求二次函数解析式的基本方法及练习题

二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：

1、一般式：y=ax+bx+c (a≠0)。

2、顶点式：y=a(x－h) +k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。

3、交点式：y=a(x－x)(x－x) (a≠0)，其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标。

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。

探究问题，典例指津：

例1、已知二次函数的图象经过点和．求这个二次函数的解析式．

分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax+bx+c (a≠0)。

解：设这个二次函数的解析式为y=ax+bx+c (a≠0)

依题意得： 解这个方程组得：

∴这个二次函数的解析式为y=2x+3x－4。

例2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线的顶点坐标为，最好抛开题目给出的，重新设顶点式y=a(x－h) +k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)－1 (a≠0)

又抛物线与轴交于点。

∴a(0－4)－1=3 ∴a=

∴这个二次函数的解析式为y= (x－4)－1，即y=x－2x+3。

例3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C。求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。

分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x)(x－x) (a≠0)，其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－2)

又连结AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：

OC=AC·BC=8×2 ∴OC=4

即C(0,4)。

∴a(0+8)(0－2)=4 ∴a=

∴这个二次函数的解析式为y= (x+8)(x－2)，即y=x－x+4。

变式练习，创新发现

1、在图的方格纸上有A、B、C三点（每个小方格的边长为1个单位长度）．

（l）在给出的直角坐标系中分别写出点A、B、C的坐标；

（2）根据你得出的A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数

的解析式．

2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。

3、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）

4. 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2．

参考答案：

1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。 （2）y=x－4x+9。

2、y=(x－2) +1，即y=x－4x+5。

3、y=－(x+2)(x－1)，即y=－x－x+2。

4.分析：　　(1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2

　　解：

　　(1)设y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)

　　∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8

　　∴解析式y=2x2+4x-6

　　(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．

　　(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y随x增大而减小

　　∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n

　　∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)

　　说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx＋c，得：

　　题(2)充分利用对称性可简化计算．　　

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