华南理工大学-新生入学数学考试试卷与解答

发布时间：2020-07-02 13:11:29

华南理工大学新生入学数学试卷

一、 填空题（每题4分，共40分）

1、8f5721a463a5ea9b35580a7dcf73fdfe.png除以100的余数是43ec517d68b6edd3015b3edc9a11367b.png

2、函数a43c5df1931f8f3a2027e63319d0e4ba.png的最大值为2220b8c3ab07fba32b9ca9c0598aa042.png

3、设04add8ccc8a6c662561a51e1750937d5.png（其中f47950a73ee734549f8bbedaf73a6184.png），则使的取值范围是356d99d5738193d5f9d878ca625df76a.png

4、学校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学必须选修4门。问共有d09bf41544a3365a46c9077ebb5e35c3.png种不同的选修方案（用数值作答）

5、如图（略），在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，faf5614098ba4d52a4879d5b90667514.png是边f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png上的一点，且db7675acd0baa333c0c20a8f3b1876d3.png，则dbe19851455ec8b5e113ab74dc017dfb.png014dcadeaf08d100a99f62bbfd14ca70.png

6、设69748c0e35087dc0d3c54ab0a0d41cd6.png都是复数，且7da14b5b1682db92741f7e62ab594df7.png，则397df674898b454b1cb5f6665e6e137f.png的值是31bf0b12546409e15021243132fc7574.png

7、某公司用60万元资金计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不少于对项目乙的6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png倍，且对每个项目的投资不能低于5万元。对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙甲每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为849d3db5135a33306089d5e005583093.png万元

8、设一元二次方程228fa45b0ca2ec01e8f2e5d8f2775255.png，其中系数74aefa13d6ab8e4bfbd241583749dfe8.png分别是将以匀称色子接连投掷两次先后出现的点数，则方程有重根的概率为47a2255d97f994fd9d873b0f9ab9c7c5.png

9、已知六棱锥的高为2510c39011c5be704182423e3a695e91.png，底面积是全面积5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png的四分之一，则5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png与2510c39011c5be704182423e3a695e91.png的函数关系式6a0f61634d2880122a014c039abe7b00.png03b04ffe20755e2a403324059b4cdd0d.png

10、设b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png是抛物线5af1bcfc73e5c8490e0237a3e1f9d933.png上长为2的动弦，则线段b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png中点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的轨迹方程是83f3869fd4c1413296c86cb25c70d933.png

二、 解答题 （每题10分，共60分）

11、设函数0390c4a61bdccf61029e589b4c6bfe8c.png的最大值为6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png。试问：随0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的变化，6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png作怎样的变化？在以0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png为横坐标，6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png为纵坐标的直觉坐标系中画出反映这种变化的图像

解 设9da8c8d546966f8a31fdaff1a4157ce0.png，则27d353520ab217b4e82067bd45158c9d.png

当ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png时，499386a297f4ddfca68ca0e07ad6f3dc.png，则c6be0fcd2250ebfa8a965b12d5ab950d.png

当570f3094d1e4101e5fd2aee42ed7c589.png时，有7de4d20e849d6436028d47c26d39ba48.png，则

当2a5790a7c14041ed42617056b085cd34.png，即d9bd298ea52c1d890b31e2fb81b9479b.png时，49953e5ae8c353a4436b363b945757e7.png

当25ef758ed7992c03426845dce584dea1.png，即cd52b3f93f93bb559ce669cdb3f51f4c.png时，3b0a32b00602ce4665b4f5ac170d518e.png

当cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png，即cd52b3f93f93bb559ce669cdb3f51f4c.png时，3b0a32b00602ce4665b4f5ac170d518e.png

故e9fa6127f313484b3b61b34202d491fa.png （图略）

12 解关于实数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的不等式ce2296cbe9a2fb2eef8355a2d28d324d.png。其中0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png是大于零的常数。

解 同解不等式组为：ec3007398e8b0710e991def760287006.png或4a262aab31304d1de996abf324687374.png

因为323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，可化简为9847a102f3f231743c52405f695d6f90.png或75d0f4d41ff9dbf06720beeb78e0d696.png

当daebe3322cb2c801dfc685f03565f904.png时2e76396993b598a359c42888dfd520e1.png或3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png

当d834a943b0a92f67d91481b42bc89d84.png时646ba6bdcc2863e99b9574f098737c55.png或6baf6190621455f83ce6a16d28f7a9be.png

综上所述，当daebe3322cb2c801dfc685f03565f904.png时解集为94e936f95e86549336cd5cebe94dcf56.png，当d834a943b0a92f67d91481b42bc89d84.png时解集为7b31ed89938a0fa86f7fb104d4b0cec4.png

13 正方形ABCD的边长为4，E、F分别是的中点AB、AD，作GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点到平面的距离。

解 如图所示（略），连接EG、FG、EF、AC、BD，设EF、BD分别交AC于H、O。

由题设可知：EF//BD, H为AO的中点，BD//平面EFG, 求BD与平面EFG的距离即可

226531459df03205d548219bce222f00.png，又1bbb46eb4c2ef2d2ff7b2cdffdcbaecb.png平面，1336faa8fbaea2bfbf9223a451d08488.png

可知94e61494546758ac541fb7f5fe13ea91.png平面，从而平面c30671eb50ea9d7f118abcc6b704a1cf.png平面，HG是两垂直平面的交线

作cd1cc4007d5ae232af95017986eb3b0d.png交于点K, e4d9456333aa3448700cc60f82c0b221.png平面，OK的长即为所求的距离

由b21efbc797ee2986581b997a03c61015.png可知：88eeec7427592d62ef8022bcf9a89c35.png

14已知直线0e2326e6c74699fae0cb772e29212328.png交曲线f02a96f0827799f881ecb39e43e26635.png于6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png两点，44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png是这直线上的点，且4b5f223197116193b67113a1e4e7b980.png。求当6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png变化时，点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的轨迹方程，并指出它是什么图形。

解 由43d7a797caf0085d541d5d82f0ca3def.png消去415290769594460e2e485922904f345d.png得方程ed9ff5c9c3f3816ea7696b804d479402.png

方程要有两个不等的实根，有判别式55572ad9aeddcc415b04fa3e0e1cc5eb.png可得f7d63e7a8846d5dc47d668fcda807971.png

该方程的两根是点A、B的横坐标，设为b5fc2b771203ba30dd6d92b0b850d812.png

设4b0fff314fb6dbbe87d5fcb163ca03e8.png由已知条件，有607539a09ea79dd58446a1fd30d59eb9.png

即015965e099acb5b5b2a9a126769202e6.png

利用韦达定理，上式可写为314d69208390da52e2a4b51d2f21ba78.png

将0e2326e6c74699fae0cb772e29212328.png代入上式消去6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，可得e3d96cf485a9360aa147eddf1aedef58.png

化简得ce8bbf92f6ca100017357ba9f59ac217.png及d9e5ae3ec8e65dacfb4731a92b13781b.png

即450a37279302219c397c4acdec257ec2.png及aa191cc117ad8b3d8f9dd63a9ccb6674.png

从而，当6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png变化时，点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的轨迹为椭圆450a37279302219c397c4acdec257ec2.png在两直线b5e64bb706c75428b52276053f4ed13a.png之间的部分，及点7ddfc20ea128b714a623a4d7e5cc84cd.png。

5、设数列52a02a198f7e2f077e22ae201f9bb7cc.png满足235beb26ef1d2163e499d574febfdd5b.png。

（1）求数列52a02a198f7e2f077e22ae201f9bb7cc.png的通项；（2）求a1800b181a944d32d5b2082b6c8ec2f5.png

解 由0bc228c9426246c727df4b2725985021.png，令7e17ce1f8115b5a86417bd94895ca452.png，则有569e01d6e20db6e9e1919139d8c5bfe1.png

将上式变形转化为一阶递推：42bdbe06700fff008a94f2d1adaa046d.png

依次有300277e9f751cdd200395a523e948ec5.png

故3aa4e44fda67c4b632515ead0f726f19.png

从而07ac3a3887f6966833de7563e8eebeb1.png，80fe69ce5d16da7868bb1c637dfee376.png

6、在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，已知0f8c628ca3687b41c55dac5cfc67bd8d.png。

证明：（1）7f675c0cf4ecfd8955d23c4f0f417b7a.png成等比数列；（2）7bf535a948f84f0c8bc55115a0415a07.png成等比数列

证 （1）在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，80088cdb34ba60a32dd2025185e98db6.png，可得c8c5c62a6978f9695e02daf70bc14277.png

由已知条件得6a7d826e37098b412e8b77fd85956859.png

20abadf1174e3f373249f9c30045be2c.png

从而b1d024059862afc24d157dd22043d0da.png，

即08e947ec10103a3bfd19b5e5dd36b2a6.png，

16c69938eac4db69369fb0361018cc06.png，因此467429530718704ce9010fa713cd5a99.png

故，7f675c0cf4ecfd8955d23c4f0f417b7a.png成等比数列；

（2）beec4b9539dee969893754801c151c20.png，aac67deb0481d4cbb1bd7c3f5770b2cb.png

429cf076828a95a8d28e11ecfd91c1b4.png

因此7bf535a948f84f0c8bc55115a0415a07.png成等比数列

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