高考弹簧问题专题详解

高考动向

　　弹簧问题能够较好的培养学生的分析解决问题的能力和开发学生的智力，借助于弹簧问题，还能将整个力学知识和方法有机地结合起来系统起来， 因此弹簧问题是高考命题的热点，历年全国以及各地的高考命题中以弹簧为情景的选择题、计算题等经常出现，很好的考察了学生对静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能关系问题等知识点的理解，考察了对于一些重要方法和思想的运用。



知识升华

一、弹簧的弹力

1、弹簧弹力的大小

　　弹簧弹力的大小由胡克定律给出，胡克定律的内容是：在弹性限度内，弹力的大小与弹簧的形变量成正比。数学表达形式是：F=kx 其中k是一个比例系数，叫弹簧的劲度系数。

　　说明：

　　①弹力是一个变力，其大小随着弹性形变的大小而变化，还与弹簧的劲度系数有关；

　　②弹簧具有测量功能，利用在弹性限度内，弹簧的伸长（或压缩）跟外力成正比这一性质可制成弹簧秤。



2、弹簧劲度系数

　　弹簧的力学性质用劲度系数描写，劲度系数的定义因弹簧形式的不同而不同，以下主要讨论螺旋式弹簧的劲度系数。

　　（1）定义：在弹性限度内，弹簧产生的弹力F（也可认为大小等于弹簧受到的外力）和弹簧的形变量（伸长量或者压缩量）x的比值，也就是胡克定律中的比例系数k。

　　（2）劲度系数的决定因素：劲度系数的大小由弹簧的尺寸和绕制弹簧的材料决定。

　　弹簧的直径越大、弹簧越长越密、绕制弹簧的金属丝越软越细时，劲度系数就越小，反之则越大。如两根完全相同的弹簧串联起来，其劲度系数只是一根弹簧劲度系数的一半，这是因为弹簧的长度变大的缘故；若两根完全相同的弹簧并联起来，其劲度系数是一根弹簧劲度系数的两倍，这是相当于弹簧丝变粗所导致；



二、轻质弹簧的一些特性

　　轻质弹簧：所谓轻质弹簧就是不考虑弹簧本身的质量和重力的弹簧，是一个理想化的模型。由于它不需要考虑自身的质量和重力对于运动的影响，因此运用这个模型能为分析解决问题提供很大的方便。



性质1、轻弹簧在力的作用下无论是平衡状态还是加速运动状态，各个部分受到的力大小是相同的。其伸长量等于弹簧任意位置受到的力和劲度系数的比值。

　　如图1和2中相同的轻弹簧，其端点受到相同大小的力时，无论弹簧是处于静止、匀速还是加速运动状态，各个弹簧的伸长量都是相同的。

　　　　　　　　　　　　



性质2、两端与物体相连的轻质弹簧上的弹力不能在瞬间变化——弹簧缓变特性；有一端不与物体相连的轻弹簧上的弹力能够在瞬间变化为零。

　　如在图1、2、3、4、中撤出任何一个力的瞬间，弹簧的长度不会变化，弹力的大小也不会变化；但是在图5中撤出力F的瞬时，弹簧恢复原长，弹力变为零。

　　　

　　说明：

　　①上述结论可以通过弹簧和物体组成系统的振动周期公式加以理解，弹簧恢复原长需要四分之一个周期，并且物体的质量越大劲度系数越小，恢复时间就越长。物体的质量非常小时，可以认为无限短的时间就可以恢复原长。

　　②重的弹簧可以等价于轻弹簧连接着一个物体，弹簧自由端的恢复也仍然需要一点时间。



性质3、弹簧的形变有拉伸和压缩两种情形，拉伸和压缩形变对应弹力的方向相反。分析弹力时，在未明确形变的具体情况时，要考虑到弹力的两个可能的方向。



性质4、弹力的大小与形变量成正比，方向与形变的方向相反，即F=-kx ，是一个线性回复力，物体在弹簧弹力的作用下，通常会做简谐运动。

　　以简谐运动为模型分析动力学问题会减少错误带来方便。例如一个质量为M的物体从高处自由下落在一个弹簧上，试分析物体的运动情况。由简谐运动的知识知道，物体一旦接触弹簧其运动就进入了简谐振动过程，必定存在一个平衡位置（如图中O的位置，重力等于弹力），物体靠近平衡位置的阶段必定是速度增大、加速度减小，远离平衡位置的阶段，必定是速度减小、加速度增大。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　如果结合简谐运动的对称性还可以方便地分析力的变化、能量的变化等问题，应当注意体会和运用。



性质5、弹性势能和弹力的功

　　（1）弹性势能

　　①弹性势能的大小：弹簧能够储存弹性势能，它储存的弹性势能的大小与弹性形变量的大小和劲度系数有关，（运用此式的定量计算在高中阶段不作要求，只做理解弹性势能的依据）。

　　②弹性势能的计算：弹性势能的定量计算依据功能关系或能的转化和守恒定律。



　　（2）弹力的功

　　弹力的功是变力的功，因为弹力随着位移是线性变化的，所以弹力功的大小可以用平均力求得即，

　　说明：

　　①上式是弹簧由原长到伸长或者压缩x长度的过程弹力做的功，上式中的F 是形变量为x时的弹力。

　　②当形变量由x1变为x2时弹力功的大小为



　　（3）弹力功的特点

　　弹簧弹力的功与路径无关——同一弹簧在某一过程中弹力的功只是取决于初末状态弹簧形变量的大小，与弹力的作用点经过的路径没有关系。这一点对于计算弹力的功和弹性势能是非常重要的，必须引起重视。



　　（4）弹性势能与弹力功的关系

　　①弹力做正功时弹性势能减少；弹力做负功时弹性势能增加。

　　②弹力的功等于弹性势能增量的负值即：



三、弹簧问题的题目类型

　　1、求弹簧弹力的大小（或弹簧秤的示数）

　　2、求弹簧的形变量（伸长、压缩、原长、总长以及作用点的位移）

　　3、求与弹簧相连接的物体的瞬时加速度

　　4、在弹力作用下物体运动情况分析——弹簧在相对位置发生变化时，所引起的力、加速度、速度、功能等物理量发生变化的情况

　　5、与简谐运动相关的动力学问题

　　6、有弹簧参与的临界问题和极值问题

　　7、探究弹力的功与弹性势能的变化

　　8、弹力做功弹性势能变化、能量转化和守恒综合问题的计算

　　9、与弹簧相关的动量守恒、能量守恒综合问题



四、解决弹簧问题方法归类

1、基本方法是：依据运动和力的关系，运用解决动力学问题的一般方法去分析解决。

　　具体的说：

　　①分析物体受到合力的大小、方向变化情况——分析物体初速度或者速度方向——确定物体的运动情况，由此求出未知量；或者明确已知的运动情况（即物体处于什么样的运动状态）——确定物体的受力情况，由此求出未知量；

　　②选取物理规律列方程

　　物体处于平衡状态时——运用平衡条件结合胡克定律

　　物体做匀变速运动时——用牛顿第二定律和运动学公式

　　物体做简谐振动时——运用简谐振动的规律

　　非匀变速运动的过程——通常要用能的转化和守恒定律

　　综合性问题——动量守恒定律、能量守恒定律、牛顿运动定律灵活运用



2、分析弹簧问题需要特别关注的几点

　　（1）弹力的变化特点——物体做变加速运动

　　（2）弹力不能突变的特点——形变的发生和恢复都需要一定的时间，

　　（3）物体做简谐运动的特点——运动状态存在对称性

　　（4）弹力做功与路径无关的特点，重力势能只取决于状态的特点

　　（5）有临界状态和转折状态的特点——分离状态、合力为零状态、拉力和压力转折状态等

　　（6）弹簧问题多解的特点——对同一大小的弹力弹簧对应两个状态，要注意不要漏解



经典例题透析

类型一：关于弹簧的伸长量和弹力的计算

　　解决这类问题的方法是：

　　（1）根据物体所处的运动状态，运用牛顿定律或平衡条件求出弹簧受到的弹力，然后由胡克定律计算弹簧的形变量或原长等。

　　（2）由物体的运动情况和几何关系求出弹簧的形变量，然后用胡克定律计算弹力，进而求解物体的运动情况。

　　值得注意的是：弹簧可能产生拉力也可能产生压力，同一弹力弹簧可能有两个长度；轻质弹簧上的弹力大小处处相等。



1、对轻弹簧的理解

　　1、如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F 的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上；②中弹簧的左端受大小也为 F 的拉力作用；③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动 .若认为弹簧的质量都为零，以 依次表示四个弹簧的伸长量，则有（）

　　A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.

　　　　　　　　　

　　答案：D

　　思路点拨：要比较四种不同物理情景中弹簧的伸长量，就要比较弹簧在四种不同物理情景中弹力的大小和弹簧的劲度系数．由题意知，四个弹簧完全相同，故弹簧的劲度系数相同，弹簧的质量都为零，故弹簧不论作什么性质的运动都不影响弹簧各处所受的弹力，弹簧只是传递物体间的相互作用．可将弹簧等效为一个测力计，当弹簧的右端受到大小为F的拉力作用时，弹簧将等大地将拉力F传递给与弹簧相连接的物体，故弹簧由于弹性形变所产生的弹力大小也为F ，由胡克定律F= k△x，则四个弹簧的伸长量△x 相同．

　　解析：首先，因为题中说明可以认为四个弹簧的质量皆为 0，因此可断定在每个弹簧中，不管运动状态如何，内部处处拉力都相同 .因为如果有两处拉力不同，则可取这两处之间那一小段弹簧来考虑，它受的合力等于它的质量乘加速度，现在质量为 0，而加速度不是无穷大，所以合力必为 0，这和假设两处拉力不同矛盾 .故可知拉力处处相同 .按题意又可知大小皆为 F.其次，弹簧的伸长量，K为劲度系数 .由题意知四个弹簧都相同，即 k 都相同 .故可知伸长量必相同

　　总结升华：本题通过对四种不同物理情景中弹簧的伸长量的比较，考查考生对力的概念的理解、物体的受力分析、牛顿一、二、三定律的掌握情况和综合运用能力．

　　①②两种情形中弹簧所受的合外力相同，均为零，所以弹簧中由于弹性形变所产生的弹力大小也相同．常有学生错误地认为第②种情形中弹簧所产生的弹性形变比第①种情形中弹簧所产生的弹性形变要大些，这一错误观念的形成主要是对力的概念理解不深，一旦将第①种情形中的墙壁和弹簧隔离受力后，不难发现第①种情形与第②种情形的受力情况是等效的，其实在第①种情形中，弹簧对墙壁的作用力与墙壁对弹簧的作用力是一对作用力与反作用力，所以第①②两种情形中弹簧的受力情况完全相同，第③④两种情形中，虽然物块的受力情况、运动状态不尽相同，但轻弹簧中产生的弹力大小处处等于外力F的大小，而与物块处于什么样的运动状态、是否受摩擦力没有必然联系。认为物块在有摩擦的桌面上滑动时，拉物块所需要的拉力要大些，所以弹簧的形变量也大些，是错误的。没有注意到轻弹簧的右端受到大小皆为F的拉力作用这一前提件。



　　举一反三：

　　【变式】如图所示，A、B是两个相同的弹簧，原长都是L0＝10 cm，劲度系数k＝500 N/m，若悬挂的两个物体质量均为m，现测得两个弹簧的总长为26cm，则m＝__________。（g取10m/s2）

　 　　　　　　　　　　　　　　



　　解析：首先以下面物体为研究对象，然后以两物体为整体，求出对上端弹簧拉力，分别列出弹力方程：

　　　　　

　　　　　

　　　　　

　　　　　

　　答案：1kg



2、静止的轻弹簧平衡时两种可能的形变

　　在含有弹簧的静力学问题中，当弹簧所处的状态没有明确给出时，必须考虑到弹簧既可以处于拉伸状态，也可以处于压缩状态，必须全面分析各种可能性，以防漏解。

　　解决这类问题的方法是：以与弹簧相联系的物体为研究对象，进行受力分析，在分析弹力的时候，务必考虑到弹簧伸长和压缩两种可能的状态也就是物体所受弹力的有两个可能的方向。对物体应用平衡条件求出弹力，或者结合胡克定律求出弹簧的伸长量、压缩量以及弹簧的长度与原长。



　　2、如图所示，a、b、c为三个物块，M、N为两个轻质弹簧，R为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们均处于平衡状态.则:（ ）

　　A.有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态

　　B.有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态

　　C.有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态

　　D.有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态



　　解析：研究a、N、c系统由于处于平衡状态，N可能处于拉伸状态，而M可能处于不伸不缩状态或压缩状态；研究a、M、b系统由于处于平衡状态，M可能处于压缩状态(或处于不伸不缩状态)，而N可能处于不伸不缩状态或拉伸状态.综合分析，本题只有A、D正确.

　　答案：A、D



　　举一反三：

　　【变式】如图所示，重力为G的质点M与三根相同的轻质弹簧相连，静止时，相邻两弹簧间的夹角均为120。，已知弹簧A、B对质点的作用力均为2G，则弹簧C对质点的作用力大小可能为（ ）

　　A.2G　　　　　　 B.G 　　　　　　C.0　　　　　　 D.3G

　 　　　　　　　　　　　　　　



　　解析：弹簧A、B对M的作用力有两种情况：一是拉伸时对M的拉力，二是压缩时对M的弹力.

　　若A、B两弹簧都被拉伸，两弹簧拉力与质点M重力的合力方向一定竖直向下，大小为3G，此时弹簧C必被拉伸，对M有竖直向上的大小为3G的拉力，才能使M处于平衡状态.

　　若A、B两弹簧都被压缩，同理可知弹簧C对M有竖直向下的大小为G的　弹力.A、B两弹簧不可能一个被拉伸，一个被压缩，否则在题设条件下M不可能平衡.选项B、D正确

　　答案：BD.



　　3、如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为（ ）

　　A.

　　B.

　　C.

　　D.



　　解析：原来系统处于平衡态则下面弹簧被压缩x1，则有：；

　　　　　当上面的木块刚离开上面的弹簧时，上面的弹簧显然为原长，此时对下面的木块m2，

　　　　　则有：

　　　　　因此下面的木块移动的距离为

　　　　　故本题选C

　　答案：C

　　总结升华：缓慢向上提，说明整个系统一直处于动态平衡过程.



3、弹簧测力计的原理

　　解决弹簧测力计的问题，首先明确弹簧测力计的原理——弹力的大小与弹簧的形变量成正比，弹力的增量与弹簧形变量的增量也成正比，即、，因此弹簧秤的刻度是均匀的。



　　4、量得一只弹簧测力计3N和5N两刻度线之间的距离为2.5cm。求：

　　（1）这弹簧测力计3N、5N刻度线与零刻度线之间的距离。

　　（2）这弹簧测力计所用弹簧的劲度系数。



　　思路点拨：由求出劲度系数，然后根据胡克定律由劲度系数求出弹力是3N、5N时弹簧的伸长量，即为所求。

　　解析：弹簧秤的刻度值应与该刻度线到零刻线的距离成正比。

　　　　　设3N、5N刻度线到零刻度线的距离分别为x1、x2，劲度系数为k。

　　　　　根据胡克定律F=kx；可得 得

　　　　　=。

　　　　　由可得

　　　　　。

　　　　　

　　　　　

　　答案：3N刻度线到0刻线的距离为3.8cm，5N刻线到0刻线的距离为6.3cm，弹簧的劲度系数为80N/m。



　　举一反三：

　　【变式】如图所示，弹簧秤外壳质量为m0，弹簧及挂钩的质量忽略不计，挂钩吊着一重物质量为m，现用一方向竖直向上的外力F拉着弹簧秤，使其向上做匀加速运动，则弹簧秤的读数为：

　　A.mg； 　　　B. ； 　　　C.；　　　　 D.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　思路点拨：弹簧秤的弹簧上任意位置弹力大小就是弹簧秤的示数，也就是说弹簧秤的示数指示等于弹簧上任一端所受拉力的大小。

　　解析：对弹簧和物体组成的系统应用牛顿第二定律得：

　　　　　对吊钩上的物体用牛顿第二定律得：

　　　　　解得：弹簧秤对物体的拉力

　　　　　由牛顿第三定律知：弹簧秤上的弹簧受到的拉力大小

　　　　　也就是说弹簧秤的示数是

　　答案：D

　　总结升华：弹簧秤的外壳有质量有重力，切不能认为弹簧秤壳受到的拉力等于弹簧秤上的弹簧受到的拉力。



类型二：求与弹簧相连物体的瞬时加速度

　　求解这类问题的方法是：（1）由物体所处的运动状态求出弹簧的弹力；（2）去掉某一个力后（通常是剪断绳子）的瞬间，认为弹簧的弹力不变化，求出物体受到的合力；（3）由牛顿第二定律列方程求解。



　　5.如图（A）所示，一质量为m的物体系于长度分别为1、2的两根细线上，1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，2水平拉直，物体处于平衡状态.现将2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度.



　　（1）下面是某同学对该题的一种解法：

　　解：设1线上拉力为T1，2线上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作用下保持平衡：

　　T1cosθ=mg，T1sinθ=T2，T2=mgtanθ

　　剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度.因为mgtanθ=ma，所以加速度a=gtanθ，方向在T2反方向.

　　你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理由.

　　（2）若将图A中的细线1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图（B）所示，其他条件不变，求解的步骤与（1）完全相同，即a=gtanθ，你认为这个结果正确吗?请说明理由.

　　　　　　　　　　　　　　

　　解析：

　　（1）结果不正确.因为2被剪断的瞬间，1上张力的大小发生了突变，此瞬间T2=mg cosθ，a=g sinθ

　　（2）结果正确，因为2被剪断的瞬间、弹簧1的长度不能发生突变、T1的大小和方向都不变.

　　总结升华：不可伸长的绳子或者轻杆上的力是可以突变的，当弹簧或橡皮条的两端都有其他物体或力的约束且使其发生形变时，弹簧或者橡皮条上的力是不能突变的。



　　举一反三：

　　【变式1】A、B球质量均为m，AB间用轻弹簧连接，将A球用细绳悬挂于O点，如图示，剪断细绳的瞬间，试分析A、B球产生的加速度大小与方向.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　解析：开始A球与B球处于平衡状态，其受力图如图：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　剪断绳OA瞬间，A、B球均未发生位移变化，故弹簧产生的弹力kx也不会变化，kx＝mg，所以剪断绳瞬间，B受力没发生变化，其加速度aB＝0；A球受到合外力为kx＋mg，其加速度aA＝＝2g竖直向下

　　答案：aB＝0、aA＝2g竖直向下



　　【变式2】如图所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M、N固定与杆上，小球处于平衡状态，设拔除销钉M的瞬间，小球加速度的大小为12m/s2，若不拔除销钉M而拔除销钉N瞬间，小球的加速度可能是（g=10 m/s2）

　　A、22 m/s2，方向竖直向上

　　B、22 m/s2，方向竖直向下

　　C、2 m/s2，方向竖直向上

　　D、2 m/s2，方向竖直向下



　　解析：此题要明白弹簧可能所处的不同的状态，可能拉伸、压缩，利用弹簧的瞬时问题很容易得出答案：B、C。



类型三：与弹簧相关的临界问题或极值问题

　　这类问题是弹簧问题中的热点和难点，它往往能够比较全面的考察考生的分析综合能力。解决这类问题的方法是：根据物体所处的运动状态运用牛顿定律、功能关系或者能量守恒定律、胡克定律等列出方程——以弹簧的伸长量或弹簧的弹力为自变量进行动态分析，从中找出临界状态、极值状态、转折状态以及对应的条件——计算并进行必要的讨论。



1、匀变速运动过程中弹力变化引起的临界状态

　　6、一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a(a＜g＝匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　



　　思路点拨：对物体受力分析，由牛顿第二定律列出方程，明确匀变速运动过程中合力大小方向不变，分析板对物体的支持力和弹力的变化情况，找出板与物体分离的条件进行求解。

　　解析：设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。

　　据牛顿第二定律有：mg-kx-N=ma 整理得N=mg-kx-ma

　　物体匀变速运动，其加速度a恒定不变，随着物体向下运动X变大，板对物体的支持力N变小，当N=0时，物体与平板分离。

　　所以此时

　　由，得经过的时间板与物体分离。

　　答案：

　　总结升华：（1）板与物体分离的状态也就是物体匀变速运动的末状态，分离之后物体做简谐振动，不再是匀变速运动。动态分析是解决综合问题寻找隐含条件和临界条件的重要方法，动态分析的要点是：找出不变量、明确自变量和自变量的变化范围。



　　举一反三：

　　【变式】如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，P的质量m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/s2，则F的最小值是 ，F的最大值是 。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　



　　解析：因为在t=0.2s内F是变力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s时，P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在0_____0.2s这段时间内P向上运动的距离： x=mg/k=0.4m

　　因为，所以P在这段时间的加速度

　　当P开始运动时拉力最小，此时对物体P有：N-mg+Fmin=ma，又因此时N=mg，所以有Fmin=ma=240N.

　　当P与盘分离时拉力F最大，Fmax=m(a+g)=360N.

　　答案：240N、360N



2、极值问题与弹力功的特点

　　7、如图所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B。物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4s物体B刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2 ，求：

　　（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。

　　（2）此过程中外力F所做的功。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　解析：

　　(1)A原来静止时：kx1=mg 　　　　　①

　　当物体A开始做匀加速运动时，拉力F最小，设为F1，对物体A有：

　　F1＋kx1－mg=ma 　　　　　　　　　②

　　当物体B刚要离开地面时，拉力F最大，设为F2，对物体A有：

　　F2－kx2－mg=ma　　　　　　　　　 ③

　　对物体B有：kx2=mg　　　　　　　　④

　　对物体A有：x1＋x2＝　　　　 ⑤

　　由①、④两式解得 a=3.75m/s2 ，分别由②、③得F1＝45N，F2＝285N

　　(2)在力F作用的0.4s内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：

　　WF=mg(x1＋x2)+49.5J

　　答案：(1) 45N， 285N (2) 49.5J

　　总结升华：拉力F的功是变力的功，不能直接用功的计算公式求解，要用功能关系求解；弹簧弹力的功与路径无关，只取决于初、末状态的形变量，这一点必须引起注意。



类型四：与简谐运动相关的问题——动力学中一类重要的问题

　　与弹簧相联系的物体的运动大都是简谐运动，解决这类问题最好的方法就是运用简谐运动的基本规律和结论去分析问题解决问题。为了使问题分析更加准确和快捷，画好运动过程中一些典型状态图是非常必要的，因为分析物理过程的关键常常需要分析其中的典型状态，所以画好典型状态图可以帮助我们轻松解决弹簧类问题。

　　简谐运动的规律和结论：简谐运动是变加速运动，物体靠近平衡位置时速度增大加速度减小；远离平衡位置时速度减小，加速度增大；描写运动的各个物理量具有对称性和周期性；简谐运动机械能守恒等。



1、简谐运动的对称性和功能关系的运用

　　8、劲度系数为k的轻弹簧两端分别连接质量都是m的木块P、Q如图所示，处于静止状态。现用竖直向下的力F缓慢压P，最终使系统处于静止状态。撤去F后P做简谐运动而Q 恰好始终不离开地面。求：

　　（1）物体P的振幅A。

　　（2）物体P的最大加速度am。

　　（3）外力F压物体p所做的功W。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　思路点拨：画出运动过程弹簧的几个典型状态，形成清晰的物理情景，运用规律求解。

　　状态Ⅰ：弹簧处于原长，如图(1)。

　　状态Ⅱ：放上物体P后静止时位于C点（弹簧被压缩），如图(2)。

　　状态Ⅲ：用竖直向下的力后F缓慢压P至D点，刚撤去F时（弹簧被压缩至最短），如图(3)。

　　状态Ⅳ：物体P向上运动至最高点E时（弹簧伸长至最长），如图(4)。

　　　　　　　

　　画出上列四个状态图后，此题的物理情境就非常清晰了。

　　解析：

　　（1）设放上物体P后，当P静止于C点时弹簧的压缩量为x1，则kx1=mg　　　 ①

　　　 　C点即为P做简谐运动的平衡位置。

　　　 　现用力F缓慢压P至D撤去F，C、D间的距离即为振幅A。

　　　 　又Q恰好始终不离开地面，故P运动至最高点E时，地面对Q的支持力为零，即

　　　 　kx2=mg　　　　 　　　　　　②

　　 　　又因为A＝x1 ＋x2　 　　　　③

　　 　　由①②③得A＝2mg/k　　　　 ④

　　（2）由简谐运动的特点知，P在最高点和最低点的加速度最大，由牛顿第二定律得

　　 　　kA＝mam 　　　　　　　　　　⑤

　　　 　由④⑤得am＝2g

　　（3）由①②得x1＝x2

　　 　　即物体在C、E两点处弹簧的弹性势能相等。

　　 　　又物体P在C、E两点的动能均为零，故P从C到E的过程中，力F压P做的功

　　 　　WF＝mg（x1 ＋x2）=2m2g2/k.



2、有恒定摩擦力的简谐振动的计算

　　9．一皮带传动装置如图所示，皮带的速度v足够大。一根质量不计、劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端连一个质量为m的滑块，已知滑块与皮带间的动摩擦因数为μ，当滑块放到皮带上时，弹簧的轴线恰好水平，若滑块放到皮带上的瞬间，滑块的速度为零，且弹簧正好处于自由长度，则当弹簧第一次伸长到最长时，滑块与皮带间所产生的热量是多少？（已知：简谐振动周期）

　　　　　　　　　　



　　解析：由于皮带的速度v足够大，故以皮带为参照物，滑块始终是向右运动，滑块所受到的滑动摩擦力方向始终是向左的。滑块实际上是向左运动，只要弹簧对它的拉力小于摩擦力，滑块是加速运动。当弹簧对它的拉力大于摩擦力，滑块做减速运动，当滑块的速度减小到零时，弹簧的伸长量最大，以后，滑块在弹簧拉力和摩擦力的作用下向右运动。由于滑块在运动过程中所受到的摩擦力的大小和方向都不变，故此滑块在皮带上的运动类似于竖直的弹簧振子，此处的摩擦力相当于竖直弹簧振子的重力，所以滑块的运动是一个简谐运动。其振幅为，弹簧伸长的最大长度也就是滑块运动的位移（对地）为：s=2A=2μmg / k，滑块在这段位移是所经历的时间为，

　　滑块在皮带上的相对路径为，

　　所以在这段时间内产生的热量。

　　答案：

　　总结升华：简谐振动的系统受到恒力的作用时仍然为简谐振动，并且其周期不发生变化。运用类比的思维方式往往会使问题解决方便一些。



3、简谐振动的对称性和临界问题

　　10．如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m，在木块A上施有竖直向下的力F，整个装置处于静止状态．

　　（1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大？

　　（2）要使A、B不分离，力F应满足什么条件？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　



　　思路点拨：力F撤去后，系统做简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解，会简单的多．

　　解析：

　　（1）最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力．在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间，受到的合外力应为F/2，方向竖直向上；当到达最高点时，A受到的合外力也为F/2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以B对A的弹力为．

　　（2）力F越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性．最高点时，A、B间虽接触但无弹力，A只受重力，故此时恢复力向下，大小位mg．那么，在最低点时，即刚撤去力F时，A受的回复力也应等于mg，但根据前一小题的分析，此时回复力为F/2，这就是说F/2=mg．则F=2mg．因此，使A、B不分离的条件是F≤2mg．

　　答案：（1） （2）F≤2mg．

　　总结升华：简谐运动在对称的位置上，位移以及与位移成正比的回复力、回复加速度大小相等方向相反，其余的物理量其方向不一定相反；回复力是物体在振动方向上的合力，不是某一个力。



类型五：弹簧传感器

　　11.惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计，加速度计的构造原理示意图如下图所示。沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套一质量为m的滑块，滑块两侧分别与劲度系数为K的弹簧相连，弹簧处于自然长度，滑块位于中间，指针指示0刻度，试说明该装置是怎样测出物体的加速度的?

　 　　　　　　　　　　　　　　　



　　解析：当加速度计固定在待测物体上，具有一定的加速度时，例如向右的加速度a，滑块将会相对于滑杆向左滑动一定的距离x而相对静止，也具有相同的加速度a，由牛顿第二定律可知：a∝F而F∝x，所以a∝x。因此在标尺相应地标出加速度的大小，而0点两侧就表示了加速度的方向，这样它就可以测出物体的加速度了。



　　举一反三：

　　【变式】在科技活动中某同学利用自制的电子秤来称量物体的质量。如图所示，托盘和弹簧的质量均不计，滑动变阻器的滑动端通过一水平绝缘轻杆与弹簧上端相连，当托盘中没有放物体时，电压表示数为零。设变阻器的总电阻为R，总长度为L，电源电动势为E，内阻r，限流电阻的阻值为R0，弹簧劲度系数为k，不计一切摩擦和其他阻力，电压表为理想电压表。当托盘上放上某物体时，电压表的示数为U，求此时称量物体的质量。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　解析：设托盘上放上质量为m的物体时，弹簧的压缩量为x，则mg=kx　　　　 ①

　　　　　由全电路欧姆定律知：　　　　　　　　　②（4分）

　　　　　由部分电路欧姆定律知：U=I·R′=I·　　　　　　　③

　　　　　联立①②③求解得：　　　　　　　④

　　答案：

　　总结升华：电压表的内阻很大，通过它的电流很小，在计算时可以将其忽略以简化计算。



类型六：弹簧弹力的功、弹性势能、能的转化和守恒问题

　　与弹簧相关的综合问题无一不涉及弹力做功和能量转化问题，解决这类问题最关键的环节是：

　　（1）分析物体的受力情况并结合初始条件明确物体做什么运动

　　（2）根据功的计算公式分析在每一个过程或者阶段中有哪些力做功、哪些力不做功、哪些力做正功或者做负功。

　　（3）着眼系统根据功能关系明确哪些能量在增加或者减少

　　（4）注意到重力的功和弹力的功的重要特点列方程求解。



1、一个物体与弹簧组成的系统机械能守恒的问题

　　12、如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落，从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中

　　A．重力先做正功，后做负功

　　B．弹力没有做正功

　　C．金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡

　　D．金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大



　　解析：要确定金属块的动能最大位置和动能为零时的情况，就要分析它的运动全过程弄清楚物体的运动情况。为了物体弄清运动情况，必须做好受力分析。可以从图3-19看出运动过程中的情景。

　　　　　　　　　　　　　　

　　从图上可以看到在弹力N＜mg时，a的方向向下，v的方向向下，金属块做加速运动。当弹力N等于重力mg时，a=0加速停止，此时速度最大。所以C选项正确。弹力方向与位移方向始终反向，所以弹力没有做正功，B选项正确。重力方向始终与位移同方向，重力做正功，没有做负功，A选项错。速度为零时，恰是弹簧形变最大时，所以此时弹簧弹性势能最大，故D正确。

　　所以B，C，D为正确选项。

　　答案：B C D

　　误区警示：（1）错解思维过程分析：金属块自由下落，接触弹簧后开始减速，当重力等于弹力时，金属块速度为零。所以从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中重力一直做正功，故A错。而弹力一直做负功所以B正确。因为金属块速度为零时，重力与弹力相平衡，所以C选项错。金属块的动能为零时，弹力最大，所以形变最大，弹性势能最大。故D正确。 （2）错解原因分析：形成以上错解的原因是对运动过程认识不清。对运动性质的判断不正确。金属块做加速还是减速运动，要看合外力方向（即加速度方向）与速度方向的关系。

　　总结升华：

　　（1）对于较为复杂的物理问题，认清物理过程，建立物情景是很重要的。做到这一点往往需画出受力图，运动草图，这是应该具有的一种解决问题的能力。

　　（2）分析问题可以采用分析法和综合法：如C选项中动能最大时，速率最大，速率最大就意味着它的变化率为零，即a=0，加速度为零，即合外力为零，由于合外力为mg-N，因此得mg=N，D选项中动能为零，即速率为零，单方向运动时位移最大，即弹簧形变最大，也就是弹性势能最大。

　　（3）题中金属块和弹簧在一定时间和范围内做往复运动是一种简运振动。从简谐运动图象可以看出位移变化中速度的变化，以及能量的关系。



　　举一反三：

　　【变式】如图所示，水平地面上沿竖直方向固定一轻质弹簧，质量为M的小球，由弹簧上高H处自由落下，刚接触到弹簧时的速度为V，在弹性限度内，弹簧被小球作用的最大压缩量为h，那么弹簧在被压缩了h时，弹性势能为（ ）

　　A、mgH 　　　　　　B、mgh　　　　 C、mgh+mv2

　　D、mgH+mv2　　　　E、mg（h+H）



　　思路点拨：这类问题较简单，从能的转化上看只是弹簧的弹性势能与物体的动、势能之间的转化，明确系统的初末状态由动能定理或能量守恒等知识即可解决。

　　解析：以系统机械能守恒为依据解题

　　（1）将物体刚接触弹簧时作为系统的初状态，弹簧最大压缩时作为末状态，则这一过程系统减少的重力势能和动能mgh+mv2全部转化为弹性势能EP ，所以选项C正确；

　　（2）从着眼系统从全过程看，物体从弹簧上方高Ｈ处自由下落至弹簧的最大压缩量h时，重力势能减少了：＝ｍｇ（ｈ＋Ｈ），由于末态系统速度为零，减少的重力势能最终全部转化为弹簧的弹性势能，所以选项E 正确。正确答案为（C、E）。

　　答案：C、E



2、两个物体和弹簧组成的系统——能量守恒与临界状态相结合的问题

　　13．如图所示，质量分别为m和M的A、B两重物用劲度系数为k的轻质弹簧竖直地连接起来，使弹簧为原长时，两物从静止开始自由下落，下落过程中弹簧始终保持竖直状态。当重物A下降距离h时，重物B刚好与地面相碰，假定碰后的瞬间重物B不离开地面（B与地面做完全非弹性碰撞）但不粘连。为使重物A反弹时能将重物B提离地面，试问下落高度h至少应为多少？（提示：弹簧形变量为x时的弹性势能为EP=）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　



　　思路点拨：系统在B物体着地之后A物体做简谐运动，先压缩弹簧后被反弹，当A上升过程中弹簧的拉力等于B 的重力时，B开始离开地面，此运动过程系统的机械能守恒

　　解析：B触地时，弹簧为原长，A的速度为：

　　A压缩弹簧，后被向上弹起弹簧又恢复原长时，因机械守恒，可知A的速度仍为：

　　A继续向上运动拉伸弹簧，设法VA=0时弹簧伸长量为x，则要使此时B能被提前离地面，应有：kx=Mg

　　而在此弹簧被拉伸的过程对A和弹簧有：

　　由上几式可解得：

　　答案：

　　总结升华：抓住临界状态解题往往会使得解题过程简化，如本题中VA=0时弹簧伸长量为x， B恰好被提前离地面，就是一个临界状态，对应的临界条件是：kx=Mg



3、两个或两个以上物体与轻质弹簧相连问题：——动量守恒定律能量守恒定律的应用

　　1）由弹簧的系统动量守恒和能量守恒的判断

　　解决此类问题的关键所在是：真正理解动量守恒定律和能量守恒定律适用的条件及其区别，能够根据实际问题适当的选取系统为研究对象



　　14、 如图，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。现将子弹、木块和弹簧合在一起作研究对象，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的过程中[ ]

　　A．动量守恒，机械能守恒 　　　　B．动量不守恒，机械能不守恒

　　C．动量守恒，机械能不守恒　　　 D．动量不守恒，机械能守恒



　　解析：以子弹、弹簧、木块为研究对象，分析受力。在水平方向，弹簧被压缩是因为受到外力，所以系统水平方向动量不守恒。由于子弹射入木块过程，发生剧烈的摩擦，有摩擦力做功，系统机械能减少，也不守恒，故B正确。

　　答案：B

　　误区警示：（1）错误解法：以子弹、木块和弹簧为研究对象。因为系统处在光滑水平桌面上，所以系统水平方向不受外力，系统水平方向动量守恒。又因系统只有弹力做功，系统机械能守恒。故A正确。（2）错解原因：错解原因有两个一是思维定势，一见光滑面就认为不受外力。二是没有弄清楚题目特指的研究对象和物理过程；三是规律适用条件不清楚，忽略了子弹和木块短暂的相互作用过程有滑动摩擦力做功，有机械能的损失。



　　2）多物体——弹簧系统，应用守恒定律进行计算的问题

　　这类问题一般比较复杂，两个物体或三个物体与轻弹簧相互作用的题目比较常见， 在高考压轴题中时有出现，解决这类问题除了运用动力学的一般方法外还要特别注意如下几个方面：

　　①研究对象的选取——应取哪几个物体组成的系统为研究对象，因为看不到系统就看不到守恒；

　　②物理过程的选取——必须明确系统在哪一个过程或者哪一个阶段上哪一个物理量是守恒的，尤其不能忽视短暂的相关过程可能会有机械能的损失；

　　③分析临界状态或极值状态——通过分析过程找出特殊状态的条件



　　15．质量均为m的A、B两球，一轻弹簧连接后放在光滑水平面上，A被一水平速度为v0，质量为的泥丸P击中并粘合，求弹簧能具有的最大势能。

　　　　　　　　　　　　　　　　



　　思路点拨：泥丸与A相互作用的过程弹簧的作用力可以忽略，动量守恒，泥丸与A共速后的运动过程中整个系统动量和机械能都守恒，最大的弹性势能必定发生在AB不存在相对运动的状态即共速的状态。

　　解析：如上分析图，整个过程有三部分组成：（1）P与A作用获瞬间速度。（2）P与A一起运动后于弹簧作用再与Ｂ作用，P与A减速运动，B加速运动。（3）当P、A、Ｂ有共同速度时，弹簧有最大压缩量，具有ＥＰmax.

　　从状态1状态2有动量守恒：v0=(+m)v1 得：v1=v0　　　　 ①

　　从状态2状态3有动量守恒：(+m)v1=（m++m）v2　　　　　　 ②

　　（或从状态１状态3有动量守恒：v0=（m++m）v2）

　　所损失的机械能在过程1－2中，而2－3中机械能守恒。

　　=··v02－（+m）v12=mv02 　　　　　　　　　③

　　由能量守恒得：弹簧具有的最大弹性势能为EP

　　··v02-=·v22+EP 　　　　　　　　　　　　　　④

　　由①-④得: EP=

　　或用从2－3过程求解：EP=（+m）v12－（m++m）v22=

　　答案：

　　误区警示：认为最大的弹性势能EP=··v02-（m++m）v22=是错误的，因为泥丸与A相互作用的短暂的过程中有机械能的损失。



　　举一反三：

　　【变式1】如图示，两相同物块静止在光滑水平面上，中间连着一根弹簧，现有一质量为m0的子弹以水平速度v0射进一物块中未穿出，在以后的作用过程中速度均与v0在同一直线上，物块质量均4m0，则由子弹、弹簧、两物块组成的系统在子弹射入物块1后

　　A．产生的内能为 　　　　　　B.物块2的最大速度为

　　C．系统的最大动能为　　　　 D.最大弹性势能为



　　解析：

　　（1）系统不受外力，动量守恒；子弹射入物块1的过程中，内力为摩擦力，机械能减小，减少的机械能全部转化为内能；然后由子弹、弹簧、两物体组成的系统内力为弹簧的弹力，系统机械能守恒。

　　子弹与物块1：

　　解得： A正确

　　子弹射入前动能为，射入1时损失了，故系统最大动能为。

　　（2）由于子弹射入物块1后系统机械能守恒，当弹性势能最小(为零)时动能最大，此时物块1、2动物才具有最大速度。从子弹射入物块1到弹簧第一次恢复原长(此时物块2速度最大)相当于一动一静的弹性碰撞，有

　　 解得：

　　即 B、C错

　　（3）当弹簧形变最大时弹性势能最大，由运动学知，当两物块速度相等时弹簧有最大形变量(追击问题中的相距)。从子弹打入物块1后到物块有共同速度v的过程相当于完全非弹性碰撞。有

　　 解得： D正确

　　答案：AD

　　总结升华：（1）、当弹簧处于自然长度时，系统具有最大动能；系统运动中弹簧从自然长度开始到再次恢复自然长度的过程相当于弹性碰撞过程。（2）、当弹簧具有最大形变量时，两端物体具有相同的速度，系统具有最大的弹性势能。系统运动中，从任意状态到弹簧形变量最大的状态的过程相当于完全非弹性碰撞的过程。(实际上应为机械能守恒)



　　【变式2】（全国高考题）质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上．平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图1-9-15所示．一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动．已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点．若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度．求物块向上运动到达的最高点与O点的距离．

　　　　　　　　　　　　　　　　　



　　解析：质量为m的物块运动过程应分为三个阶段：第一阶段为自由落体运动；第二阶段为和钢板碰撞；第三阶段是和钢板一道向下压缩弹簧运动，再一道回到O点．质量为2m的物块运动过程除包含上述三个阶段以外还有第四阶段，即2m物块在O点与钢板分离后做竖直上抛运动．弹簧的初始压缩量都是x0，故有

　　对于m：

　　第二阶段，根据动量守恒有mv0=2mv1　　　　　　　　　　　　　　②

　　

　　对于2m物块：

　　第二阶段，根据动量守恒有2mv0=3mv2　　　　　　　　　　　　　④

　　第三阶段，根据系统的机械能守恒有

　　

　　

　　又因　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑦

　　上几式联立起来可求出： =x0/2

　　答案: =x0/2

　　总结升华：分析综合性的问题时，必须重视分析不同过程的共性和不同之处，找出共性可以使得解题过程简洁，找出不同可以防止错误发生。如本题的两个过程运动性质和遵守的规律是相同的，其联系是； 不同的是质量为2m的物体返回0点后还要继续向上运动，且与钢板分离。



类型七、以平抛运动为情景与动量定理、动能定理和动量守恒定律相联系的问题

　　16．如图所示，高出地面h=1.25m的光滑平台上，靠墙放着质量为m1=4Kg的物体A，用手把质量为m2=2Kg的物体B经轻弹簧压向物体A，保持静止。（弹簧与A、B不系牢），此时弹簧具有的弹性势能为EP=100J。在A、B之间系一细绳，细绳的长度稍大于弹簧的自然长度，放手之后，物体B向右运动，把细绳拉断，物体B落在离平台水平距离S=2m的地面上。取g=10m/s2求：

　　（1）在此过程中，墙壁对物体A的冲量。

　　（2）细绳对物体A做的功。

　　（3）过程损失的机械能。

　　　　　　　　　　　　　　　　



　　解析：放手后，弹簧对A、Ｂ同时施一个大小相同的弹簧力，且作用时间相等，则对A、Ｂ的冲量大小相等，由力的传递性，墙壁在此过程中对A的冲量也等于弹簧对A或Ｂ的冲量。设冲量为Ｉ，作用后绳未拉直前而弹簧恢复成原长时，B的速度为v0。此过程弹性势能转化为Ｂ动能，所以

　　EP=m2v02　　　　　　　　　　　　　 ①

　　I=m2v0 　　　　　　　　　　　　　　　②

　　A、B与绳相互作用过程中，动量守恒，设绳断后，A的速度为vA，B的速度为vB，

　　有： m2v0 =m1vA+m2vB　　　　　　　　 ③

　　B后来做平抛运动，有：h=gt2 s=vBt　 ⑤

　　绳对A做功： W=m1vA2 　　　　　　　　⑥

　　由①-⑥解得：I=20N·s；W=18J； VA=3m/s； VB=4m/s。

　　过程中损失的机械能：=EP－(m1vA2＋m2vB2)=75J

　　总结升华：此题中涉及了冲量、动量、机械能、功能关系及转化、平抛，同时注意过程中的绳绷直中要损失较大的机械能。

专题一：弹簧专题专题训练题及详析

1、一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图7所示。现让木板由静止开始以加速度a(a＜g＝匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。

分析与解：设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有：

mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma

当N=0时，物体与平板分离，所以此时

因为，所以。

2、如图8所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，P的质量m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/s2,则F的最小值是 ，F的最大值是 。

．分析与解：因为在t=0.2s内F是变力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s时，P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在0_____0.2s这段时间内P向上运动的距离：

x=mg/k=0.4m

因为，所以P在这段时间的加速度

当P开始运动时拉力最小，此时对物体P有N-mg+Fmin=ma,又因此时N=mg，所以有Fmin=ma=240N.

当P与盘分离时拉力F最大，Fmax=m(a+g)=360N.

3．如图9所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B。物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4s物体B刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2 ，求：

（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。

（2）此过程中外力F所做的功。

解：(1)A原来静止时：kx1=mg ①

当物体A开始做匀加速运动时，拉力F最小，设为F1，对物体A有：

F1＋kx1－mg=ma ②

当物体B刚要离开地面时，拉力F最大，设为F2，对物体A有：

F2－kx2－mg=ma ③

对物体B有：kx2=mg ④

对物体A有：x1＋x2＝ ⑤

由①、④两式解得 a=3.75m/s2 ，分别由②、③得F1＝45N，F2＝285N

(2)在力F作用的0.4s内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：

WF=mg(x1＋x2)+ 49.5J

4．如图5所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m，在木块A上施有竖直向下的力F，整个装置处于静止状态．

（1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大？

（2）要使A、B不分离，力F应满足什么条件？

【点拨解疑】 力F撤去后，系统作简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解，会简单的多．

（1）最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力．在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间，受到的合外力应为F/2，方向竖直向上；当到达最高点时，A受到的合外力也为F/2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以B对A的弹力为．

（2）力F越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性．最高点时，A、B间虽接触但无弹力，A只受重力，故此时恢复力向下，大小位mg．那么，在最低点时，即刚撤去力F时，A受的回复力也应等于mg，但根据前一小题的分析，此时回复力为F/2，这就是说F/2=mg．则F=2mg．因此，使A、B不分离的条件是F≤2mg．

5．两块质量分别为m1和m2的木块，用一根劲度系数为k的轻弹簧连在一起，现在m1上施加压力F，如图14所示．为了使撤去F后m1跳起时能带起m2，则所加压力F应多大？

（对称法）

6．如图1-4-8所示，离心机的光滑水平杆上穿着两个小球A、B，质量分别为2m和m，两球用劲度系数为k的轻弹簧相连，弹簧的自然长度为l．当两球随着离心机以角速度ω转动时，两球都能够相对于杆静止而又不碰两壁．求A、B的旋转半径rA和rB．

7．（14分）如图14所示，A、B两滑环分别套在间距为1m的光滑细杆上，A和B的质量之比为1∶3，用一自然长度为1m的轻弹簧将两环相连，在 A环上作用一沿杆方向的、大小为20N的拉力F，当两环都沿杆以相同的加速度a运动时，弹簧与杆夹角为53°。（cos53°=0.6）

求：（1）弹簧的劲度系数为多少？

（2）若突然撤去拉力F，在撤去拉力F的瞬间，A的加速度为a/，a/

与a之间比为多少？

解：（1）先取A+B和弹簧整体为研究对象，弹簧弹力为内力，杆对A、B支持力与加速度方向垂直，在沿F方向应用牛顿第二定律F=(mA+mB)a①

再取B为研究对象F弹cos53°=mBa②

①②联立求解得，F弹=25N

由几何关系得，弹簧的伸长量⊿x= (1/sin53°－1)=0.25m

所以弹簧的劲度系数k=100N/m

（2）撤去F力瞬间，弹簧弹力不变，A的加速度a/= F弹cos53°/mA

所以a/：a=3∶1。

8．（14分）如图所示，质量M=3.5kg的小车静止于光滑水平面上靠近桌子处，其上表面与水平桌面相平，小车长L=1.2m，其左端放有一质量为0.5kg的滑块Q。水平放置的轻弹簧左端固定，质量为1kg的小物块P置于桌面上的A点并与弹簧的右端接触。此时弹簧处于原长，现用水平向左的推力将P缓慢推至B点（弹簧仍在弹性限度内）时，推力做的功为WF=6J，撤去推力后，P沿桌面滑到小车上并与Q相碰，最后Q停在小车的右端，P停在距小车左端0.5m处。已知AB间距L1=5cm，A点离桌子边沿C点距离L2=90cm，P与桌面间动摩擦因数，P、Q与小车表面间动摩擦因数。（g=10m/s2）求：

（1）P到达C点时的速度 VC。

（2）P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小。

解：（1）对P由A→B→C应用动能定理，得

（2）设P、Q碰后速度分别为v1、v2，小车最后速度为v，由动量守恒定律得，

由能量守恒得，

解得，

当时，不合题意，舍去。

即P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小为

9．质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上．平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图1-9-15所示．一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动．已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点．若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度．求物块向上运动到达的最高点与O点的距离．

解：质量为m的物块运动过程应分为三个阶段：第一阶段为自由落体运动；第二阶段为和钢板碰撞；第三阶段是和钢板一道向下压缩弹簧运动，再一道回到O点．质量为2m的物块运动过程除包含上述三个阶段以外还有第四阶段，即2m物块在O点与钢板分离后做竖直上抛运动．弹簧

对于m：

第二阶段，根据动量守恒有mv0=2mv1　　　②

对于2m物块：

第二阶段，根据动量守恒有2mv0=3mv2　　　　④

第三阶段，根据系统的机械能守恒有

又因　　　　　　　　　　　　　　　　　 E′p=Ep　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

上几式联立起来可求出：l=x0/2

专题二：常见弹簧类问题分析

高考要求

轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见，应引起足够重视.

弹簧类命题突破要点

1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.

2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.

3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：Wk=-（kx22-kx12），弹力的功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式Ep=kx2，高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.

下面就按平衡、动力学、能量、振动、应用类等中常见的弹簧问题进行分析

（收集整理中，欢迎提供更多信息，不好意思）

一、与物体平衡相关的弹簧问题

1.(1999年，全国)如图示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为( )

A.m1g/k1 B.m2g/k2 C.m1g/k2 D.m2g/k2

此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题．题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出．注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡过程，直至m1离开上面的弹簧．开始时，下面的弹簧被压缩，比原长短(m1 + m2)g／k2，而ml刚离开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短m2g／k2，因而m2移动△x＝(m1 + m2)·g／k2 - m2g／k2＝mlg／k2．

此题若求ml移动的距离又当如何求解?

参考答案:C

2.（1996全国）如图所示，倔强系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，倔强系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态。现施力将物块1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。在此过程中，物块2的重力势能增加了____，物块1的重力势能增加了____。

答案：　　，　

3.S1和S2表示劲度系数分别为k1，和k2两根轻质弹簧，k1>k2；A和B表示质量分别为mA和mB的两个小物块，mA>mB,将弹簧与物块按图示方式悬挂起来．现要求两根弹簧的总长度最大则应使( )．

A.S1在上，A在上

B.S1在上，B在上

C.S2在上，A在上

D.S2在上，B在上

参考答案:D

2004年高考全国理综卷二）如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F 的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上；②中弹簧的左端受大小也为 F 的拉力作用；③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动 .若认为弹簧的质量都为零，以 l1、l2、l3、l4依次表示四个弹簧的伸长量，则有（）

A. B.

C. D.

答案：D

【解析】首先，因为题中说明可以认为四个弹簧的质量皆为 0，因此可断定在每个弹簧中，不管运动状态如何，内部处处拉力都相同 .因为如果有两处拉力不同，则可取这两处之间那一小段弹簧来考虑，它受的合力等于它的质量乘加速度，现在质量为 0，而加速度不是无穷大，所以合力必为 0，这和假设两处拉力不同矛盾 .故可知拉力处处相同 .按题意又可知大小皆为 F.其次，弹簧的伸长量 l=Fk，k为劲度系数 .由题意知四个弹簧都相同，即 k 都相同 .故可知伸长量必相同

命题意图与考查目的：本题通过对四种不同物理场景中弹簧的伸长量的比较，考查考生对力的概念的理解、物体的受力分析、牛顿一、二、三定律的掌握情况和综合运用能力．本题涉及到2004年《考试大纲》中第11、13、14、15、16；17、18、24共八个知识点．

解题思路、方法与技巧：要比较四种不同物理场景中弹簧的伸长量，就要比较弹簧在四种不同物理场景中的所受合外力的大小和弹簧的劲度系数．由题意知，四个弹簧完全相同，故弹簧的劲度系数相同，弹簧的质量都为零，故弹簧不论作什么性质的运动都不影响弹簧所受的合外力，弹簧只是传递物体间的相互作用．可将弹簧等效为一个测力计，当弹簧的右端受到大小为F的拉力作用时，弹簧将“如实”地将拉力F传递给与弹簧相连接的物体，故弹簧由于弹性形变所产生的弹力大小也为F ，由胡克定律F= k△x，则四个弹簧的伸长量△x 相同．

总体评价与常见错误分析：本题尽管涉及到的知识点比较多，但这些知识点都是力学中非常基础的内容，也是考生必须熟练掌握、灵活运用的内容．故本题是基础题．①②两种情形中弹簧所受的合外力相同，均为零，所以弹簧中由于弹性形变所产生的弹力大小也相同．在平时教学过程中，常有学生错误地认为第②种情形中弹簧所产生的弹性形变比第①种情形中弹簧所产生的弹性形变要大些，这一错误观念的形成主要是对力的概念理解不深，一旦将第①种情形中的墙壁和弹簧隔离受力后，不难发现第①种情形与第②种情形的受力情况是等效的，其实在第①种情形中，弹簧对墙壁的作用力与墙壁对弹簧的作用力是一对作用力与反作用力，所以第①②两种情形中弹簧的受力情况完全相同，第③④两种情形中，虽然物块的受力情况、运动状态不尽相同，但这并不影响弹簧的“如实”地将拉力F传递给与弹簧相连接的物块，所以弹簧中产生的弹力大小由拉弹簧的外力F的大小决定，而与物块处于什么样的运动状态、是否受摩擦力没有必然联系。有些考生曾错误地认为物块在有摩擦的桌面上滑动时，拉物块所需要的拉力要大些，所以弹簧的形变量也大些。这是没有读懂题意，没有注意到弹簧的右端受到大小皆为F的拉力作用这一前提件。

4.一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长0.2m，它们的一端固定，另一端自由，如图所示，求这两根弹簧的劲度系数k1(大弹簧)和k2(小弹簧)分别为多少?

(参考答案k1=100N/m k2=200N/m)

5.(2001年上海高考)如图所示，一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2的两根细线上，L1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L2水平拉直，物体处于平衡状态．现将L2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度．

(1)下面是某同学对该题的一种解法：

解 设L1线上拉力为Tl，L2线上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作用下保持平衡

Tlcosθ=mg，Tlsinθ=T2，T2=mgtanθ，

剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度．

因为mgtanθ=ma，所以加速度a=g tanθ，方向在T2反方向．你认为这个结果正确吗?清对该解法作出评价并说明理由．

解答：错．因为L2被剪断的瞬间，L1上的张力大小发生了变化．此瞬间

T2=mgcosθ， a=gsinθ

(2)若将图中的细线Ll改为长度相同、质量不计的轻弹簧，其他条件不变，求解的步骤和结果与(1)完全相同，即a=gtanθ，你认为这个结果正确吗?请说明理由．

解答：对，因为L2被剪断的瞬间，弹簧L1的长度未及发生变化，T1大小和方向都不变．

二、与动力学相关的弹簧问题

6.如图所示，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为M的木板，木板下面再挂一个质量为m的物体．当剪掉m后发现：当木板的速率再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不考虑剪断后m、M间的相互作用)则M与m之间的关系必定为 ( )

A.M>m B.M=m C.M不能确定

参考答案:B

7.如图所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是 ( ) 参考答案：C

A.一直加速运动 B．匀加速运动

C.先加速运动后减速运动 D．先减速运动后加速运动

[解析] 物体的运动状态的改变取决于所受合外力．所以，对物体进行准确的受力分析是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用．刚放手时，弹力大于重力，合力向上，物体向上加速运动，但随着物体上移，弹簧形变量变小，弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力为零，加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离．

8.如图所示，一轻质弹簧竖直放在水平地面上，小球A由弹簧正上方某高度自由落下，与弹簧接触后，开始压缩弹簧，设此过程中弹簧始终服从胡克定律，那么在小球压缩弹簧的过程中，以下说法中正确的是( ) 参考答案:C

A.小球加速度方向始终向上

B.小球加速度方向始终向下

C.小球加速度方向先向下后向上

D.小球加速度方向先向上后向下

(试分析小球在最低点的加速度与重力加速度的大小关系)

9.如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点．今用一小物体m把弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能运动到C点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法正确的是 ( )

A.物体从A到B速度越来越大，从B到C

速度越来越小

B.物体从A到B速度越来越小，从B到C

加速度不变

C.物体从A到B先加速后减速，从B一直减速运动

D.物体在B点受到的合外力为零

参考答案:C

10.如图所示，一轻质弹簧一端与墙相连，另一端与一物体接触，当弹簧在O点位置时弹簧没有形变，现用力将物体压缩至A点，然后放手。物体向右运动至C点而静止，AC距离为L。第二次将物体与弹簧相连，仍将它压缩至A点，则第二次物体在停止运动前经过的总路程s可能为：

A.s=L B.s>L

C.s条件不足，无法判断

参考答案:AC

(建议从能量的角度、物块运动的情况考虑)

11. A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s2）.

（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；

（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过

程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J，求这一过程F对

木块做的功.

分析：此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0时 ,恰好分离.

解:

当F=0（即不加竖直向上F力时），设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x，有

kx=（mA+mB）g

x=（mA+mB）g/k ①

对A施加F力，分析A、B受力如图

对A F+N-mAg=mAa ②

对B kx′-N-mBg=mBa′ ③

可知，当N≠0时，AB有共同加速度a=a′，由②式知欲使A匀加速运动，随N减小F增大.当N=0时，F取得了最大值Fm,

即Fm=mA（g+a）=4.41 N

又当N=0时，A、B开始分离，由③式知，

此时，弹簧压缩量kx′=mB（a+g）

x′=mB（a+g）/k ④

AB共同速度 v2=2a（x-x′） ⑤

由题知，此过程弹性势能减少了WP=EP=0.248 J

设F力功WF，对这一过程应用动能定理或功能原理

WF+EP-（mA+mB）g（x-x′）=（mA+mB）v2 ⑥

联立①④⑤⑥，且注意到EP=0.248 J

可知，WF=9.64×10-2 J

12.（2005全国理综3）（19分）如图所示，在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板。系统处一静止状态，现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d，重力加速度为g。

解析：令x1表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知

①

令x2表示B刚要离开C时弹簧的伸长量， a表示此时A的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知：

kx2=mBgsinθ ②

F－mAgsinθ－kx2=mAa ③

由②③式可得 ④

由题意 d=x1+x2 ⑤

由①②⑤式可得 ⑥

三、与能量相关的弹簧问题

13.(全国.1997)质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时弹簧的压缩量为x0，如图所示.一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为m时，它们恰能回到O点.若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O点的距离.

分析：本题的解题关键是要求对物理过程做出仔细分析，且在每一过程中运用动量守恒定律，机械能守恒定律解决实际问题，本题的难点是对弹性势能的理解，并不要求写出弹性势能的具体表达式，可用Ep表示，但要求理解弹性势能的大小与伸长有关，弹簧伸长为零时，弹性势能为零，弹簧的伸长不变时，弹性势能不变．答案：

14.如图所示，A、B、C三物块质量均为m，置于光滑水平台面上.B、C间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展.物块A以初速度v0沿B、C连线方向向B运动，相碰后，A与B、C粘合在一起，然后连接B、C的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离，脱离弹簧后C的速度为v0.

（1）求弹簧所释放的势能ΔE.

（2）若更换B、C间的弹簧，当物块A以初速v向B运动，物块C在脱离弹簧后的速度为2v0，则弹簧所释放的势能ΔE′是多少?

（3）若情况（2）中的弹簧与情况（1）中的弹簧相同，为使物块C在脱离弹簧后的速度仍为 2v0，A的初速度v应为多大?

解析：（1）因开始B、C间夹有“不能再压缩”的弹簧，因而在受到外界冲击时应看作一个整体，所以A与B相碰后的瞬间三者的速度相同，设相碰后三者的共同速度为，由动量守恒定律：，得

以后绳断，弹簧伸展，弹性势能从开始的最大值开始释放，转化为系统的动能，弹簧恢复到原长时，弹簧不再对C有弹力，从而使C与A、B分离。由题意，此时C的速度为，设此时A、B的共同速度为，由动量守恒定律得：

，解得

由系统的能量守恒（或系统的机械能守恒）得：

，解得

（2）按照（1）的分析方法，有，得

，得

解得

（3）根据题意，，即，解得和，由于弹簧伸展过程中，C受到向右方向的弹力，速度必定增大，即必定有，将带入到，得，符合题意，是其解。将带入到，得，与实际不符，故该解应该舍去。所以，这一问的答案为。

注意： A与B相碰有机械能损失，只有碰撞结束后，A、B、C及弹簧组成的系统机械能守恒。

15.（2000年全国高考）两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直轨道的固定档板P，右边有一小球C沿轨道以速度射向B球，如图所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A球与档板P发生碰撞，碰后A、D静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除销定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为。

（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。

（2）求在A球离开档板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

解析：

（1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为v1，由动量守恒得

当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2，由动量守恒得

解得A的速度为

（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为Ep，由能量守恒得

撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，弹性势能全部转变成D的动能，设D的速度为v3，则有

以后弹簧伸长，A球离开档板P，并获得速度，当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为v4，由动量守恒得

当弹簧伸到最长时，其弹性势能最大，设此势能为Ep′，由能量守恒，得

联立解得

注意：C与B发生碰撞并立即结成一个整体D这个过程有机械能损失。

16.某宇航员在太空站内做丁如下实验：选取两个质量分别为mA=0.1kg、mB=0.20kg的小球A、B和一根轻质短弹簧，弹簧的一端与小球A粘连，另一端与小球B接触而不粘连．现使小球A和B之间夹着被压缩的轻质弹簧，处于锁定状态，一起以速度v0=0.10m/s做匀速直线运动，如图所示．过一段时间，突然解除锁定(解除锁定没有机械能损失)，两球仍沿原直线运动．从弹簧与小球B刚刚分离开始计时，经时间t=3．0s两球之间的距离增加了s=2．7m，求弹簧被锁定时的弹性势能E0?

取A、B为系统,由动量守恒得:

( m A+m B)v0=m AvA+mBv ;VA t+VB t=s

又A、B和弹簧构成系统，又动量守恒

解得:

17.如下图所示，一质量不计的轻质弹簧竖立在地面上，弹簧的上端与盒子A连接在一起，下端固定在地面上．盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方体边长的金属圆球B恰好能放在盒内，已知弹簧的劲度系数为k=400N／m，A和B的质量均为2kg将A向上提高，使弹簧从自由长度伸长10cm后，从静止释放，不计阻力，A和B一起做竖直方向的简谐振动，g取10m/s2已知弹簧处在弹性限度内，对于同一弹簧，其弹性势能只决定于其形变的大小．试求：

(1)盒子A的振幅；

(2)盒子A运动到最高点时，A对B的作用力方向；

(3)小球B的最大速度

18.如图所示，一弹簧振子．物块质量为m，它与水平桌面动摩擦因数为μ，开始用手按住物块，弹簧处于伸状态，然后放手，当弹簧回到原长时物块速度为v1，当弹簧再次回到原长时物块速度为v2，求这两次为原长运动过程中弹簧的最大弹性势能．

19.如图，水平弹簧一端固定，另一端系一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k，小球与水平面之间的摩擦系数为μ，当弹簧为原长时小球位于O点，开始时小球位于O点右方的A点，O与A之间的距离为l0，从静止释放小球。

（1）为使小球能通过O点，而且只能通过O点一次，试问μ值应在什么范围?

（2）在上述条件下，小球在O点左方的停住点B点与O点的最大距离l1是多少?

分析 1、小球开始时在A点静止，初始动能为零；弹簧拉长lo，具有初始弹性势能kl02/2释放后，小球在弹性力作用下向左运动，克服摩擦力作功，总机械能减小．为使小球能通过O点，要求初始弹性势能应大于克服摩擦力作的功μmgl0，于是可得出μ值的上限．当小球越过O点向左运动，又从左方最远点B往回(即向右)运动时，为使小球不再越过O点，要求初始弹性势能kl02/2小于克服摩擦力作的功μmg（l0+2l1），其中l1是B点与O点的距离，于是可得出μ值的下限 即满足1的范围 .

20．设B点为小球向左运动的最远点，且小球在B点能够停住，则小球克服力作的功应等于弹性势能的减少．此外，小球在B点所受静摩擦力必须小于最大静摩擦力，由此可得出停住点B点与O点之间的最大距离． ．

21.（2004广东）图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态．另一质量与B相同的滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行．当A滑过距离L1时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连．已知最后A恰好返回到出发点P并停止．滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为L2，重力加速度为g。求A从P点出发时的初速度v0．

解析：解析：令A、B质量皆为m，A刚接触B时速度为（碰前），由功能关系，有

A、B碰撞过程中动量守恒，令碰后A、B共同运动的速度为有

碰后A、B先一起向左运动，接着A、B一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A、B的共同速度为，在这过程中，弹簧势能始、末两状态都为零，利用功能关系，有

此后A、B开始分离，A单独向右滑到P点停下，由功能关系有

由以上各式，解得

注意：Ａ与Ｂ发生碰撞有机械能损失。

22.（2005全国理综I）如图，质量为的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体B相连，弹簧的劲度系数为，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。

解析：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有

①

挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有

②

B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧性势能的增加量为

③

C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，设B刚离地时D的速度的大小为，由能量关系得

④

由③④式得 ⑤

由①②⑤式得 即为B刚离地时D的速度。

三、振动类问题

23.如图所示，在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，开始时，振子被拉到平衡位置O的右侧某处，此时拉力为F，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t后到达平衡位置O处，此时振子的速度为v，则在这过程中，振子的平均速度为( )

A. v/2 B. F/（2kt）

C. v D. F/（kt）

24.在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子质量为M，振动的量大速度为v0．如图所示，当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放在其上，则(1)要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少多大？(2)一起振动时，二者经过平衡位置的速度多大?二者的振幅又是多大？(已知弹簧弹形势能EP=kx2 ,x为弹簧相对原长伸长量)

四、应用型问题

25.惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计，加速度计的构造原理示意图如下图所示。沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套一质量为m的滑块，滑块两侧分别与劲度系数为K的弹簧相连，弹簧处于自然长度，滑块位于中间，指针指示0刻度，试说明该装置是怎样测出物体的加速度的?

[分析] 当加速度计固定在待测物体上，具有一定的加速度时，例如向右的加速度a，滑块将会相对于滑杆向左滑动一定的距离x而相对静止，也具有相同的加速度a，由牛顿第二定律可知：a∝F而F∝x，所以a∝x。因此在标尺相应地标出加速度的大小，而0点两侧就表示了加速度的方向，这样它就可以测出物体的加速度了。

26.“加速度计”作为测定运动物体加速度的仪器，已被广泛地应用于飞机，潜艇、航天器等装置的制导系统中，如图所示是“应变式加速度计”的原理图，支架A、B固定在待测系统上，滑块穿在A、B间的水平光滑杆上，并用轻弹簧固定于支架A上，随着系统沿水平方向做变速运动，滑块相对于支架发生位移，滑块下增的滑动臂可在滑动变阻器上相应地自由滑动，并通过电路转换为电信号从1，2两接线柱输出．

巳知：滑块质量为m，弹簧劲度系数为k，电源电动势为E，内阻为r、滑动变阻器 的电阻随长度均匀变化，其总电阻R=4r，有效总长度L，当待测系统静止时，1、2两接线柱输出的电压U0=0．4 E，取A到B的方向为正方向，

(1)确定“加速度计”的测量范围．

(2)设在1、2两接线柱间接入内阻很大的电压表，其读数为u，导出加速度的计算式。

(3)试在1、2两接线柱间接入内阻不计的电流表，其读数为I，导出加速度的计算式。

解：（1）当待测系统静上时，1、2接线柱输出的电压 u0=E·R12/（R+r）

由已知条件U0=0.4E可推知，R12=2r，此时滑片P位于变阻器中点，待测系统沿水平方向做变速运动分为加速运动和减速运动两种情况，弹簧最大压缩与最大伸长时刻，P点只能滑至变阻器的最左端和最右端，故有：

a1=kL/2m， a2=-kL/2m

所以“加速度计”的测量范围为 [-k·L/2m，·L/2m]，

(2)当1、2两接线柱接电压表时，设P由中点向左偏移x，则与电压表并联部分

的电阻 R1=(L/2-x)·4r/L

由闭合电路欧姆定律得： I=E/(R+r)

故电压表的读数为： U=I·R1

根据牛顿第二定律得: k·x＝m·a

建立以上四式得: a=kL/2m - 5kLU/（4·E·m），

(3)当1、2两接线柱接电流表时，滑线变阻器接在1，2间的电阻被短路．设P由中点向左偏x，变阻器接入电路的电阻为：

R2=(L/2+x)·4r/L

由闭合电路欧姆定律得: E=I(R2+r)

根据牛顿第二定律得: k·x=m·a

联立上述三式得: a=k·L(E-3I·r)/(4I·m·r)

27.如图所示，小球在竖直力F作用下将竖直弹簧压缩，若将力F撤去，小球将向上弹起并离开弹簧，直到速度变为零为止，在小球上升的过程中

A.小球的动能先增大后减小

B.小球在离开弹簧时动能最大

C.小球的动能最大时弹性势能为零

D.小球的动能减为零时，重力势能最大

答案：AD

28（2000年春）一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为M的平板，处在平衡状态.一质量为m的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为h，如图9-9所示.让环自由下落，撞击平板.已知碰后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长.

A.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒

B.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒

C.环撞击板后，板的新的平衡位置与h的大小无关

D.在碰后板和环一起下落的过程中，它们减少的动能等于克服弹簧力所做的功

答案：AC

29如图所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短.现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中

A.动量守恒，机械能守恒

B.动量不守恒，机械能不守恒

C.动量守恒，机械能不守恒

D.动量不守恒，机械能守恒

答案：B

30.如图所示，轻质弹簧原长L，竖直固定在地面上，质量为m的小球从距地面H高处由静止开始下落，正好落在弹簧上，使弹簧的最大压缩量为x，在下落过程中，空气阻力恒为f，则弹簧在最短时具有的弹性势能为Ep=________.

答案：分析从小球下落到压缩最短全过程

由动能定理：（mg-f）（H-L+x）-W弹性=0

W弹性=Ep=（mg-f）（H-L+x）

专题三：弹簧类问题求解策略

在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为"轻弹簧"，是一种常见的理想化物理模型.弹簧类问题多为综合性问题，涉及的知识面广，要求的能力较高，是高考的难点之一.

★课前一练

1.（1999年全国）如图9-1所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为

A. B. C. D.

图9—1 图9—2

1. 如图9-2所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态.现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块2的重力势能增加了______，物块1的重力势能增加了________.

2. 质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时弹簧的压缩量为x0，如图9-3所示.一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为m时，它们恰能回到O点.若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O点的距离.

★案例探究

［例1］如图9-4，轻弹簧和一根细线共同拉住一质量为m的物体，平衡时细线水平，弹簧与竖直夹角为θ，若突然剪断细线，刚刚剪断细线的瞬间，物体的加速度多大?

命题意图：考查理解能力及推理判断能力.B级要求.

错解分析：对弹簧模型与绳模型瞬态变化的特征不能加以区分，误认为"弹簧弹力在细线剪断的瞬间发生突变"从而导致错解.

解题方法与技巧：

弹簧剪断前分析受力如图9-5，由几何关系可知：

弹簧的弹力T=mg／cosθ

细线的弹力T′=mgtanθ

细线剪断后由于弹簧的弹力及重力均不变，故物体的合力水平向右，与T′等大而反向，∑F=mgtanθ，故物体的加速度a=gtanθ，水平向右.

［例2］A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图9-6所示，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s2）.

（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；

（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过

程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J，求这一过程F对木块做的功.

命题意图：考查对物理过程、状态的综合分析能力.B级要求.

错解分析：此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0时 ,恰好分离.

解题方法与技巧:

当F=0（即不加竖直向上F力时），设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x，有

kx=（mA+mB）g

x=（mA+mB）g/k ①

对A施加F力，分析A、B受力如图9-7

对A F+N-mAg=mAa ②

对B kx′-N-mBg=mBa′ ③

可知，当N≠0时，AB有共同加速度a=a′，由②式知欲使A匀加速运动，随N减小F增大.当N=0时，F取得了最大值Fm,

即Fm=mA（g+a）=4.41 N

又当N=0时，A、B开始分离，由③式知，

此时，弹簧压缩量kx′=mB（a+g）

x′=mB（a+g）/k ④

AB共同速度 v2=2a（x-x′） ⑤

由题知，此过程弹性势能减少了WP=EP=0.248 J

设F力功WF，对这一过程应用动能定理或功能原理

WF+EP-（mA+mB）g（x-x′）=（mA+mB）v2 ⑥