河北省石家庄市2020届高三数学毕业班模拟考试试题（一）（A卷）理（含解析）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得：，结合交集的定义确定即可.

【详解】由题意可得：，

结合交集的定义可知：.

本题选择C选项.

【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2.若复数（为虚数单位），则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

易知，结合复数模的运算法则求解其值即可.

【详解】由题意可得：.

本题选择D选项.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，属于中等题.

3.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意结合诱导公式可得：,结合两角和的正切公式可得的值.

【详解】由题意结合诱导公式可得：,

据此有：.

本题选择A选项.

【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，两角和的正切公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4.下列说法中正确的是（）

A. 若数列为常数列，则既是等差数列也是等比数列；

B. 若函数为奇函数，则；

C. 在中，是的充要条件；

D. 若两个变量的相关系数为，则越大，与之间的相关性越强.

【答案】C

【解析】

【分析】

对于选项A,B给出反例可说明命题错误，C由正弦定理可知命题正确，D由相关系数的定义确定其真伪即可.

【详解】逐一考查所给的说法：

A. 若，则数列为常数列，则是等差数列但不是等比数列，该说法错误；

B. 函数为奇函数，但是不满足，该说法错误；

C. 由正弦定理可得在中，是的充要条件，该说法正确；

D. 两个随机变量相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，题中说法错误.

本题选择C选项.

【点睛】本题主要考查奇函数的性质，正弦定理的应用，相关系数的含义，常数列与等差数列、等比数列的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5.已知平面向量与的夹角为，且，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

将两边平方，利用向量模的性质和运算法则计算的值即可.

【详解】由题意可得：

，

则：，据此可得：.

本题选择B选项.

【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6.袋子中装有大小、形状完全相同的个白球和个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的红球，则第一次摸到红球的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意，分别列出第二次摸到的红球的所有可能结果和第一次摸到红球的事件，利用古典概型计算公式确定去概率值即可.

【详解】设两个红球为，两个白球为，

则第二次摸到的红球的所有可能结果为：共6种，

其中第一次摸到红球的事件包括：共2种，

结合排列组合公式可知第一次摸到红球的概率为.

【点睛】本题主要考查古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先绘制出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最小值的点的坐标，据此确定目标函数的最小值即可.

【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，

联立直线方程：，可得点的坐标为：，

据此可知目标函数最小值为：.

本题选择C选项.

【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

8.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则在上，的解集是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先结合函数的对称性和函数的奇偶性绘制函数图像，原问题等价于求解函数位于直线下方点的横坐标，数形结合确定不等式的解集即可.

【详解】函数满足，则函数关于直线对称，

结合函数为奇函数绘制函数的图像如图所示：

的解集即函数位于直线下方点的横坐标，

当时，由可得，

结合可得函数与函数交点的横坐标为，

据此可得：的解集是.

本题选择C选项

【点睛】本题主要考查函数奇偶性，函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意，利用点差法求得直线AB的斜率，然后利用斜率公式求解直线AB的斜率，两斜率相等可得关于a,c的齐次方程，据此即可确定椭圆的离心率.

【详解】设，直线AB的斜率为，

点在椭圆上，则：，

两式作差可得：，

由于：，故：,.

由于，故，，

整理可得：，

故.

【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

10.已知函数的部分函数图像如图所示，点，则函数图像的一条对称轴方程为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意结合函数图像可得的解析式为，结合三角函数的性质确定函数的对称轴即可.

【详解】由题意可得：，则，

当时，，结合函数图像可知，

故函数的解析式为：，

令可得函数的对称轴方程为：.

令可得一条对称轴方程为.

本题选择D选项.

【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的对称轴的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11.如图，某几何体的三视图都是边长为的正方形，则该几何体的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

首先由三视图还原几何体，然后结合几何体的空间结构特征求解其体积即可.

【详解】如图所示，在棱长为1的正方体中，

三视图所对的几何体为该正方体去掉三棱锥和三棱锥所得的组合体，

其体积为：.

本题选择D选项.

【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．

12.对任意，都存在，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求函数的值域，将原问题转化为方程至少有两个实数根，利用切线的性质考查临界条件可得实数的取值范围.

【详解】令，则，

据此可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

注意到，故函数的值域为.

则原问题等价于方程至少有两个实数根，

即至少有两个实数根，

考查临界情况，当时，直线与指数函数相切，

由可得，则切点坐标为，切线斜率,

切线方程为：，切线过点，

故，很明显方程的根为，

此时切线的斜率.

据此可得实数的取值范围是.

本题选择A选项.

【点睛】本题主要考查导数研究函数的最值，导数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知随机变量服从正态分布，若，则__________．

【答案】1

【解析】

【分析】

由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为，据此得到关于a的方程，解方程可得a的值.

【详解】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为，

结合题意有：.

故答案为：1．

【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法

①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．

②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.

14.已知双曲线，过点的直线与有唯一公共点，则直线的方程为__________．

【答案】或

【解析】

【分析】

易知点P位于双曲线内部，则直线与渐近线平行时，直线与有唯一公共点，据此确定直线方程即可.

【详解】如图所示，点P位于双曲线内部，

由双曲线的几何性质可知，当直线与渐近线平行时，直线与有唯一公共点，

由于双曲线的渐近线为，

故直线的方程为或.

即或

【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其应用，属于中等题.

15.在棱长为的透明密闭的正方形容器中，装有容器总体积一般的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕旋转，并始终保持所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

设点在上，点在上，满足，则原问题等价于求解四边形的最大值.建立空间直角坐标系，结合二次函数的性质可得旋转过程中容器中水的水面面积的最大值.

【详解】如图所示，在棱长为的正方体中，

点在上，点在上，满足，

则原问题等价于求解四边形的最大值.

作于点，当最大时，四边形有最大值.

建立如图所示的空间直角坐标系，

设，设，

由于，由可得：

，则：，故,

故：，

由可得：.

故：，

结合二次函数的性质可知：当或时，取得最大值，此时取得最大值，最大值为：.

【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，空间向量的应用，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16.已知数列的前项和为，且，若，则取最小值时__________．

【答案】10

【解析】

【分析】

由题意结合递推关系可得，即数列为隔项等差数列，结合数列的性质可得取最小值时的值.

【详解】由，，

两式作差可得：，即，

由，，

两式作差可得：，

则，，故，

进一步可得：，

又，则，

且，

则取最小值时.

【点睛】本题主要考查数列的递推关系，数列中最值问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知的面积为，且内角依次成等差数列.

（1）若，求边的长；

（2）设为边的中点，求线段长的最小值.

【答案】（1）（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意可得，结合面积公式得.利用正弦定理角化边，据此可得a,c的值，最后由余弦定理可得的长.

（2）由题意可得，利用向量的运算法则和均值不等式的结论可得长的最小值.

【详解】（1）三内角依次成等差数列，

设所对的边分别为,由可得.

，由正弦定理知.

中，由余弦定理可得.

即的长为

（2）是边上的中线，

，当且仅当时取“”

,即长的最小值为.

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

18.已知三棱锥中，是边长为的正三角形，；

（1）证明：平面平面；

（2）设为棱的中点，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）由题意结合正弦定理可得， 据此可证得平面，从而可得题中的结论；

（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由空间向量的结论求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.

【详解】（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得，

，，

，

平面，平面，平面平面.

（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系：

设平面的一个法向量为

则解得，，

即

设平面的一个法向量为

则

解得，，即

由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

【点睛】本题主要考查面面垂直的证明方法，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19.东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价元，售价元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区天的销售量如下表：

（视样本频率为概率）

（1）根据该产品天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为，求的分布列与期望

（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进或份，哪一种得到的利润更大？

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得的取值为，计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望；

（2）分别求解当购进份时的利润和购进份时的利润即可确定利润更高的决策.

【详解】（1）根据题意可得

，

，

，

，

，

，

，

的分布列如下：

（2）当购进份时，利润为

，

当购进份时，利润为

，

可见，当购进份时，利润更高.

【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

20.已知抛物线上一点到焦点的距离.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意确定p值即可确定抛物线方程；

（2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得是方程的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点的横坐标.结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问题即可.

【详解】（1）由抛物线定义,得，由题意得：

解得

所以，抛物线的方程为.

（2）由题意知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，.

设切线的方程为,同理可得.

所以，是方程两根，.

设，由得，，

由韦达定理知，，所以，同理可得.

设点的横坐标为，则

.

设，则，

所以，，对称轴，所以

【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21.已知函数.

（1）求函数的极小值；

（2）求证：当时，.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意可得分类讨论函数的极小值即可.

（2）令，原问题等价于,即证.据此分类讨论，和三种情况即可证得题中的结论.

【详解】（1）

当时，即时，，函数在上单调递增，无极小值；

当时，即时，，函数在上单调递减；

，函数在上单调递增；

，

综上所述，当时，无极小值；当时，

（2）令

当时，要证：，即证,即证，

要证，即证.

①当时，

令，，所以在单调递增，

故，即.

，

令，，

当，在单调递减；，在单调递增，故，即.当且仅当时取等号

又，

由、可知

所以当时，

②当时，即证.令，，在上单调递减，在上单调递增，，故

③当时，当时，，由②知，而，

故；

当时，，由②知，故；

所以，当时，.

综上①②③可知，当时，.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）当时，若曲线与射线交于两点，求的取值范围.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意可得曲线的普通方程为：,然后将其化为极坐标方程即可.

（2）把，利用参数的几何意义可得，据此可得的取值范围.

【详解】（1）曲线的普通方程为：,

令，

化简得；

（2）把

令

方程的解分别为点的极径，

，

，

.

【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化，参数方程与极坐标方程的几何意义 等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

23.设函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的最大值为，正实数满足，求的最小值.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）不等式可化为或或，据此求解不等式的解集即可；

（2）由题意可得，结合均值不等式的求解的最小值即可，注意等号成立的条件.

【详解】（1）不等式可化为或或解得

的解集为

（2），

，

.

当且仅当时，即时，取“”，

的最小值为．

【点睛】绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

河北省石家庄市2020届高三数学毕业班模拟考试试题（一）（A卷）理（含解析）