等差数列前n项和的最值求解方法

例1 设等差数列{}的前n项和为，已知=12，>0,,

(1)求公差d的取值范围；

（2）指出，，…，中哪一个值最大，并说明理由.

解析 （1）由=12，得：+2d=12,即=12-2d,

由>0，得：12+，所以d>-,

由,得：13+，所以d<-3,

因此，d的取值范围为（-,-3）.

(2)解法一：

=12-2d+(n-1)d

=12+(n-3)d

令，得：n<3-,

由（1）知：

所以，，

又,故由等差数列的单调性可知：当时，；

当n>6时，，因此，最大.

解法二：由题意可得：=n+=n(12-2d)+

=

显然d0, 是关于自变量n的二次函数，

由（1）知：d<0,

二次函数的图像抛物线的对称轴为n=,

由（1）知：，

所以6<<,

又因为n,

故当n=6时，最大，

即最大.

例2 已知等差数列{},,=.若，求数列 {}的前n项和的最小值.

分析：①由与的关系，可写出之间的关系，两式作差，即可得出与间的关系；

②{}的前n项和最小，估计{}的前n项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小.

解 =-=-，

即8=（+2-（+2，

所以（-2-（+2=0，

即（+）（--4）=0，

因为，所以+0，即--4=0，

所以-=4，

因此等差数列{}的公差大于0.

==,解得=2.

所以=4n-2,则=2n-31.

即数列{}也为等差数列且公差为2.

由

，解得，

因为n，所以n=15,

故{}的前15项为负值，

因此最小，

可知=-29，d=2,

所以数列 {}的前n项和的最小值为

==-225.

小结：若{}是等差数列，求前n项和的最值时：

1 若>0,d<0,当满足时，前n项和最大；

2 若<0,d>0,当满足时，前n项和最小；

除以上方法外，还可将{}的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数问题，利用二次函数的图象或配方法求解，另外还可利用与n的函数关系，进行求导数求最值.

等差数列前n项和的最值求解方法