＝c2，

∴c＝k，

∴针尖落在四个直角三角形区域的概率是＝；

（2）∵正方形EFMN的边长为8，即c＝8，

∵Rt△ABC的周长为18，

∴a+b+c＝18，

∴a+b＝10，

则Rt△ABC的面积＝ab

＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]

＝9．

27．（10分）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、BC三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，经过7min同时到达C点，乙机器人始终以60m/min的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（m）与他们的行走时间x（min）之间的图象，请结合图象，回答下列问题．

（1）A、B两点之间的距离是　70　m，甲机器人前2min的速度为　95　m/min．

（2）若前3min甲机器人的速度不变，求出前3min，甲、乙两机器人之间的距离y（m）与他们的行走时间r（min）之间的关系式．

（3）求出两机器人出发多长时间相距28m．

【分析】（1）根据图象结合题意，即可得出A、B两点之间的距离是70m．设甲机器人前2min的速度为xm/min，根据2分钟甲追上乙列出方程，即可求解；

（2）先求出F点的坐标，再设线段EF所在直线的函数解析式为y＝kx+b，将E、F（3，35）两点的坐标代入，利用待定系数法即可求解；

（3）设D（0，70），H（7，0），根据图象可知两机器人相距28m时有三个时刻（0～2，2～3，4～7）分别求出DE所在直线的解析式、GH所在直线的解析式，再令y＝28，列出方程求解即可．

【解答】解：（1）由题意，可得A、B两点之间的距离是70m．

设甲机器人前2min的速度为xm/min，

根据题意，得2（x﹣60）＝70，解得x＝95．

故答案为70，95；

（2）若前3min甲机器人的速度不变，由（1）可知，前3min甲机器人的速度为95m/min，

则F点纵坐标为：（3﹣2）×（95﹣60）＝35，即F（3，35）．

设线段EF所在直线的函数解析式为y＝kx+b，

将E（2，0），F（3，35）代入，

，解得，

则线段EF所在直线的函数解析式为y＝35x﹣70；

（3）如图，设D（0，70），H（7，0）．

∵D（0，70），E（2，0），

∴线段DE所在直线的函数解析式为y＝﹣35x+70，

∵G（4，35），H（7，0），

∴线段GH所在直线的函数解析式为y＝﹣，

设两机器人出发tmin时相距28m，

由题意，可得﹣35x+70＝28，或35x﹣70＝28，或，

解得t＝1.2，或t＝2.8，或t＝4.6．

即两机器人出发1.2或2.8或4.6min时相距28m．

28．（12分）在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD．

（2）如图1，在（1）的条件下，若CD＝2BD，S△ABD＝10，求△BCE的面积．

（3）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，猜想线段AB、AC、AN之间的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

【分析】（1）角平分线的定义得出∠BAD＝∠CAD，由平行线的性质得出∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，则∠E＝∠ACE，由等腰三角形的性质得出AC＝AE，AF⊥EC，推出∠AFE＝∠FAD＝90°，即可得出结论；

（2）求出BC＝3BD，证出△ABD∽△EBC，则＝（）2＝，即可得出结果；

（3）延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，则∠MBF＝∠C，∠F＝∠MNC，由中点得出BM＝CM，由AAS证得△BFM≌△CNM得出BF＝CN，由MN∥AD，得出∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠MNC＝∠ANE，则∠E＝∠ANE＝∠F，得出AE＝AN，BE＝BF，推出BF＝AB+AN，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵CE∥AD，

∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，

∴∠E＝∠ACE，

∴AC＝AE，

∵F为EC的中点，

∴AF⊥EC，

∵AD∥EC，

∴∠AFE＝∠FAD＝90°，

∴AF⊥AD；

（2）解：∵CD＝2BD，

∴BC＝3BD，

∴AD∥CE，

∴△ABD∽△EBC，

∴＝（）2＝（）2＝，

∴S△BCE＝9S△ABD＝9×10＝90；

（3）解：AC＝AB+2AN；理由如下：

延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，如图2所示：

∴∠MBF＝∠C，∠F＝∠MNC，

∵M为BC的中点，

∴BM＝CM，

在△BFM和△CNM中，，

∴△BFM≌△CNM（AAS），

∴BF＝CN，

∵MN∥AD，

∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠MNC＝∠ANE，

∴∠E＝∠ANE＝∠F，

∴AE＝AN，BE＝BF，

∴BF＝AB+AN，

∴AC＝AN+CN＝AN+BF＝AB+2AN．

2019-2020学年北师大版初一数学下册期末测试题（含答案）