《二次函数》全章教案

课题：二次函数

教学目标：

1、 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

3、 会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

4、 会用待定系数法求二次函数的解析式。

教学重点：二次函数的概念和解析式

教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。

教学设计：

一、创设情境，导入新课

问题、现有一根长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？

问题、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？

这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）

二、 合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量与之间的关系：

（）面积 ()与圆的半径 ( )

()王先生存人银行万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 两年后王先生共得本息元;

()拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为 , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 (), 种植面积为 ()

（一） 教师组织合作学习活动：

1、 先个体探求，尝试写出与之间的函数解析式。

2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

（） π （） ()

() ()()

（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？

让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具² (是常数, ≠)的形式.

板书：我们把形如²(其中是常数，≠)的函数叫做二次函数( )

称为二次项系数， 为一次项系数，为常数项，

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项

（二） 做一做

1、 下列函数中，哪些是二次函数？

() () ()（）

（）

、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

（） （） （）

、若函数为二次函数，则的值为。

三、例题示范，了解规律

例、已知二次函数当时，函数值是；当时，函数值是。求这个二次函数的解析式。

此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。

练习：已知二次函数，当时，函数值是；当时，函数值是。求这个二次函数的解析式。

例、如图，一张正方形纸板的边长为，将它剪去个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设() ,四边形的面积为(),求：

（1） 关于 的函数解析式和自变量的取值范围。

（2） 当分别为，，，时，对应的四边形的面积，并列表表示。

方法：

（）学生独立分析思考，尝试写出关于的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。

（）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：

求差法：四边形的面积正方形的面积直角三角形的面积倍。

直接法：先证明四边形是正方形，再由勾股定理求出

()对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。

（）对于第（）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清与 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着的取值的增大，的值先减后增；的值具有对称性。

练习：

用米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为,矩形的面积为,求：

()写出关于的函数关系式.

()当时,矩形的面积为多少?word/media/image16_1.png

四、 归纳小结，反思提高

本节课你有什么收获？

五、 布置作业

课本作业题

二次函数的图像（）

教学目标：

、经历描点法画函数图像的过程；、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；、

掌握型二次函数图像的特征；

、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。

教学重点：

型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳

教学难点：

选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。

教学设计：

一、 回顾知识

前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？ 先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。）

引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即入手。因此本节课要讨论二次函数（）的图像。

板书课题：二次函数（）图像

二、探索图像

1、 用描点法画出二次函数和图像

（1） 列表

引导学生观察上表，思考一下问题：

①无论取何值，对于来说，的值有什么特征？对于来说，又有什么特征？

②当取等互为相反数时，对应的的值有什么特征？

（2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.

（3） 连线，用平滑曲线按照由小到大的顺序连接起来，从而分别得到和的图像。

2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数和的图像。

学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评）

、二次函数（）的图像

由上面的四个函数图像概括出：

（1） 二次函数的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，

（2） 这条抛物线关于轴对称，轴就是抛物线的对称轴。

（3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与轴的交点。

（4） 当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在轴的上方(除顶点外)；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在轴的 下方(除顶点外)。

（最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆）

三、 课堂练习

观察二次函数和的图像

() 填空：

()在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图像怎样画更简便？

(抛物线与抛物线关于轴对称，只要画出与中的一条抛物线，另一条可利用关于轴对称来画)

四、例题讲解

例题：已知二次函数（）的图像经过点（，）。

（1） 求 的值，并写出这个二次函数的解析式。

（2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。

练习：（）课本第页课内练习第题。

() 已知抛物线经过点（，）。

（）求此抛物线的函数解析式；

（）判断点（，）是否在此抛物线上。

（）求出此抛物线上纵坐标为的点的坐标。

五、谈收获

.二次函数(≠)的图像是一条抛物线.

.图象关于轴对称,顶点是坐标原点

.当>时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当<时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点 六、作业：见作业本。

课题：二次函数的图像（）

教学目标：

、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。

、了解，，三类二次函数图像之间的关系。

、会从图像的平移变换的角度认识型二次函数的图像特征。

教学重点：从图像的平移变换的角度认识型二次函数的图像特征。

教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。

教学设计：

一、 知识回顾

二次函数的图像和特征：

、名称；、顶点坐标；、对称轴；

、当时，抛物线的开口向，顶点是抛物线上的最点，图像在轴的(除顶点外)；当时，抛物线的开口向，顶点是抛物线上的最点图像在轴的(除顶点外)。

二、合作学习

在同一坐标系中画出函数图像， 的图像。

（1） 请比较这三个函数图像有什么共同特征？

（2） 顶点和对称轴有什么关系？

（3） 图像之间的位置能否通过适当的变换得到？

（4） 由此，你发现了什么？

三、探究二次函数和图像之间的关系

1、 结合学生所画图像，引导学生观察与的图像位置关系，直观得出的图像的图像。

教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系 ，如：

（，）（，）

（，）（，）；

（，）（，）

②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。

2、 用同样的方法得出的图像的图像。

、请你总结二次函数( )的图象和性质.

（）的图像的图像。

函数的图像的顶点坐标是（）,对称轴是直线

、做一做

（）、

（）、填空：

①、由抛物线²向平移个单位可得到 ()

②、函数 ()的图象。可以由抛物线 向平移 个单位而得到的。

、对于二次函数，请回答下列问题：

①把函数的图像作怎样的平移变换，就能得到函数的图像？

②说出函数的图像的顶点坐标和对称轴。

第题的解答作如下启发：这里的是什么数？大于零还是小于零？应当把的图像向左平移还是向右平移？在此同时用平移的方法画出函数的大致图像（事先画好函数的图像），借助图像有学生回答问题。

五、 探究二次函数和图像之间的关系

、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数的图像。

首先引导学生观察比较与的图像关系，直观得出：的图像的图像。（结合多媒体演示）

再引导学生刚才得到的的图像与的图像之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线先向左平移个单位，在向上平移个单位，就可得到函数的图像。

、做一做：请填写下表：

3、 总结的图像和图像的关系

（）的图像的图像的图像。

的图像的对称轴是直线，顶点坐标是（，） 。

口诀：（、）正负左右上下移 （ 左加右减 上加下减）

、练习：课本第页课内练习地、题

六、谈收获：

、函数的图像和函数图像之间的关系。

、函数的图像在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质。

七、布置作业

课本第页作业题

预习题：对于函数，请回答下列问题：

（）对于函数的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？

（）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？

课题：二次函数的图像（）

教学目标：

、了解二次函数图像的特点。

、掌握一般二次函数的图像与的图像之间的关系。

、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。

教学重点：二次函数的图像特征

教学难点：例的解题思路与解题技巧。

教学设计：

一、回顾知识

、二次函数的图像和的图像之间的关系。

、讲评上节课的选作题

对于函数，请回答下列问题：

（）对于函数的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？

（）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？

思路：把化为的形式。

在中，、分别是什么？从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平移得到的？

二、探索二次函数的图像特征

、问题：对于二次函数² （ ≠ ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将²转化为 () 的形式 ？

由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。

练习：课本第页课内练习第题（课本的例删掉不讲）

、二次函数的图像特征

（）二次函数 ( ≠)的图象是一条抛物线；

（）对称轴是直线，顶点坐标是为（，）

()当>时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。

当<时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

三、巩固知识

、例、求抛物线的对称轴和顶点坐标。

有由学生自己完成。师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法或者是用顶点坐标公式。

、做一做课本第页的做一做和第页的课内练习第题

、（补充例题）例已知关于的二次函数的图像的顶点坐标为（，），且图像过点（，）。

（）求这个二次函数的解析式；

（）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。(此小题供血有余力的学生解答)

分析与启发：（）在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较简便？

、练习：（）课本第页课内练习第题。

（）探究活动：一座拱桥的示意图如图（图在书上第页），当水面宽时，桥洞顶部离水面。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以水平方向为轴，取以下三个不同的点为坐标原点：

、点 、点 、抛物线的顶点

所得的函数解析式相同吗？请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单？

四、小结

、函数的图像与函数的图像之间的关系。

、函数的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。

、函数的解析式类型：

一般式：

顶点式：

五、布置作业

课题：二次函数的性质（）

教学目标：

.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.

.了解二次函数与二次方程的相互关系.

.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性

教学重点：

二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.

教学难点：二次函数的性质的应用.

教学过程：

复习引入

二次函数: ( ≠ )的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢?

补充:当的绝对值相等时,其形状完全相同,当的绝对值越大,则开口越小,反之成立.

二,新课教学:

.探索填空:根据下边已画好抛物线的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即时, 随着的增大而增大；在侧，即时, 随着的增大而减小. 当时，函数最大值是. 当时<.

. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即时, 随着的增大而减少；在侧，即时, 随着的增大而增大. 当时，函数最小值是. 当时>

.归纳:二次函数(≠)的图象和性质

().顶点坐标与对称轴

().位置与开口方向

().增减性与最值

当 ﹥时，在对称轴的左侧，随着的增大而减小；在对称轴的右侧，随着的增大而增大；当 时，函数有最小值 。当 ﹤时，

在对称轴的左侧，随着的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小。当 时，函数有最大值

.探索二次函数与一元二次方程

二次函数的图象如图所示.

().每个图象与轴有几个交点？

().一元二次方程有几个根?验证一下一元二次方程有根吗?

().二次函数的图象和轴交点的坐标与一元二次方程的根有什么关系?

归纳:().二次函数的图象和轴交点有三种情况:

①有两个交点,

②有一个交点,

③没有交点.

当二次函数的图象和轴有交点时, 交点的横坐标就是当时自变量的值,即一元二次方程的根.

当-4ac﹥时，抛物线与轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程的两个根与 ；当-4ac时，抛物线与轴有且只有一个公共点；当-4ac﹤时，抛物线与轴没有交点。

举例:求二次函数图象与轴的交点、的坐标。

结论：方程的解就是抛物线与轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。

即：若一元二次方程的两个根是、，则抛物线与轴的两个交点坐标分别是（ ，），（）

.例题教学:例:已知函数

⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；

()自变量在什么范围内时， 随着的增大而增大？何时随着的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值。

归纳:二次函数五点法的画法

三.巩固练习:请完成课本练习：.

四.尝试提高

五.学习感想:、你能正确地说出二次函数的性质吗？

、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质吗？

六：作业：作业本,课本作业题、、、。

课题：二次函数的性质（）

教学目标：

、掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式。

、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性。

、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质。

教学重点：二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质

教学难点：利用图像观察性质

教学设计：

一、复习

、抛物线的顶点坐标是，对称轴是，在侧，即时，随着的增大而增大；在侧，即时,

随着的增大而减小；当时，函数最值是。

、抛物线的顶点坐标是，对称轴是，在侧，即时，随着的增大而增大；在侧，即时,

随着的增大而减小；当时，函数最值是。

二、例题讲解

例、根据下列条件求二次函数的解析式：

（）函数图像经过点（，），（，），（，）

() 函数图像的顶点坐标是（，）且经过点（，）

（）函数图像的对称轴是直线,且图像经过点（，）和（，）

说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件。一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标（或对称轴或最值）及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷。

例　已知函数 ,

（１）把它写成的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？

（）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；

（）求出图象与坐标轴的交点坐标；

（）画出函数图象的草图；

()设图像交轴于、两点，交 轴于点，求△的面积；

（）根据图象草图，说出取哪些值时，① ; ② <; ③ >.

说明：（）对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；

（）利用函数图像判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图像，要使<;，其对应的图像应在轴的下方，自变量就有相应的取值范围。

例、二次函数(≠)的图象如图所示，则：

; ;。

说明：二次函数(≠)的图像与系数、、、的关系 ：

三、小结本节课你学到了什么？

四、布置作业：课本作业题第、题

补充作业题：已知二次函数的图像如图所示，下列结论：

⑴﹤⑵﹥⑶﹥⑷2a

其中正确的结论的个数是（ ） 个 个 个 个

课题：二次函数的应用（）

教学目标：

、经历数学建模的基本过程。

、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。

、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

教学重点和难点：

重点：二次函数在最优化问题中的应用。

难点：例是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。

教学设计：

一、创设情境、提出问题

出示引例 （将作业题第题作为引例）

给你长的铝合金条，设问：

①你能用它制成一矩形窗框吗？

②怎样设计，窗框的透光面积最大？

③如何验证？

二、观察分析，研究问题

演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变。深入探究如设矩形的一边长为米，则另一边长为()米，再设面积为,则它们的函数关系式为

并当 时（属于范围）即当设计为正方形时，面积最大()

引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。

步骤：

第一步设自变量；

第二步建立函数的解析式；

第三步确定自变量的取值范围；

第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。

三、例练应用，解决问题

在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形

设问：用长为的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，

问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

引导学生分析，板书解题过程。

变式（即课本例）：现在用长为米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面

积最大？（结果精确到米）

练习：课本作业题第题

四、知识整理，形成系统

这节课学习了用什么知识解决哪类问题？

解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？

学到了哪些思考问题的方法？

五、布置作业：作业本

课题：二次函数的应用()

教学目标：

、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

教学重点和难点：

重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

难点：例将现实问题数学化，情景比较复杂。

教学过程：

一、复习：

、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：

()列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。

()在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。

、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。出示上节课的引例的动态

图形（在周长为米的矩形中）（多媒体动态显示）

设问：（）对角线（）与边长（）有什何关系？

（）对角线（）是否也有最值？如果有怎样求？

与 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于 的二次函数，并且有最小值。引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。指出：当被开方数取最小值时，对角线也为最小值。

二、例题讲解

例题：船位于船正东26km处，现在、两船同时出发，船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？

多媒体动态演示，提出思考问题：（）两船的距离随着什么的变化而变化？

()经过小时后，两船的行程是多少？ 两船的距离如何用来表示？

设经过小时后两船分别到达’，’，两船之间距离为’’。（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题）

因此只要求出被开方式的最小值，就可以求出两船之间的距离的最小值。

解:设经过时后，， 两船分别到达’，’，两船之间距离为

’’

（>）

当时，被开方式（）有最小值。

所以当时，最小值（）

答：经过时，两船之间的距离最近，最近距离为

练习：直角三角形的两条直角边的和为，求斜边的最小值。

三、课堂小结

应用二次函数解决实际问题的一般步骤

四、 布置作业

见作业本

课题：二次函数的应用()

教学目标：

、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

教学重点和难点：

重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

难点：例将现实问题数学化，情景比较复杂。

教学过程：

例某饮料经营部每天的固定成本为元,某销售的饮料每瓶进价为元。

()若记销售单价比每瓶进价多元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本)为元，求关于的函数解析式和自变量的取值范围；

()若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到元)？最大日均毛利润为多少？

练习：课内练习

面对着学习，你就要有毅力。因为你就如身在干旱的沙漠之中，没有水也没有食物，你有的就仅仅是最后的那一点力气和时时蒸发着的那一点微少的汗水，你在这种地境里，不可以倒下，要坚强，要努力走出这个荒芜的沙漠，找回生存的希望，仅此无他。在学习的赛跑线上，你就应该有着这不懈的精神，累了，渴了，你仍要坚持下去，因为终点就在不远的前方…行路人，用足音代替叹息吧！志士不饮盗泉之水，廉者不受嗟来之食你的作业进步很大，继续加油！你会更出色！ 位卑未敢忘忧国，事定犹须待阖棺。 希望你一生平安，幸福，像燕雀般起步，像大雁般云游，早日像鹰一样翱翔,千里之行，始于足下。学习就是如此痛快，它能放松人的心灵，但必须是在热爱的基础上。瞧！学习就能带来如此奇妙的享受！ 学习总是在一点一滴中积累而成的，就像砌砖，总要结结实实。踏踏实实的学吧！加油！成功属于努力的人！聪明出于勤奋，天才在于积累。 人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。 生活中处处都有语文，更不缺少语文，而是缺少我们发现语文的眼睛，善于发问的心。让我们在生活中，去寻找更有趣、更广阔、更丰富.

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