第二篇 海洋定位

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第三章 海洋定位基础

海洋定位是海道测量工作的主要工作内容，是其他测量工作的基础。海洋定位通常是指利用两条以上的位置线，通过图上交会或解析计算的方法求得海上某点位置的理论与方法。

与陆地定位相比，海洋定位有许多独特之处，其中最显著的就是陆地定位一般在静止状态下进行，并可通过重复观测来提高点位精度，而海洋定位一般在运动中进行，重复观测几乎是不可能的。另外一个重要的不同之处是海洋定位的实时性要求高，一般要求通过位置函数在海上实时得出点位坐标。因此海洋定位在准确性和完整性方面还无法达到陆地测量的精度。目前海洋定位的方法主要有：光学仪器定位、无线电定位、水下声标定位和卫星定位四种方式。

3.1 位置函数及其梯度

3.1.1 位置函数及其等值线

位置函数word/media/image1.gif在平面上的一般式为：

word/media/image2.gif （3—1）

式中：word/media/image3.gif为定位点的坐标。

位置函数的等值线为位置函数word/media/image2.gif等于常数时，定位点的轨迹。海上定位的观测量一般有距离、方位、角度和距离差四种，相对应有四种位置函数及其等值线。如图3—1所示。

一、距离位置函数：

如图3—1（a）所示，定位点P至已知点Aword/media/image4.gif的距离为S，距离位置函数S为：

word/media/image5.gif （3—2）

距离等值线是以已知点A为中心，以S为半径的等距圆弧。

二、方位位置函数：

如图3—1（b）所示，已知点Aword/media/image4.gif至定位点P的方位角为T，方位位置函数T：

word/media/image6.gif （3—3）

方位等值线是过已知点A，方位角为T的直线。

三、角度位置函数：

如图3—1（c）所示，定位点P观测已知点A、B的角度为word/media/image7.gif，角度位置函数word/media/image7.gif为：

word/media/image8.gif （3—4）

角度等值线是以已知点A、B连线为弦，以word/media/image7.gif为圆周角的等角圆弧。

四、距离差位置函数：

如图3—1（d）所示，定位点P至已知点A、B的距离差为r，距离差位置函数r为：

word/media/image9.gif（3—5）

word/media/image11.gifword/media/image12.gifword/media/image14.gifword/media/image15.gif

距离差等值线是以已知点A、B为焦点的双曲线。

海上定位求解点位的方法有图解法和解析法两种。图解法是根据两条以上的位置函数等值线的交点来确定点位。解析法是根据两个以上的位置函数方程式解算求得点位。对于利用三条以上位置线计算点位可采用平差的方法，计算其最或然点位。为此需建立位置线方程式和位置线误差方程式。

3.1.2 位置函数的梯度

一、梯度的定义

若在数量场word/media/image1.gif中的一点P处，存在这样的矢量word/media/image16.gif，其方向为函数word/media/image1.gif在P点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。则称矢量word/media/image16.gif为函数word/media/image1.gif在P点处的梯度。

若word/media/image1.gif为位置函数（距离、方位、角度或距离差函数），则位置函数梯度的方向垂直于位置线，即与位置线的法线方向一致，且指向位置函数增大的方向。它的大小就是梯度的模，是位置函数在法线方向上的变化率，即：

word/media/image17.gif

在实用上，若在P点处函数的增量为word/media/image18.gif，而其在法线上的增量为word/media/image19.gif，则函数word/media/image1.gif的梯度word/media/image16.gif可由下式表示：

word/media/image20.gif （3—6）

若位置函数word/media/image1.gif为平面位置函数，则位置函数梯度为word/media/image1.gif在x、y方向上的变化率的向量和：

word/media/image21.gif （3—7）

而梯度的模word/media/image22.gif为：

word/media/image23.gif （3—8）

式中：word/media/image24.gif，word/media/image25.gif

下面具体介绍距离梯度、方位梯度、角度梯度和距离差梯度的情况。

word/media/image26.gif

word/media/image27.gif word/media/image19.gif

P word/media/image28.gif

S

A

图3—2

二、距离梯度（word/media/image29.gif）

如图3—2所示，在P点处测得距岸台A的距离为S，则距离等值线为以岸台A为中心，以测得的距离S为半径的圆周。当距离函数有一微小增量word/media/image28.gif，则等值线因此而产生的法向位移word/media/image30.gif，因此，距离梯度的方向为沿P点等值线的法线方向，指向距离增大的方向；距离梯度的模等于1，即：

word/media/image31.gif （3—9）

求距离梯度也可用公式（3—8）计算，结果是一致的：

word/media/image32.gif

word/media/image33.gif

word/media/image34.gif

word/media/image35.gif

word/media/image36.gif P word/media/image19.gif

word/media/image19.gif word/media/image37.gif

T

word/media/image38.gif

A

图3—3

所以距离梯度的模与测量距离的远近无关。距离梯度的方向为背离岸台，指向距离增大的方向，如图3—2所示。

三、方位梯度（word/media/image37.gif）

如图3—3所示，在A点处测得A到测点P的方位角为T，则方位等值线为以A为起点，方位为T的射线。当方位函数有一微小增量word/media/image38.gif，则等值线因此而产生的法向位移word/media/image39.gif，故：

word/media/image40.gif（弧度/公里） （3—10）

用公式（1—25）计算如下：

word/media/image41.gif

word/media/image42.gif

word/media/image43.gif

word/media/image44.gif（弧度/公里）

上式说明方位梯度模word/media/image45.gif与距离S成反比，方位梯度的方向垂直于AP，且指向方位角T增大的方向，如图3—3所示。

word/media/image36.gif 北

A

北

word/media/image46.gif

word/media/image47.gif word/media/image48.gif

word/media/image49.gif word/media/image49.gif

word/media/image50.gif word/media/image7.gif word/media/image51.gif

word/media/image7.gif word/media/image52.gif

word/media/image53.gif

图3—4

四、角度梯度（word/media/image54.gif）

如图3—4所示，在测点P测得的角度word/media/image7.gif是方位角word/media/image55.gif和word/media/image56.gif之差，即word/media/image57.gif。由于梯度是矢量，角度梯度word/media/image54.gif为：

word/media/image58.gif （3—11）

利用余弦公式可得word/media/image59.gif：

word/media/image60.gif

word/media/image61.gif word/media/image62.gif

word/media/image63.gif（弧度/公里） （3—12）

用公式（3—8）计算如下：

word/media/image64.gif

word/media/image65.gif

word/media/image66.gif

word/media/image67.gif

word/media/image68.gif（弧度/公里）

由上式可知，角度梯度模word/media/image59.gif随（word/media/image69.gif）与word/media/image46.gif而变化。在word/media/image46.gif一定的情况下，word/media/image59.gif与word/media/image69.gif成反比。在word/media/image69.gif一定的情况下，word/media/image59.gif与word/media/image46.gif成正比。角度梯度的方向与位置线相垂直，指向以AB为弦、圆周角为word/media/image7.gif的圆心O。

五、距离差梯度（word/media/image70.gif）

如图3-5所示，在观测点P测得距两岸台1和3的距离差为r，即：word/media/image71.gif，则可得以岸台1、3为焦点，距离差为r的双曲线。

图3—5 距离差梯度

根据向量的运算规则：

word/media/image73.gif

由图1—14可得：

word/media/image74.gif； word/media/image75.gif

word/media/image76.gif

所以word/media/image77.gif即为距离差梯度的模。由于word/media/image78.gif，则word/media/image79.gif为等腰三角形。在word/media/image79.gif中，取word/media/image77.gif的中点M与P相连，可得：

word/media/image80.gif

word/media/image81.gif （1—30）

用公式（1—25）计算如下：

word/media/image82.gif

word/media/image83.gif

word/media/image84.gif

word/media/image85.gif

可见距离差梯度的模是由位置线交角word/media/image86.gif决定的。在焦点1和3的连线上，距离差梯度的模等于2，为最大值；随着P点远离岸台，距离差梯度的模逐渐减少；在岸台基线的延长线上，距离差梯度的模为零，为最小值。

距离差梯度的方向垂直于位置线交角word/media/image86.gif的角平分线，指向距离差增加的方向，如图3—5所示。

3.2 位置线方程式和位置线误差方程式

3.2.1 概述

由上可知，位置函数等值线除方位等值线是直线外，其它是曲线。曲线对计算点位带来不便，为此引进了位置线。我们用位置函数等值线在定位点处的切线来代替位置函数等值线，该切线即为位置线。在定位点准确位置未知的情况下，可用其概略位置建立位置线方程式。

设定位点P的准确点位或最或然点位为word/media/image3.gif，其概略点C坐标为word/media/image87.gif，两者之差为word/media/image88.gif，则：

word/media/image89.gif （3—13）

根据位置函数在平面上的一般式，概略点处位置函数为：

word/media/image90.gif （3—14）

准确点或最或然点处位置函数为：

word/media/image91.gif （3—15）

上式中的word/media/image88.gif很小，可用泰勒公式将上式展开成级数，并取至一次项得：

word/media/image92.gif （3—16）

设：word/media/image93.gif

word/media/image94.gif

word/media/image95.gif，即概略值与观测值之差，

则（3—16）式可写为：

word/media/image96.gif （3—17）

（3—17）式即为以概略点C为原点的位置线方程式。

若位置函数观测值的误差为word/media/image97.gif，则位置线误差方程式为：

word/media/image98.gif （3—18）

在定位点处若有三条以上的位置线，则可按（3—18）建立三个位置线误差方程式，组成法方程式，解算其最或然点位坐标word/media/image3.gif。

海上定位时常常由几种方法联合使用，比如由两距离、一方位（或一水平角）方式定位；由一距离、一方位和一水平角方式定位等。在这种情况下解算其最或然点位坐标时，必须把位置线方程式（3—17）或位置线误差方程式（3—18）改化为“法线式”。亦即在位置线方程式或位置线误差方程式的等式两边，除以概略点处位置函数的梯度模word/media/image22.gif。其表达式如下：

word/media/image99.gif （3—19）

word/media/image100.gif （3—20）

（3—19）和（3—20）分别为位置线方程式和位置线误差方程式的“法线式”。

3.2.2 距离位置线方程式及其“法线式”

如图3—2所示，距离位置函数及在P点处的偏导数可由下式表示：

word/media/image32.gif

word/media/image101.gif

word/media/image102.gif

word/media/image103.gif

代入（1—35）式可得距离位置线方程式：

word/media/image104.gif

或： word/media/image105.gif （3—21）

式中：word/media/image106.gif为推算点（概略点）坐标，word/media/image107.gif分别为由控制点A与推算点P的坐标反求得到的距离和坐标方位角。

距离位置线方程式的“法线式”可由（3—19）式求得，由于距离梯度的模word/media/image108.gif，所以距离位置线方程式与其“法线式”是相同的。

同理，距离位置线的误差方程式与其“法线式”也是相同的，可由下式表示：

word/media/image109.gif

或： word/media/image110.gif （3—22）

3.2.3 方位位置线方程式及其“法线式”

如图3—3所示，方位位置函数及在P点处的偏导数可由下式表示：

word/media/image41.gif

word/media/image111.gif（分/米）

word/media/image112.gif（分/米）

word/media/image113.gif

代入（3—17）式可得方位位置线方程式：

word/media/image114.gif （3—23）

式中：word/media/image106.gif为推算点（概略点）坐标，word/media/image107.gif分别为由控制点A与推算点P的坐标反求得到的距离和坐标方位角。该方程式是以“分”为单位的。

方位位置线方程式的“法线式”可由（3—19）式求得，方位梯度的模可由下式求得：word/media/image115.gif（分/米），所以方位位置线方程式的“法线式”如下式所示：

word/media/image116.gif （3—24）

例如：word/media/image117.gif米，则该方位位置线方程式为：

word/media/image118.gif

该方位位置线方程式的“法线式”为：

word/media/image119.gif

方位位置线的误差方程式及其“法线式”求法同前，分别如下式所示：

word/media/image120.gif （3—25）

word/media/image121.gif （3—26）

3.2.4 角度位置线方程式及其“法线式”

如图3—4所示，角度位置函数及在P点处的偏导数可由下式表示：

word/media/image64.gif

word/media/image122.gif（分/米）

word/media/image123.gif（分/米）

word/media/image124.gif

代入（3—17）式可得角度位置线方程式：

word/media/image125.gif （3—27）

式中：word/media/image106.gif为推算点（概略点）坐标，word/media/image126.gif分别为由控制点A与推算点P的坐标反求得到的距离和坐标方位角。该方程式是以“分”为单位的。

角度位置线方程式的“法线式”可由（3—19）式求得，角度梯度的模可由下式求得：

word/media/image127.gif（分/米），所以角度位置线方程式的“法线式”如下式所示：

word/media/image128.gif （3—28）

式中：word/media/image46.gif为A、B两点之间的距离。

角度位置线的误差方程式及其“法线式”求法同前，分别如下式所示：

word/media/image129.gif （3—29）

word/media/image130.gif （3—30）

3.2.5 距离差位置线方程式及其“法线式”

如图3—5所示，距离差位置函数及在P点处的偏导数可由下式表示：

word/media/image82.gif

word/media/image131.gif

word/media/image132.gif

word/media/image133.gif

代入（3—17）式可得距离差位置线方程式：

word/media/image134.gif （3—31）

式中：word/media/image106.gif为推算点（概略点）坐标，word/media/image135.gif分别为由控制点A与推算点P的坐标反求得到的距离。

距离差位置线方程式的“法线式”可根据距离差梯度的模：word/media/image136.gif代入（3—19）式求得。距离差位置线的误差方程式及其“法线式”同样利用（3—18）和（3—20）式求得，求法同前。

3.3 最或然点位计算数学模型

在实际工作中，如果测得三条以上位置线，则可设立位置线误差方程式，利用最小二乘法解算定位点的最或然点位。设定位点P的坐标为word/media/image3.gif，其概略坐标为word/media/image87.gif，在定位点P处同时观测得到n条位置线，由（3—18）式可以建立n个位置线误差方程式，其矩阵形式为：

word/media/image137.gif （3—32）

式中：word/media/image138.gif

word/media/image139.gif

word/media/image140.gif

为求得定位点P的最或然点位，采用最小二乘法原理，平差计算点位。设观测值权阵为P，则由word/media/image141.gif最小，可得：

word/media/image142.gif， 即word/media/image143.gif，

设：word/media/image144.gif，则：

word/media/image145.gif （3—33）

即： word/media/image146.gif

word/media/image147.gif

P点最或然点位坐标word/media/image3.gif为：

word/media/image89.gif （3—34）

设word/media/image148.gif为单位权中误差，由白塞尔公式求得单位权中误差word/media/image148.gif：

word/media/image149.gif （3—35）

设word/media/image150.gif

即：word/media/image151.gif

word/media/image152.gif

word/media/image153.gif

则最或然点位中误差word/media/image154.gif为：

word/media/image155.gif（m） （3—36）

3.4 定位中误差的普遍式

我们前面已经知道，如果用三条以上的位置线确定测点位置，即有多余观测的点位观测，在计算最或然点位位置的同时，可用公式（3—36）计算其定位中误差，确定点位的定位精度。下面讨论如果只有两条位置线，没有多余观测确定测点的位置时，如何确定定位精度。

首先我们讨论最简单的一种情况，即两距离定位时，定位中误差的求法。如果在测量船上同时测得至控制点A、B的距离分别为S1、S2。假定测得的距离没有误差，则两条位置线的交点P即为准确的船位。实际上测距不可能没有误差，若实际测得的点位为word/media/image156.gif，则该次定位真误差为word/media/image157.gif。若测量船固定不动，对测量船进行多次定位，得到一组定位点word/media/image158.gif，其相应定位真误差为word/media/image159.gif，则定位中误差M可按下式计算：

word/media/image160.gif （3—37）

M

word/media/image86.gif word/media/image161.gif

word/media/image162.gif word/media/image163.gif word/media/image164.gif

word/media/image86.gif

word/media/image52.gif word/media/image165.gif word/media/image86.gif N

图3—6

我们知道真误差是无法直接测定的。下面研究如何利用测距真误差确定定位真误差。如图3—6所示，设测距真误差分别为word/media/image162.gif和word/media/image165.gif，则测得的点位应为word/media/image164.gif，即word/media/image166.gif。

为计算方便，我们用位置线来代替距离函数等值线，即定位点为两位置线的交点word/media/image161.gif。该次定位的真误差为word/media/image167.gif。在word/media/image168.gif中：

word/media/image169.gif

word/media/image170_1.png

根据余弦定理可得：

word/media/image171.gif

word/media/image172.gif

上式是某次定位的定位真误差，若进行了n次测定，可得n个与上式类似的关系式，其算术平均值为：

word/media/image173.gif （3—38）

由于两个观测值是相互独立的，其协方差为零，即：

word/media/image174.gif

则（3—38）式可写为：

word/media/image175.gif

设：word/media/image176.gif，word/media/image177.gif，word/media/image178.gif，带入上式：

word/media/image179.gif （3—39）

式中：word/media/image154.gif为定位中误差；

word/media/image86.gif为位置线夹角；

word/media/image180.gif分别为位置线Ⅰ、Ⅱ的法向位移中误差，简称位置线中误差。

根据位置函数梯度的定义：

word/media/image181.gif，

可得：word/media/image182.gif，带入（3—39）式可得：

word/media/image183.gif （3—40）

（3—40）式即为定位中误差的普遍式。该式应用很广，适用于各种两条位置线确定点位的定位中误差计算。

3.5 误差椭圆及其置信度

在海道测量工作中，通常都用定位中误差word/media/image154.gif来评定点位的定位精度。但是定位中误差不能反映出点位在各个方向上误差的大小，尤其是不能反映出哪个方向的误差最大，哪个方向误差最小。为了研究平面上点位误差的分布规律，我们讨论平面上具有相同概率出现的点位误差分布图形，即误差椭圆。误差椭圆既可从面积的大小说明点位的精度，又可从其形状知道点位误差分布的方向性。

word/media/image184.gif Ⅱ x

word/media/image165.gif dn2

dn1

Ⅰ′ word/media/image86.gif word/media/image162.gif Ⅰ y

O

Ⅱ′

图3—7

如图（3—7）所示，word/media/image185.gif为两条位置线。当观测无误差时，其交点O为测点的真位置。如果两条位置线分别有法向位移word/media/image186.gif，则其交点为N。下面研究点位落在word/media/image187.gif点处微小面积内的概率。

位置线法向位移word/media/image186.gif是以O为扩散中心和随机变量，它们是服从正态分布的，中误差为word/media/image188.gif。其概率密度分别为：

word/media/image189.gif （3—41）

点位落在word/media/image186.gif处微小窄条word/media/image190.gif内的概率为：

word/media/image191.gif （3—42）

由于位置线法向位移word/media/image186.gif是相互独立的随机变量，因而点位落在两微小窄条相交处，亦即落在word/media/image187.gif点处微小面积内的概率，依据独立事件概率的乘法定理可得：

word/media/image192.gif （3—43）

由图（3—7）可知，随着位置线法向位移word/media/image186.gif的变化，word/media/image187.gif点也随着变动，每一处总会有一个相应于公式（3—43）的word/media/image52.gif值。下面研究word/media/image52.gif值为常数时，word/media/image187.gif点的轨迹曲线，即等概率密度曲线。为便于分析，今取以O为原点，两位置线为word/media/image193.gif轴和word/media/image194.gif轴的斜坐标系。由图（3—7）可知：

word/media/image195.gif

而： word/media/image196.gif

带入（3—43）式：

word/media/image197.gif （3—44）

设：word/media/image198.gif （3—45）

则：word/media/image199.gif （3—46）

由（3—46）式可知，若word/media/image52.gif值为常数，只要满足下式：

word/media/image200.gif （3—47）

故等概率密度曲线为椭圆，称为误差椭圆。它是以word/media/image201.gif为共轭半径的椭圆。在word/media/image202.gif一定时，取不同的word/media/image203.gif值可绘出一蔟形状一样的椭圆。

word/media/image204.gif的误差椭圆称为“基本误差椭圆”或“中误差椭圆”。

word/media/image205.gif的误差椭圆称为“极限误差椭圆”。

word/media/image202.gif的值可由下式计算：

word/media/image206.gif （3—48）

误差椭圆的置信度是指点位落在误差椭圆内的概率。我们首先求出误差椭圆内任一点处微小范围内的概率。

由（3—46）式可知，点位落在word/media/image187.gif点处微小面积内的概率word/media/image52.gif为：

word/media/image199.gif

将（3—47）式带入上式：

word/media/image207.gif （3—49）

式中：word/media/image208.gif为微小范围的面积。

由于椭圆环内的概率密度是相同的，微小椭圆环内的概率为其面积与概率密度的乘积。

根据阿普伦尼第二定理：word/media/image209.gif，当word/media/image203.gif为任意值时，椭圆的面积为：

word/media/image210.gif （3—50）

上式是以word/media/image201.gif为共轭半径的椭圆面积。在word/media/image211.gif一定时，椭圆的面积随word/media/image203.gif变化。微小椭圆环的面积为：

word/media/image212.gif

点位落在word/media/image203.gif至word/media/image213.gif椭圆环内的概率为：

word/media/image214.gif

点位落在椭圆内的概率为：

word/media/image215.gif （3—51）

当word/media/image216.gif时， word/media/image217.gif

word/media/image218.gifword/media/image219.gif时， word/media/image220.gif

word/media/image221.gif时， word/media/image222.gif

word/media/image223.gif时， word/media/image224.gif

误差椭圆及其相对应概率如图3—8所示。从图中可以看出，点位出现在word/media/image221.gif的误差椭圆以外的概率很小，约为1%。通常将word/media/image221.gif的误差椭圆视为最大的误差椭圆或极限误差椭圆。

海洋定位基础（第三章）