赣州一中2019-2020学年度第二学期线上教学质量检测

高二数学（理）试卷

第Ⅰ卷（选择题)

一、单选题

1.已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）

A. B. C. 1 D.

【答案】D

【解析】

分析】

根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解.

【详解】因为复数z满足，

所以，

所以z的虚部为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

2.点M的球坐标为（8，，），则它的直角坐标为（ ）

A. （6，4，2） B. （6，4，2）

C. （6，2，4） D. （6，2，4）

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用转化公式求解即可

【详解】

，

，

所以M的直角坐标为

故选D.

【点睛】本题主要考查球坐标与直角坐标的互化公式，属于基础题.

3.函数f(x)＝x2－ln 2x的单调递减区间是(　　)

A. B. C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出f(x)的导数f′(x)，令f′(x)≤0即可解出答案（注意定义域）

【详解】由题意知，函数f(x)定义域为x>0，

因为f′(x)＝2x－＝，由f′(x)≤0得解得0<x≤.

【点睛】本题主要考察利用导数解决函数单调性的问题．属于基础题

4.已知正三棱柱，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，设正三棱柱的各棱长为2，可得点的坐标，可得与的值，由空间向量知识可得异面直线与所成角的余弦值.

【详解】解：如图，

以A为坐标原点，建立以所在直线为轴，所在直线为轴，在平面与垂直直线为轴的空间直角坐标系，设正三棱柱的各棱长为2，

可得,,,,

,,

异面直线与所成角为，可得，

故选：C.

【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的相关问题，属于基础题，注意运算准确.

5.已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ）

A. 6 B. 3 C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求得直线的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得位于，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.

【详解】解：曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，

直线的方程为，

可得，由圆与直线的位置关系知在时，到直线距离最短，即为，

则的面积的最小值为.

故选：B.

【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．

6.的展开式中的系数是（ ）

A. 56 B. 84 C. 112 D. 168

【答案】D

【解析】

因为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，所以的系数为.故选D.

【考点定位】二项式定理

7.已知圆的渐开线的参数方程为,(为参数），则此渐开线的基圆的周长是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据圆的渐开线的参数方程，得到基圆的半径，计算得到其周长.

【详解】由圆的渐开线的参数方程，知基圆的半径，则基圆的周长为.

【点睛】本题考查了渐开线的基圆知识点，属于简单题.

8.已知实数，，满足，则的最小值为

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

由柯西不等式，可得，

所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．故选C．

9.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ）

A. 100种 B. 60种 C. 42种 D. 25种

【答案】C

【解析】

【分析】

给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数.

【详解】甲可有3种安排方法，

若甲先安排第1社区，

则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共；

第2社区2个、第3社区安排2个，共；

第2社区3个，第3社区安排1个，共；

故所有安排总数为.

故选：C.

【点睛】本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意判断几何体的形状，几何体扩展为长方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积

【详解】几何体为三棱锥，可以将其补形为长和宽都是，高为2的长方体

该长方体的外接球和几何体的外接球为同一个

故，

所以外接球的表面积为：．

故选：C

【点睛】本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.

11.已知是双曲线的右焦点，点在的右支上，坐标原点为，若，且，则的离心率为（ ）

A. B. C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设双曲线的左焦点为运用余弦定理可得，再由双曲线的定义可得，即为，运用离心率公式计算即可得到所求值．

【详解】设双曲线的左焦点为

由题意可得，，

即有

，

即有，

由双曲线的定义可得，即为，

即有，可得．

故选D．

【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．

12.已知，若,，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

把不等式转化为，令，得到在上单调递增，得到在恒成立，转化为在上恒成立，求出函数在上的最大值，即可求解.

【详解】设，把转化为，

令，得到在上单调递增，

则在区间上单调递增，

所以在上恒成立，整理得在上恒成立，

因为，所以函数在区间上单调递增，故，

因为，所以，即，故选A.

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求解方程的根问题，其中解答中把转化为函数，利用函数单调性与最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

第Ⅱ卷（非选择题)

二、填空题

13.由曲线y=x2和y2=x围成的封闭图形的面积是 ．

【答案】

【解析】

试题分析：联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2与y2="x" 所围成的图形的面积．

解：先将y2=x化成：，

联立的：因为x≥0，所以解得x=0或x=1

所以曲线y=x2与所围成的图形的面积S=∫01（﹣x2）dx=﹣x3|01=

故答案为．

考点：定积分在求面积中的应用．

14.已知在等差数列中，，，前n项和为，则________.

【答案】39

【解析】

【分析】

设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可.

【详解】设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以.

故答案为：39

【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题.

15.设，，，，是1，2，3，4，5的任一排列，则的最小值是_____．

【答案】35

【解析】

【分析】

利用反序排列，推出结果即可．

【详解】由题意可知：，，，，是1，2，3，4，5的反序排列时，取得最小值，即．

故答案为35．

【点睛】本题考查反序排列的性质，考查计算能力

16.如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，设小圆柱体底面半径为，则高为，小圆柱体体积，设，则，利用导数性质能求出小圆柱体体积的最大值.

【详解】根据题意画出图象：

由题意，设小圆柱体底面半径为，

则高为，

小圆柱体体积，

设，

则

则

当时，

故答案为：

【点睛】本题考查圆柱体体积的最值问题，根据圆柱体积公式构建函数，求导研究函数的性质，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于难题.

三、解答题

17.已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2），均为正实数，若为函数的最小值，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）利用零点分段讨论求解不等式；

（2）根据绝对值三角不等式求出的最小值为6，即，结合基本不等式求解最值得到取值范围.

【详解】（1）

或或

解得.所以解集为.

（2）.

所以，

当且仅当时等号成立.

所以的范围为.

【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式求最小值，利用基本不等式求取值范围，需要注意考虑最值等号成立的条件.

18.在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

当时，判断直线与曲线的位置关系；

若直线与曲线相切于点，求的值．

【答案】直线与曲线相离；.

【解析】

【分析】

当时，直线的方程为，根据已知条件可得，又因为，，替换写成标准式得，进而判断出直线与曲线相离；

将直线的参数方程代入中，整理得，根据直线与曲线相切，可得，进而算出的值.

【详解】当时，直线的方程为，

由，得，又因为，，

得，即，

所以曲线是椭圆，左顶点为，因为直线过点且垂直于轴，

所以直线与曲线相离．

解法一：将直线的参数方程代入中，

得，

整理得，

因为直线与曲线相切，所以，

化简得：，，

因为点在直线上，所以．

解法二：显然直线的斜率存在且过点，

设直线的方程为，

将其代入，并整理得：，

因为直线与曲线相切，

，

，所以，即，，，

所以，所以，

．

【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，属于中档题.

19.某中学为研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.

(1)请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？

（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为，求的分布列和数学期望.

【答案】(1) 在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关(2) 分布列为

故的数学期望为：

【解析】

试题分析：（1）由题意得“课外体育达标”人数为50，则不达标人数为150，由此列联表，求出，从而得到在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．

（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为6人，在达标学生中抽取人数为2人，则的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和

试题解析：

（1）由题意得“课外体育达标”人数：，

则不达标人数为150，∴列联表如下：

∴

∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关

（2）由题意采用分层抽样在“课外体育达标”抽取人数为6人，在“课外体育不达标”抽取人数为2人，则题意知：的取值为1，2，3.

故的分布列为

故的数学期望为：

20.如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．

证明：；

求平面与平面所成的锐二面角的大小．

【答案】证明见解析；.

【解析】

【分析】

由余弦定理得 ，从而，由底面，得，从而平面，由此能证明;

以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能法出平面与平面所成的锐二面角的大小．

【详解】解：证明：，，

由余弦定理得，从而，

，

又底面，可得，

平面，平面

所以平面，又平面，

.

如图，以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，

则，，

，，，

平面的一个法向量为，设平面的法向量为，

则，取，，得，

，

故平面与平面所成的锐二面角的大小为.

【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

21.已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.

【答案】（1）（2）点在以为直径的圆上

【解析】

【分析】

（1）根据题意列出关于，，方程组，解出，，的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）设点，，则，，求出直线的方程，进而求出点的坐标，再利用中点坐标公式得到点的坐标，下面结合点在椭圆上证出，所以点在以为直径的圆上．

【详解】（1）由题意可知，，解得，

椭圆的标准方程为：.

（2）设点，，则，，

直线的斜率为，

直线的方程为：，

令得，，

点的坐标为，，

点的坐标为，，

，，

又点，在椭圆上，

，，

，

点在以为直径的圆上．

【点睛】本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题．

22.已知函数(为常数)，曲线在与轴的交点A处的切线与轴平行．

(1)求的值及函数的单调区间；

(2)若存在不相等的实数使成立，试比较与的大小．

【答案】（1）a=2,在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．（2）x1＋x2＜2ln 2

【解析】

【分析】

(1)由导数的几何意义得到，求出a的值，再求函数的单调区间.(2) 令g(x)＝ (x)－(2ln 2－x)＝ex－－4x＋4ln 2(x≥ln 2)，

利用导数得到函数g(x) 在(ln 2，＋∞)上单调递增，即(x)＞(2ln 2－x)，不妨设x1＜ln 2＜x2，所以(x2)＞(2ln 2－x2)，再证明x1＋x2＜2ln 2．

【详解】(1)由，

得．且f(x)与y轴交于A(0.0)

所以，所以a=2，

所以,．

由＞0，得x＞ln 2．

所以函数在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．

(2)证明：设x＞ln 2，所以2ln 2－x＜ln 2，

(2ln 2－x)＝e(2ln 2－x)－2(2ln 2－x)－1

＝＋2x－4ln 2－1．

令g(x)＝ (x)－(2ln 2－x)＝ex－－4x＋4ln 2(x≥ln 2)，

所以g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0，

当且仅当x＝ln 2时，等号成立，

所以g(x)＝(x)－(2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．

又g(ln 2)＝0，所以当x＞ln 2时，g(x)＝(x)－(2ln 2－x)＞g(ln 2)＝0，

即(x)＞(2ln 2－x)，不妨设x1＜ln 2＜x2，所以(x2)＞(2ln 2－x2)，

又因(x1)＝(x2)，所以(x1)＞(2ln 2－x2)，

由于x2＞ln 2，所以2ln 2－x2＜ln 2，

因为x1＜ln 2，由(1)知函数y＝(x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减，

所以x1＜2ln 2－x2，

即x1＋x2＜2ln 2．

【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

江西省赣州一中2019-2020学年高二下学期线上教学质量检测数学（理）试题含解析