1.2.4 绝对值

【教学目标】

1、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义

2、掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法.

3、体验运用直观知识解决数学问题.

【教学重难点】

1、重点：绝对值的概念。

2、难点：绝对值的概念与两个负数的大小比较

【教法与学法】

1、 教法指导：创设问题情境，引起学生学习兴趣，让学生通过自主合作，观察、探究知识的产生、发展过程。利用数形结合思想，引入绝对值概念，形象生动。归纳有理数的绝对值时，利用分类讨论思想对正数、0，负数的绝对值进行总结。利用类比的方法，把数轴上数的大小与温度计中度数的高低进行比较，总结出负数比较大小的规律。讲解例题时，让学生先结合所学知识点进行自主探究，然后教师再规范、总结解题过程。

2、 学法指导：通过小组交流、合作、自主探究知识的产生、发展过程，探索各个知识点之间的联系，充分利用已学的数形结合思想，并体会分类讨论思想、类比思想方法，以此来加深理解绝对值的概念，以及负数比较大小的规律。

【探究课堂】

【教学准备】

教师：刻度尺，小黑板或多媒体，温度计图片

学生：刻度尺

【教学过程】

一、 情境引入

问题 两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A、B两处如图，它们的行驶路线相同吗？它们行驶路程的远近（线段OA、OB的长度）相同吗？

学生讨论回答

教师总结：两辆车的行驶路线相反，它们行驶的路程相同都是10km。

我们把上面这个过程看成一个数轴，那么就有数轴上表示-10和10的两个点到原点的距离都是10。

数轴上，一个点到原点的距离，是“形”的描述，那么对于“数”是表示一个数的绝对值。下面我们一起来学习今天的新知识——绝对值。

二、互动新授

问题1 如图数轴上有A、B、C、D、四个点，

点A表示的数是（ ），点A到原点的距离是（ ）个长度单位；

点B表示的数是（ ），点B到原点的距离是（ ）个长度单位；

点C表示的数是（ ），点C到原点的距离是（ ）个长度单位；

点D表示的数是（ ），点D到原点的距离是（ ）个长度单位；

学生活动：小组合作探究

教师总结：点A-2 2；点B2 2；点C-0.5 0.5；点D0.5 0.5；

数学上定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。如上面的-2的绝对值是2；2的绝对值也是2。还有0.5与-0.5的绝对值都是0.5。用绝对值符号表示为：︱-2︱=2，︱2︱=2，

︱-0.5︱=0.5，︱0.5︱=0.5，显然︱0︱=0

设计意图：利用学生故有知识，从特殊到一般来理解绝对值“形”的含义。

问题2 a的绝对值等于什么？

学生活动：根据问题2的结论，来总结任意正、负数a的绝对值怎么表示。

师生合作探究：a在这里可能是正数、0、负数，那么我们应该分类来讨论a的绝对值，结果去掉绝对值符号并用含a的式子来表示。我们可以利用绝对值定义写成下面的式子：（1）当a是正数时，︱a︱=_____；（2）当a是负数时，︱a︱ =______；（3）当 a=0时，︱a︱ =____

教师总结：一个正数的绝对值等于它本身； 一个负数的绝对值等于它的相反数； 0的绝对值是0 。

（1）当a是正数时，︱a︱= a ；

（2）当a是负数时，︱a︱ = -a ；

（3）当 a=0时， ︱a︱ = 0 ；

设计意图：引导学生字母表示数，并引入分类讨论思想。

问题3 写出下列各数的绝对值：1，-1.5，0，，

学生活动：根据绝对值概念，小组合作探究，学生先解答第一个数，教师评讲完再统一格式做后面的题目。

师生合作探究：我们已经总结了求绝对值的规律，可以分成正数、0、负数三类来求解。

教师总结：︱1︱=1， ︱-1.5︱=1.5， ︱0︱=0， ︱︱=， ︱︱=

设计意图：学生先通过探究、解答，教师再评讲，有益于学生对知识点的理解和巩固。

问题4 下面是一周天气预报，给出了每天的最高和最低温度：周一0℃～8℃，周二1℃～7℃，周三-1℃～6℃，周四-2℃～5℃，周五-4℃～3℃，周六-3℃～-4℃，周日2℃～9℃。其中最高的是 ℃，最低的是

℃。你能将这14个温度从低到高的顺序排列吗？在把这些数字搬到数轴上观察，你能得出什么结论？

学生活动： 小组合作探究

师生合作探究：我们知道气温的高低，-3℃就是零下3摄氏度，它比零下4摄氏度高还是低呢？

教师总结：同学们来观察温度计图片，我们知道0℃上方的温度是越来越高的，相对应正数就是越来越大；0℃下方的温度是越来越小的，相对应的负数就越来越小。因此以上温度从低到高排列顺序就是：-4,-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。

把这些数字表示在数轴上如：

我们发现温度由低到高地排列顺序，就是数轴上它们各点的位置是从左到右的排列顺序。

数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。由这个规定可知-6 ＜-5，-5 ＜-4，-4 ＜-3，-2 ＜0，-1＜ 1… 。

设计意图：以学生熟悉的问题情境引入数的大小比较，学生容易与数轴进行类比，理解大小比较的规律。

问题5 那么我们每次比较大小都要从数轴上观察吗？负数与负数的大小能利用它们的绝对值关系来比较吗？

学生活动：小组合作探究

师生合作探究：比如我们比较-6与-5，从数轴上排序看，我们知道了-6 ＜-5。取它们的绝对值，

有︱-6︱＞︱-5︱，再举几个例子看看，存在相同的结论吗？

教师总结：由上面我们可以总结出：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。

设计意图：激发学生对知识的解答寻求更加简便的方法，拓展绝对值的应用。

例 比较下列各数的大小：

（1）-（-1）和-（+2）； （2）和； （3）-（-0.3）和︱︱

学生活动：先独立完成第（1）题，再小组讨论答案。等教师评讲完，再统一格式做右面的两题。

师生合作探究：应先化简各个数，正数与正数、正数与负数比较，可以直接得大小；负数与负数比较，先求它们的绝对值。

教师总结：（1）先化简，-（-1）=1，-（+2）=-2。因为正数大于负数，所有1＞-2，即-（-1）＞-（+2）。

（2）这是两个负数比较大小，先求它们的绝对值。︱︱=， ︱︱==。

因为 ＜即︱︱＜︱︱，所以 ＞。

（3）先化简，-（-0.3）=0.3，︱︱= 因为 0.3＜ 所以-（-0.3）＜︱︱。

从上面的例题我们还可以进一步总结：异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。

设计意图：综合所学知识点，符合知识的发展过程。学生先探究，教师再评讲、规范解题过程，有益于学生对知识点的理解和巩固。

三、巩固拓展

1、如果︱-a︱=-a，则的取值范围是 。

师生互动探究：本题是已知一个数的绝对值，要求这个数是什么数。可以观察这个数的绝对值与它什么关系，根据问题3的结论来求解。（-a的绝对值是它本身，所以a是正数或0）

2、有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图，则下列大小关系正确的是（ ）

A、-a>-b B、a >b C、-a >-b D、-b>a

师生互动探究：从数轴上可观察到两个信息：（1）a是负数，b是正数，那么-a、-b分别是什么数？（2）点b到原点的距离比点a到原点的距离大，则︱b︱＞︱a︱。 知道以上两点，就可以用问题6得出的结论来判断ABCD四个答案哪一个正确了。本题还有一种针对选择题的简便方法：用特殊设值法，假设a=-1，b=2，则相应的选项中的值就直观了，问题引刃而解。

参考答案：1、a≥0； 2、C

四、课时小结

1、学生讨论本节课的收获。

2、绝对值概念，求绝对值方法，比较有理数大小的方法，特别是如何比较负数与负数的大小。

课时作业设计：

1、绝对值小于6的负整数是________，其中最大的数是_____，最小的数是_____，

2、大于-2的最小整数为____，小于-3.56的最大整数为______．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3、一个数的绝对值是，那么这个数为______．

4、； ；

5、．；；

6、比较大小：（1）2.5 -2.3； （2）-2 -3； （3）

（4）-（-1.3） -2.4 （5）+ （6）-（+） +

7、-，-，-的大小顺序是（　　）

A．-＜-＜- B．-＜-＜- C．-＜-＜- D．-＜-＜-

8、如果，则，．

【教学设计反思】

本节课绝对值概念较为抽象，学生难以理解。教师在设计中，应以学生熟悉的生活情境，在数轴和相反数已学知识的顺延下，引导学生通过数形结合思想来理解绝对值概念。先举例特殊数来介绍绝对值概念，再用分类讨论思想来归纳、总结一般有理数的绝对值，容易使学生加深理解概念。在学习有理数的比较大小时，用温度计和数轴进行类比，形象、生动易于理解。

本节课教学过程以创设问题的形式，把整节课要学习的知识点串联起来，问题的顺序由符合知识的产生、发展规律，符合学生对新知识，探索、求知的心理特点。

【导学方案】

【学法点津】

用数形结合法，在数轴上探索绝对值概念产生的过程。由特殊数的绝对值推导出任意有理数a的绝对值。利用分类讨论法概括出绝对值a的三种可能。用熟悉的温度计类比数轴，观察到数轴上有理数的大小排列规律，并结合绝对值探索出负数与负数比较大小的简便方法。解题当中应该把数轴、相反数、绝对值的知识点有机地结合起来，使各个知识点相互接应。

【学点归纳总结】

一、 知识要点总结

1、一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。一个正数的绝对值等于它本身； 一个负数的绝对值等于它的相反数； 0的绝对值是0 。

（1）当a是正数时，︱a︱= a ；

（2）当a是负数时，︱a︱ = -a ；

（3）当 a=0时， ︱a︱ = 0 ；

求解一个数的绝对值时应先判断这个数是正数、0、还是负数，然后相应地根据上面的结论来推导。

2、由在数轴上左边的数小于右边的数，推导出（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负

数，绝对值大的反而小。两数比较大小，应先化简，再判断化简后的两数是正数、0、还是负数，然后相应

地根据上面的结论推导。特别地，当两个负数比较大小时应先求出它们的绝对值。

二、规律方法总结

1、绝对值概念，可以利用数形结合的方法在数轴上探索得出。

2、求解任意有理数a的绝对值，利用分类讨论法，归纳、总结出三种可能。

3、推导两数的大小规律，把数轴和温度计进行对比，可以利用类比法。

三、易错问题误区点拨

【典例1】绝对值等于4的数是______．

【错解分析】4,。误以为题目是求4的绝对值。

【正解分析】4和-4。从“形”上理解，就是求到原点距离是4的点，应该在原点两边各有一点，分别是4和-4表示的点；从“数”上理解，4和-4的绝对值都是4。

【典例2】写出绝对值不大于2的整数

【错解分析】0，1，2。没意识到负整数取绝对值就是正整数了。

【正解分析】-1，-2，0，1，2。绝对值问题要分类来考虑，注意负数的绝对值是它的相反数。

【学习资料链接】

关于绝对值的争议

如果把向南走1公里记为+1，把向北走1公里记为-1，对于向北走，-1求绝对值等于1，结果就成了向南走了1公里。显然这里是有问题的。 问题在于无论是正数还是负数都是相对数，不是绝对数，所以相对数求绝对值后得到的应是无符号的数，而不是正数。所以，无符号的数不只是一个零，应该还有其他的无符号数！ 所以有，|-1|=|+1|=1，这里1不是正数，而是与0一样的无符号数！

如果把向零上的10度记为+10，把零下5度记为-5，问：一共上下差多少度，计算方法是两个数的绝对值相加，也就是15度。如果问温的和是多少度，计算方法就是相对数相加，是+5。 　　

如果题中没有说什么是正，如：邮递员送信先向南10米，再向北5米，做题前必须写：记什么为正，一般不用写另一个，因为不是正就是负，知道一个就行了。 　　

所以对于绝对值的概念也是有争议的。有人并不认为绝对值就一定是正数。这说明数学也是在不断发展之中的。而我们的见到的数学只是历史的过程中的一个阶段之一，没有影响到正常的学习。

【巩固拓展练习】

1、；；

2、；；

3、比较大小：（1）2 -3； （2） -3.14_____；（3） -

4、______的相反数是它本身，_____的绝对值是它本身，_______的绝对值是它的相反数．

5、，则；，则．

【巩固拓展练习答案】

1、1.7； 0； 根据课堂掌握的绝对值的规律来求解。

2、-0.35；； 先得出绝对值，再化简符号。

3、＞；＞；＜ 第三小题先化简，再比较化简后的两数。

4、0， 正数和0，负数

5、x=7或-7； x=7或-7

【创新天地】a、b在数轴上的位置如下图所示，把a，b，-a，-b按照从大到小的顺序排列，并用">"号连接起来．

【课堂练习解答】教材第12页

1、6，8，3.9，，，100，0 2、不正确；正确；不正确；正确。

教材第14页 （1）＞；（2）＜.

【课后习题解答】教材第 15 页

4、各数的绝对值分别是：125，23，3.5，0，，，0.05。 解析：根据绝对值概念来回答。

5、＜＜＜-0.25 ＜-0.15 ＜0＜ 0.05＜ +2.3。

解析：正数和0的大小容易知道，正数和0都比负数大。负数比较大小，可先求出各数的绝对值，根据绝对值大的反而小来比较。

6、13.1℃，3.8℃，2.4℃，-4.6℃，-19.4℃。 解析：比较方法同理第5题。

7、最右边的球最接近标准。解析：由题意可假设标准为0，最接近标准的克数，就是绝对值最小的克数，其中-0.6的绝对值是0.6最小，因此这个球最接近标准。

8、-9.6%，增幅是负数说明人均水资源是减少的。

10、x不一定是2，x=0，x=0。解析：︱x︱=2，可得x=2或x=-2，0的相反数是它本身，0的绝对值是0。

课时作业答案：

1、 -5，-4，-3，-2，-1； -1；-6。

2、 -1；-4

3、 或。

4、 ；0；。

5、 -0.05；；。

6、 ＞；＞；＜；＞；＞；＞

7、 B

8、 a-3；-（a-3）

人教版七年级绝对值教案参考