2013高考数学押题卷(最后一卷)

（ 理 科 数 学）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一个选项是符合题目要求的）

1．若是纯虚数，则实数的值为（ ）

A． B．0 C．1 D．

2．已知集合，则=( )

A． B． C． D．

3．若，则函数的图像大致是( )

4．已知等比数列的公比为正数，且，则=( )

A． B． C． D．2

5．已知变量x、y满足的约束条件，则的最大值为( )

A．-3 B． C．-5 D．4

6．过点（0，1）且与曲线在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( )

A． B． C． D．

7．函数的图象为，如下结论中正确的是( )

①图象关于直线对称； ②图象关于点对称；

③函数在区间内是增函数；

④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象

（A）①②③ （B）②③④ （C）①③④ （D）①②③④

8．已知，则（ ）

A．1 B． C． D．

9．若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是x∈( )

A．[0，1] B．[3，5] C．[2，3] D．[2，4]

10．设若，则的值是( )

A. -1 B. 2 C. 1 D.-2

11．△ABC中，∠A=60°,∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB=3，且，则AD的长为( )

A．1 B． C． D．3

12．在三棱锥S—ABC中，AB⊥BC,AB=BC=,SA=SC=2,，二面角S—AC—B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是( )

A． B． C．24 D．6

二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13．在△ABC中，B=中，且,则△ABC的面积是　　　　　

14．若函数的定义域为R，则m的取值范围是　　　　　　

15．已知向量满足：，且，则向量与的夹角是　　　　　　

16．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是　　　 　　

正视图 侧视图 俯视图

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分12分)

设是公比大于1的等比数列，Sn为数列的前n项和．已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前n项和Tn．

18．(本小题满分12分)

甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，其中甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红球，3个白球。现从甲、乙两袋中各任取2个球。

（Ⅰ）用表示取到的4个球中红球的个数，求的分布列及的数学期望；

（Ⅱ）求取到的4个球中至少有2个红球的概率．

19．(本小题满分12分)

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，

⊥底面.

(Ⅰ)证明：平面平面；

(Ⅱ)若，求与平面所成角的正弦值。

20．(本小题满分12分)

已知双曲线与圆相切，过的一个焦点且斜率为的直线也与圆相切．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）是圆上在第一象限的点，过且与圆相切的直线与的右支交于、两点，的面积为，求直线的方程．

21．（本小题12分）

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围。

请考生在第23~24两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为 圆心、为半径。

（Ⅰ）写出直线的参数方程和圆的极坐标方程；

（Ⅱ）试判定直线和圆的位置关系。

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数.

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）如果，求a的取值范围。

新课标2013届高考模拟试卷答案（理科数学）

一、选择题：

二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13. 6 14. ［0，4］ 15． 16．8－

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

１７（Ⅰ）设数列的公比为，

由已知，得 ， ……………………………………2分

即， 也即 解得 ………………………………………………………………………5分

故数列的通项为． ………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴ ， …………8分

又，

∴ 是以为首项，以为公差的等差数列 ……………10分

∴

即． ……………………………………………………………12分

18解：（Ⅰ）： ，

，

随机变量的分布列为

数学期望………………………………………8分

（Ⅱ）所求的概率………………12分

19(Ⅰ) 证明： ∵

∴

又∵⊥底面

∴

又∵

∴平面

又∵

∴平面

∵平面

∴平面平面……………………………………………6分

(Ⅱ)如图，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系

则，，，

，，

设平面的法向量为，

解得

……………………………………………12分

20解：（Ⅰ）∵双曲线与圆相切，∴， ………………2分

过的一个焦点且斜率为的直线也与圆相切，得，既而

故双曲线的方程为 ………………………………5分

（Ⅱ）设直线：，，，

圆心到直线的距离，由得………6分

由得

则， ……………8分

又的面积，∴…………10分

由， 解得，，

∴直线的方程为. …………………12分

21解： （），

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

由及得；由及得，

故函数的单调递增区间是；

单调递减区间是。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（）若对任意，，不等式恒成立，

问题等价于，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

由（）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

当时，；

当时，；

当时，；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

问题等价于或或．．．．．．．．．．．．．．．11分

解得或或

即，所以实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

23.解（Ⅰ）直线的参数方程是，（为参数）

圆的极坐标方程是。 ………………5分

（Ⅱ）圆心的直角坐标是，直线的普通方程是，

圆心到直线的距离，所以直线和圆相离。……10分

24解：（），

不等式即为，等价于

；

或；

或．

综上，不等式的解集为或．．．．．．．．．．．．．．．5分

(II)若，，不满足题设条件．

若，；

若，．

所以的充要条件是，从而a的取值范围是．．10分

2013年高考数学押题卷（最后一卷）试题及答案（理科数学）