广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末数学文试题

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高三期末考试
数学文

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损。之后务必用黑色签字笔在答题卡指
定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号,在右上角的信息栏填写自己的考号,并用2B铅笔填涂相应的信息点。
2选择题每小题选出答案后,2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。不按要求填涂的,答案无效。
3.非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上,请注意每题答题空间,预先合理安排。如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案。不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁,不折叠,不破损。考试结束后,将答题卡交回。5.考试不可以使用计器。

第Ⅰ卷(选择题共50分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡.................
1.设全集UxNx6,集合A1,3,B3,5,则CUAB等于
*
A1,4

B1,5C2,4D2,5
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2.复数z满足iz12i,则z
A.2i
B.2i
C.12i
D.12i

3如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直
径为1的圆,那么这个几何体的全面积为A4B2C3D
4.已知等差数列{an}的公差d0,它的第1517项顺次成等比数列,则这个等比数
列的公比是A2


B
12

主视图左视图
32

俯视图
C3D4
开始
5.阅读右侧程序框图,为使输出的数据为31,则①处
应填的数字为A5B4C6D7
6.如右图所示为函数fx2sinx(0,

2
S1,i1

i
SS2
i
输出S结束

ii1
的部分图像,其中A,B
A
1
2
两点之间的距离为5,那么f1A2B3C3D2
7.直线axy2a0与圆xy9的位置关系是
2
2
O
2
x
A.相离B.相切C.相交D.不确定
x0
8.已知O为坐标原点,点M坐标为(2,1,在平面区域xy2上取一点N,则使
y0
MN为最小值时点N的坐标是
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A(0,0B(0,1C(0,2D(2,09.函数f(xlnx
ABCDy
12
x的图象大致是y
y
y
2
Ox
O
x
O
x
Ox
f212
10.已知函数fxxbxc的事,其中0b4,0c4.记函数满足
f13
2
件为A,则事件A的概率为A
58
B
12
C
38
D
14

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第Ⅱ卷(非选择题共100分)

二、填空题:本大题共5小题,第1415小题任选一题作答,多选的按14小题
给分,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡上.........
11.不等式6x2x10的解集是
12.已知向量a(1,2,b(x,4,若a//b,则ab=13.已知函数f(xg(x分别由下表给出x
f(x
11
23
31
x
g(x
13
22
31


f[g(1]的值为;满足f[g(x]g[f(x]x的值是x4t2
14(坐标系与参数方程选做题)若点P(3,m在以点F为焦点的抛物线(t
y4t
参数上,则|PF|
C
P
15(几何证明选讲选做题)如右图,O是半圆的圆心,直径AB26PB是圆的一条切线,割线PA半圆交于点CAC4,则PB
A
O
B

三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明或演算步骤。
16(本小题满分12分)已知函数f(xsinxacos
2
x2
a为常数,aR,且x

2
是方程f(x0的解。
1)求函数f(x的最小正周期;2)当x[0,]时,求函数f(x值域。
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17(本小题满分12分)
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:40,5050,60,„,
频率
组距
a
0.0250.0200.0100.005
90,100后得到如图4的频率分布直方图.
1)求图中实数a的值;
2)若该校高一年级共有学生640人,
试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;
0405060708090100(分数)
4
3)若从数学成绩在40,5090,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,
求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
18(本小题满分14分)
如右图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AC3
CC1平面ABCBC4AB5,AA14
A1
C1
B1
DAB的中点,1)求证:ACBC12)求证:AC1//平面CDB13)求三棱锥C1CDB1的体积。

A
C
D
B

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19(本小题满分14分)
已知二次函数yf(x的图像经过坐标原点,其导函数为f'(x6x2数列{an}n项和为Sn,点(n,Sn(nN均在函数yf(x的图像上。1)求二次函数yf(x的表达式;2)求数列{an}的通项公式;3)设bn
3anan1
Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn
m20
对所有nN都成立
的最小正整数m.
20(本小题满分14分)
矩形ABCD的两条对角线相交于点M(20AB边所在直线的方程为x3y60T(11AD边所在直线上.1)求AD边所在直线的方程;2)求矩形ABCD外接圆的方程;
3)若动圆P过点N(20,且与矩形ABCD的外接圆外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.
21(本小题满分14分)
设函数yf(x(a,b上的导函数为f(xf(x(a,b上的导函数为f(x(a,bf(x0f(x(a,b
f(x
112
x
4
16
mx
3
32
x
2
1)求fxfx
2)若f(x为区间(1,3上的“凸函数”,试确定实数m的值;
3)若当实数m满足|m|2时,函数f(x(a,b上总为“凸函数”,求ba的最大值.
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解得a0.03„„„„„„„„„„„„„„„22解:根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为
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C1

B1
18.解1)直三棱柱ABCA1B1C1
底面三边长AC3BC4AB5,
222
ACBCABACBC,∴
CC1ABC,ACABC,
ACCC1,又BCCC1C,
ACBCC1B1,BC1BCC1B1
A1
E
C
A
D
B
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„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9
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故点P的轨迹是以MN为焦点,实轴长为22的双曲线的左支.„„„„„„12
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从而解得1x0„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13


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