华师大版七年级数学下册全册教案

第6章 一元一次方程教案

6．1从实际问题到方程

教学目的

1．通过对多个实际问题的分析，使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。

2．使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题。

3．会判断一个数是不是某个方程的解。

重点、难点

1．重点：会列一元一次方程解决一些简单的应用题。

2．难点：弄清题意，找出“相等关系”。

教学过程

一、复习提问

小学里已经学过列方程解简单的应用题，让我们回顾一下，如何列方程解应用题?

例如：一本笔记本1．2元。小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样的笔记本呢?

解：设小红能买到工本笔记本，那么根据题意，得

1.2x＝6

因为1.2×5＝6，所以小红能买到5本笔记本。

二、新授：

我们再来看下面一个例子：　　

问题1：某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有1辆校车可以乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆?

问：你能解决这个问题吗?有哪些方法?

(让学生思考后，回答，教师再作讲评)

算术法：(328－64)÷44＝264÷44＝6(辆)

列方程解应用题：

设需要租用x辆客车，那么这些客车共可乘44x人，加上乘坐校车的64人，就是全体师生328人，可得。

44x+64＝328 （1）

解这个方程，就能得到所求的结果。

问：你会解这个方程吗?试试看?

(学生可能利用逆运算求解，教师加以肯定，同时指出本章里我们将要学习解方程的另一种方法。)

问题2：在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁，就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”

小敏同学很快说出了答案。“三年”。他是这样算的：

1年后，老师46岁，同学们的年龄是14岁，不是老师的三分之一。

2年后，老师47岁，同学们的年龄是15岁，也不是老师的三分之一。

3年后，老师48岁，同学们的年龄是16岁，恰好是老师的三分之一。　　

你能否用方程的方法来解呢？

　 通过分析，列出方程：13＋x＝（45＋x） （2）

问：你会解这个方程吗?你能否从小敏同学的解法中得到启发？

这个方程不像例l中的方程(1)那样容易求出它的解，小敏同学的方法启发了我们，可以用尝试，检验的方法找出方程(2)的解。也就是只要将x＝1，2，3，4，……代人方程(2)的两边，看哪个数能使两边的值相等，这个数就是这个方程的解。

把x＝3代人方程(2)，左边＝13+3＝16，右边＝(45+3)＝×48＝16，

因为左边＝右边，所以x＝3就是这个方程的解。

这种通过试验的方法得出方程的解，这也是一种基本的数学思想方法。也可以据此检验一下一个数是不是方程的解。

问：若把例2中的“三分之一”改为“二分之一”，那么答案是多少?

同学们动手试一试，大家发现了什么问题?

同样，用检验的方法也很难得到方程的解，因为这里x的值很大。另外，有的方程的解不一定是整数，该从何试起?如何试验根本无法人手，又该怎么办?

这正是我们本章要解决的问题。

三、巩固练习

1．教科书第3页练习1、2。

2．补充练习：检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解。

(1)x－3(x+2)＝6+x (x＝3，x＝－4)

(2)2y(y－1)＝3 (y＝－1，y＝ 2)

(3)5(x－1)(x－2)＝0 (x＝0，x＝1，x＝2)

四、小结。本节课我们主要学习了怎样列方程解应用题的方法，解决一些实际问题。谈谈你的学习体会。

五、作业。教科书第3页，习题6.1第1、3题。

6.2解一元一次方程

1．方程的简单变形

教学目的

通过天平实验，让学生在观察、思考的基础上归纳出方程的两种变形，并能利用它们将简单的方程变形以求出未知数的值。

重点、难点

1．重点：方程的两种变形。

2．难点：由具体实例抽象出方程的两种变形。

教学过程

一、引入

上一节课我们学习了列方程解简单的应用题，列出的方程有的我们不会解，我们知道解方程就是把方程变形成x＝a形式，本节课，我们将学习如何将方程变形。

二、新授

让我们先做个实验，拿出预先准备好的天平和若干砝码。

测量一些物体的质量时，我们将它放在天干的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于平衡状态时，显然两边的质量相等。

　 如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码，天平仍然平衡。

如果把天平看成一个方程，课本第4页上的图，你能从天平上砝码的变化联想到方程的变形吗?

学生回答后，教师归纳：方程两边都减去同一个数，方程的解不变。

问：若把方程两边都加上同一个数，方程的解有没有变?如果把方程两边都加上(或减去)同一个整式呢?

把天平两边都拿去2个大砝码，相当于把方程3x＝2x+2两边都减去2x，得到的方程的解变化了吗?如果把方程两边都加上2x呢?

方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。

让学生观察(3)，由学生自己得出方程的第二个变形。

即方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变：

通过对方程进行适当的变形．可以求得方程的解。

例1．解下列方程

(1)x－5＝7 (2)4x＝3x－4

解：(1) 两边都加上5，得x＝7+5 即 x＝12

(2) 两边都减去3x，得x＝3x－4－3x 即 x＝－4

请同学们分别将x＝7+5与原方程x－5＝7；x＝3x－4－3与原方程4x＝3x－4比较，你发现了这些方程的变形。有什么共同特点?

　这就是说把方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

　注意：“移项’’是指将方程的某一项从等号的左边移到右边或从右边移到左边，移项时要先变号后移项。

　例2．解下列方程

(1)－5x＝2 (2) x＝

这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。

　以上两个例题都是对方程进行适当的变形，得到x＝a的形式。

练习：

课本第6页练习1、2、3。

练习中的第3题，即第2页中的方程①先让学生讨论、交流。

　鼓励学生采用不同的方法，要他们说出每一步变形的根据，由他们自己得出采用哪种方法简便，体会方程的不同解法中所经历的转化思想，让学生自己体验成功的感觉。

三、巩固练习

教科书第7页，练习

四、小结

本节课我们通过天平实验，得出方程的两种变形：

1．把方程两边都加上或减去同一个数或整式方程的解不变。

2.把方程两边都乘以或除以(不等零)的同一个数，方程的解不变。第①种变形又叫移项，移项别忘了要先变号，注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。

五、作业

教科书第7—

2、解一元一次方程

第一课时

教学目的

1．了解一元一次方程的概念。

2．掌握含有括号的一元一次方程的解法。

重点、难点

1．重点；解含有括号的一元一次方程的解法。

2．难点；括号前面是负号时，去括号时忘记变号。

教学过程

一、复习提问

1．解下列方程：

(1)5x－2＝8 (2)5+2x＝4x

2．去括号法则是什么?“移项”要注意什么?

二、新授

一元一次方程的概念

前面我们遇到的一些方程，例如44x+64＝328 3+x＝(45+x) y－5＝2y+l 问：大家观察这些方程，它们有什么共同特征?

(提示：观察未知数的个数和未知数的次数。)

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是l，这样的方程叫做一元一次方程。

例1．判断下列哪些是一元一次方程

x＝3x－2 　　 x－3＝－l

5x2－3x+1＝0 　　 2x+y＝l－3y＝5

下面我们再一起来解几个一元一次方程。

例2．解方程 (1) －2(x－1)＝4

(2) 3(x－2)+1＝x－(2x－1)

方程(1)该怎样解?由学生独立探索解法，并互相交流

此方程既可以先去括号求解，也可以看作关于(x－1)的一元一次方程进行求解。

第(2)题可由学生自己完成后讲评，讲评时，强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号内的每一项，若括号前面是“－”号，注意去掉括号，要改变括号内的每一项的符号。

补充例题：解方程3x－[3(x+1)－(1+4)]＝l

方程中有多重括号，你会解这个方程吗?

说明：方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。

三、巩固练习

教科书第9页，练习，l、2、3。

四、小结

本节课我们学习了一元一次方程的概念，并学习了含有括号的一元一次方程的解法。用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号。

五、作业

教科书第12页习题6．2，2第l题。

第二课时

教学目的：

使学生掌握去分母解方程的方法，并从中体会到转化的思想。对于求解较复杂的方程，要注意培养学生自觉反思求解的过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

重点、难点

1、 重点：掌握去分母解方程的方法。

2、难点：求各分母的最小公倍数，去分母时，有时要添括号。

教学过程

一、复习提问

1．去括号和添括号法则。

2．求几个数的最小公倍数的方法。

二、新授

例1：解方程 －＝1

分析：如何解这个方程呢?此方程可改写成

　＝1

所以可以去括号解这个方程，先让学生自己解。

同学们，想一想还有其他方法吗?能否把方程变形成没有分母的一元一次方程，这样，我们就可以用已学过的方法解它了。

解法二；把方程两边都乘以6，去分母。

比较两种解法，可知解法二简便。

想一想，解一元一次方程有哪些步骤?

先让学生自己总结，然后互相交流，得出结论。

解一元一次方程，一般要通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x＝a的形式。解题时，要灵活运用这些步骤。

补充例2：解方程 ＝－

问：如果先去分母，方程两边应同乘以一个什么数?

应乘以各分母的最小公倍数，5、2、3的最小公倍数。

三、巩固练习

教科书第10页，练习1、2。

(练习第1题是辨析题，引导学生进行分析、讨论，帮助学生在实践中自我认识和纠正解题中的错误)

四、小结

1．解一元一次方程有哪些步骤?

2．同学们要灵活运用这些解法步骤，掌握移项要变号，去分母时，方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上。

五、作业

第三课时

教学目的：　　

理解一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列一元一次方程解简单应用题。

重点、难点

1、 重点：弄清应用题题意列出方程。

2、 难点：弄清应用题题意列出方程。

教学过程

一、复习

1、 什么叫一元一次方程？

2、 解一元一次方程的理论根据是什么？

二、新授。

先让学生思考，引导学生结合填表，体会解决实际问题，重在学会探索：已知量和未知量的关系，主要的等量关系，建立方程，转化为数学问题。

分析：设应从A盘内拿出盐x，可列表帮助分析。

　等量关系；A盘现有盐＝B盘现有盐

完成后，可让学生反思，检验所求出的解是否合理。

(盘A现有盐为5l－3＝48，盘B现有盐为45+3＝48。)

培养学生自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

例2. 学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖，初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块，总共搬了400块，问初一同学有多少人参加了搬砖?

引导学生弄清题意，疏理已知量和未知量：

1．题目中有哪些已知量?

(1)参加搬砖的初一同学和其他年级同学共65名。

(2)初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块。

(3)初一和其他年级同学一共搬了400块。

2．求什么?

初一同学有多少人参加搬砖?

3．等量关系是什么?

初一同学搬砖的块数十其他年级同学的搬砖数＝400

如果设初一同学有工人参加搬砖，那么由已知量(1)可得，其他年级同学有(65－x)人参加搬砖；再由已知量(2)和等量关系可列出方程

6x+8(65－x)＝400

也可以按照教科书上的列表法分析

三、巩固练习

教科书第11页练习1、2、3

第l题：可引导学生画线图分析

等量关系是：AC十CB＝400

若设小刚在冲刺阶段花了x秒，即t1＝x秒，则t2(65－x)秒，再由等量关系就可列出方程：

6(65－x)+8x=400

四、小结

本节课我们学习了用一元一次方程解答实际问题，列方程解应用题的关键在于抓住能表示问题含意的一个主要等量关系，对于这个等量关系中涉及的量，哪些是已知的，哪些是未知的，用字母表示适当的未知数(设元)，再将其余未知量用这个字母的代数式表示，最后根据等量关系，得到方程，解这个方程求得未知数的值，并检验是否合理。最后写出答案。

6．3实践与探索

第一课时

教学目的

让学生通过独立思考，积极探索，从而发现；围成的长方形的长和宽在发生变化，但在围的过程中，长方形的周长不变，由此便可建立“等量关系”同时根据计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也发生变化，且长方形的长与宽越接近时，面积越大。通过问题3的教学，让学生初步体会数形结合思想的作用。

重点、难点

1．重点：通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题。

2．难点：找出“等量关系”列出方程。

教学过程

一、复习提问

1．列一元一次方程解应用题的步骤是什么?

2．长方形的周长公式、面积公式。

二、新授

问题1．用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形。

(1)使长方形的宽是长的专，求这个长方形的长和宽。

(2)使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积。

(3)比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗?

让学生独立探索解法，并互相交流。第(1)小题一般能由学生独立或合作完成，教师也可提示：与几何图形有关的实际问题，可画出图形，在图上标注相关量的代数式，借助直观形象有助于分析和发现数量关系。

分析：由题意知，长方形的周长始终不变，长与宽的和为60÷2＝30(厘米)，解决这个问题时，要抓住这个等量关系。

第(2)小题的设元，可让学生尝试、讨论，对学生所得到的结论都应给予鼓励，在讨论交流的基础上，使学生知道，不是每道应用题都是直接设元，要认真分析题意，找出能表示整个题意的等量关系，再根据这个等量关系，确定如何设未知数。

(3)当长方形的长为18厘米，宽为12厘米时

长方形的面积＝18×12＝216(平方厘米)

当长方形的长为17厘米，宽为13厘米时

长方形的面积＝221(平方厘米)

∴(1)中的长方形面积比(2)中的长方形面积小。

问：(1)、(2)中的长方形的长、宽是怎样变化的?你发现了什么?如果把(2)中的宽比长少“4厘米”改为3厘米、2厘米、1厘米、0.5厘米长方形的面积有什么变化?猜想宽比长少多少时，长方形的面积最大呢?并加以验证。

通过计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也发生变

化，并且长和宽的差越小，长方形的面积越大，当长和宽相等，即成正方形时面积最大。

实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理。

三、巩固练习

教科书第14页练习1、2。

第l题，组织学生讨论，寻找本题的“等量关系”。

用一块橡皮泥捏出的各种形状的物体，它的体积是不变的。因此等量关系是：圆柱的体积＝长方体的体积。

第2题，先让学生根据生活经验，开展讨论，解这道题的关键是什么?题中的等量关系是什么?

通过思考，使学生明确要解决“能否完全装下”这个问题，实质是比较这两个容器的容积大小，因此只要分别计算这两个容器的容积，结果发现装不下，接着研究第2个问题，“那么瓶内水面还有多高”呢?如果设瓶内水面还有x厘米高，那么这里的等量关系是什么?

等量关系是：玻璃杯中的水的体积十瓶内剩下的水的体积＝原来整瓶水的体积。从而列出方程

四、小结

本节课同学们认真思考，积极探索，通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步体会到运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，有些等量关系是隐藏的，不明显，同学们要联系实际，积极探索，找出等量关系。

五、作业

教

第二课时

教学目的

　　通过分析储蓄中的数量关系，以及商品利润等有关知识，经历运用方程解决实际问题的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

重点、难点

1．重点：探索这些实际问题中的等量关系，由此等量关系列出方程。

2．难点：找出能表示整个题意的等量关系。

教学过程

一、复习

1．储蓄中的利息、本金、利率、本利和等含义，它们之间的数量关系 利息＝本金×年利率×年数

本利和＝本金×利息×年数＋本金

2．商品利润等有关知识。

利润＝售价－成本　 ＝商品利润率

二、新授

在本章6.l练习中讨论过的教育储蓄，是我国目前暂不征收利息税的储种，国家对其他储蓄所产生的利息征收20％的个人所得税，即利息税。今天我们来探索一般的储蓄问题。

问题2、 小明爸爸前年存了年利率为2.43％的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.6元的计算器，问小明爸爸前年存了多少元?

先让学生思考，试着列出方程，对有困难的学生，教师可引导他们进行分析，找出等量关系。

利息－利息税＝48.6

可设小明爸爸前年存了x元，那么二年后共得利息为

2.43％×X×2，利息税为2.43％X×2×20％

根据等量关系，得 2.43％x·2－2.43％x×2×20％＝48.6

问，扣除利息的20％，那么实际得到的利息是多少?你能否列出较简单的方程?

扣除利息的20％，实际得到利息的80％，因此可得

2.43％x·2·80％＝48.6

解方程，得 x=1250

例1．一家商店将某种服装按成本价提高40％后标价，又以8折 (即按标价的80％)优惠卖出，结果每件仍获利15元，那么这种服装每件的成本是多少元?

大家想一想这15元的利润是怎么来的?

标价的80％(即售价)－成本＝15

若设这种服装每件的成本是x元，那么

每件服装的标价为：(1+40％)x

每件服装的实际售价为：(1+40％)x·80％

每件服装的利润为：(1+40％)x·80％－x

由等量关系，列出方程：

(1+40％)x·80％－x＝15

解方程，得 x＝125

答：每件服装的成本是125元。

三、巩固练习

教科书第15页，练习1、2。

四、小结

本节课我们利用一元一次方程解决有关储蓄、商品利润等实际问题，当运用方程解决实际问题时，首先要弄清题意，从实际问题中抽象出数学问题，然后分析数学问题中的等量关系，并由此列出方程；求出所列方程的解；检验解的合理性。应用一元一次方程解决实际问题的关键是：根据题意首先寻找“等量关系”。

五、作业

　教科书第16页，习题6.3.1，第3、4、5题。

第三课时

教学目的

1．使学生理解用一元一次方程解工程问题的本质规律；通过对“工 程问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力。

2．使学生在自主探索与合作交流的过程中理解和掌握基本的数学知 识、技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高解决问题的能力。

重点、难点

重点：工程中的工作量、工作的效率和工作时间的关系。

难点：把全部工作量看作“1”。

教学过程

一、复习提问

1．一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲独做I小时完成全部工作量的多少?

2．一件工作，如果甲单独做a小时完成，那么甲独做1小时，完成全部工作量的多少?

3．工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系?

二、新授

让学生阅读教科书第16页中的问题3。

分析：

1．这是一个关于工程问题的实际问题，在这个问题中，已经知道了什么?小刘提出什么问题?

已知：制作一块广告牌，师傅单独完成需4天，徒弟单独做要6天。

小刘提出的问题是：两人合作需要几天完成?

2．怎样用列方程解决这个问题?本题中的等量关系是什么?

[等量关系是：师傅做的工作量+徒弟做的工作量＝1]

若设两人合作需要x天完成，那么甲、乙分别做了几天?甲、乙的工作效率是多少?

本题中工作总量没有告诉，我们把它看成“1”，根据等量关系可得方程。

（略）

3．你还能提出什么问题?试试看，并解答这些问题。

让学生充分思考，大胆提出问题，互相交流，对于合理的问题，让大家共同解答，对于不合理的问题，让大家探讨为什么不合理?应改为怎样提?

4．李老师把两位同学的问题，合起来后，已知条件增加了什么?求什么?

[“徒弟先做1天”，也就是说徒弟比师傅多做1天]

5．要解决本题提出的问题，应先求什么？

[先要求出师傅与徒弟各完成的工作量是多少?]

两人的工效已知，因此要先求他们各自所做的天数，因此，设师傅做了x天，则徒弟做(x+1)天，根据等量关系，列方程

（略）

解方程得 x＝2

师傅完成的工作量为（略），徒弟完成的工作量为（略）

所以他们两人完成的工作量相同，因此每人各得225元。

三、巩固练习

一件工作，甲独做需30小时完成，由甲、乙合做需24小时完成，现由甲独做10小时；请你提出问题，并加以解答。

例如 (1)剩下的乙独做要几小时完成?

(2)剩下的由甲、乙合作，还需多少小时完成?

(3)乙又独做5小时，然后甲、乙合做，还需多少小时完成?

四、小结

1.本节课主要分析了工作问题中工作量、工作效率和工作时间之间的关系，即

工作量＝工作效率×工作时间

工作效率＝工作量／工作时间　　　工作时间＝工作量／工作效率

2.解题时要全面审题，寻找全部工作，单独完成工作量和合作完成工作量的一个等量关系列方程。

五、作业

1、2、3题。

小结与复习(一)

教学目的

了解一元一次方程的概念，根据方程的特征，灵活运用一元一次方程的解法求一元一次方程的解，进一步培养学生快速准确的计算能力，进一步渗透“转化”的思想方法。

重点、难点

1．重点：一元一次方程的解法。

2．难点：灵活运用一元一次方程的解法。

教学过程

一、复习提问

定义：只含有一个未知数，且含未知数的项的次数1的整式方程。

一元一次方程 解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、

系数化为l，把一个一元一次方程“转化”成x=a“的形式。

二、练习

1．下列各式哪些是一元一次方程。

（略）

2．解下列方程。

(1)(x一3)＝2一(x一3)

(2) [(x一3)－]=1－x

学生认真审题，注意方程的结构特点。选用简便方法。

第(1)小题，可以先去括号，也可以先去分母，还可以把x一3看成一个整体，解关于x一3的方程。方法—：去括号，得x—3=2—x+ 3

移项，得x+x=2＋3＋3

合并同类项，得 x=5

方法二：去分母，得 x一3＝4一x+3

(强调等号右边的“2”也要乘以2，而且不要弄错符号)

移项，得 x+x＝4+3十3

合并同类项，得 2x＝10

系数化为1，得 x=5

方法三：移项 (x一3)+(x一3)＝2

即 x一3= 2

∴ x＝5

第(2)小题有双重括号，一般情况是先去小括号，再去中括号，但本题结构特殊，应先去中括号简便，注意去中括号时，要把小括号看作一个整体，中括号里先看成2项。

解：去中括号，得(x一3)一×＝1一x

即 x一3一＝1一x

移项，得 x+x＝1+3+

合并同类项，得x＝

系数化为1，得 x=

也可以让学生先去小括号，让他们对两种解法进行比较。

3．解力程。

(l) —=l+

(2)—x=+l

解：(1)去分母，得 3x一(5x十11)＝6+2(2x一4)

去括号，得 31—5x—11＝6+4x一8

移项，得 3x一5x—4x＝6—8十1l

合并同类项，得 一6x＝9

系数化为l，得 x＝一

点拨：去分母时注意事项，右边的“1"别忘了乘以6，分数线有两层含义，去掉分数线时，要添上括号。

(2)先利用分数的基本性质，将分母化为整数。

原方程化为 一x＝x十l

去分母，得 2(10—5x)一4x＝90x+6

去括号，得 20一l0x一4x=90x+6

移项，得 一l0x一4x一90x＝6—20

合并同类项，得 一104x=一14

系数化为1，得 x＝

点拨：“将分母化为整数”与“去分母”的区别。本题去分母之前，也可以先将方程右边的约分后再去分母。

4．解方程。

(1)｜5x一2｜＝3

(2)｜｜=1

分析：(1)把5x一2看作一个数a，那么方程可看作｜a｜＝3，根据绝对值的意义得a＝3或a＝一3

(2)把看作一个数，或把｜｜化成｜｜

解：(1)根据绝对值的意义，原方程化为：

5x一2＝3 或5x一2＝一3

解方程 5x一2＝3 得 x=l

解方程 5x一2=一3 得 x=－

所以原方程解为：x＝1或x＝－

(2)根据绝对值的意义，原方程可化为

=1或 =－1

解方程=1 得x=一1

解方程＝－1 得x＝2

所以原方程的解为x＝一1或x=2

5．已知，｜a一3｜+(b十1)2 =o，代数式的值比b一a十m多1，求m的值。

解：因为｜a一3｜≥0 (b+1)2≥0

又｜a一3｜+(b十1)2 =0

∴｜a一3｜＝0 且(b+1)2 =0

∴ a－3=0 b十l=0

即a＝3 b=一1

把a=3，b=一1分别代人代数式 , b－a+m

得=

×(一1)一3+m=一3+m

根据题意，得 一(－3十m)＝l

去括号 得 +3一m＝1

即 一＋－m＝l

∴ -十l＝1

∴ -=0

∴ m＝0

6．m为何值时，关于x的方程4x一2m＝3x+1的解是x＝2x一 3m的2倍。

解：关于；的方程4x一2m＝3x+1，得x＝2m+1

解关于x的方程 x＝2x一3m 得x＝3m

∵根据题意，得 2m+l=2×3m

解之，得 m＝

三、小结

在解一元一次方程时要注意选择合理的解方程步骤，解方程的方法、步骤可以灵活多样,但基本思路都是把“复杂”转化为“简单”，把“新”转化为“旧”，求出解后，要自觉反思求解过程和检验方程的解是否正确。

四.作业

1．教科书第21复习题A组第1、2 B组9、10选做C组13、14。

小结与复习(二)

教学目的

使学生进一步能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，能借助图表整体把握和分析题意，从多角度思考问题，寻找等量关系，恰当地转化和分析量与量之间的关系，提高学生运用方程解决实际问题的能力。

重点、难点

1．重点：运用方程解决实际问题。

2．难点：寻找等量关系，间接设元。

教学过程

一、复习

列一元一次方程解应用题的步骤。

二、新授

例1．为了准备小勇6年后上大学的学费5000元，他的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式。

(1)直接存一个6年期，年利率是2.88％；

(2)先存一个3年期的，3年后将本利和自动转存一个3年期。3年期的年利率是2.7％。

你认为哪种储蓄方式开始存人的本金比较少?

分析：要解决“哪种储蓄方式开始存入的本金较少”，只要分别求出这两种储蓄方式开始存人多少元，然后再比较。

设开始存入x元。．

如果按照第一种储蓄方式，那么列方程：

x×(1十2.88％×6)＝5000

解得 x≈4263(元)

如果按照第二种蓄储方式，

可鼓励学生自己填上表，适当时对学生加以引导，对有困难的学生复习：本利和＝本金十利息

利息：本金X利率X期数

等量关系是：第二个3午后本利和＝5000

所以列方程 1.081x·(1十2.7％×3)＝5000

解得 x≈4279

这就是说，大约4280元，3年期满后将本利和再存一个3年期，6年后本利和达到5000元。

因此第一种储蓄方式<即直接存一个6年期)开始存人的本金少。

例2．解答下列各问题：

(1)据《北京日报》2000年5月16日报道：北京市人均水资源占有300立方米，仅是全国人均占有量的，世界人均占有量的，问全国人均水资源占有量是多少立方米?世界人均水资源占有量是多少立方米?

(2)北京市一年漏掉的水相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有6×l05个水龙头，2×l05个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉a立方米水，一个漏水马桶，一个月漏掉 b立方米水，那么一个月造成的水流失量至少有多少立方米?(用含a、 b的代数式表示)

(3)水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费，假设不超标部分每立方米水费1.3元，超标部分每立方米水费2.9元，某住楼房的三口之家某月用水12立方米，交水费 22元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量是多少立方米?

三、巩固练习

1．爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为2.7％)，3年后能取5405元，他开始存入了多少元?

2．一收割机收割一块麦田，上午收了麦田的25％，下午收割了剩下麦田的20％，结果还剩6公顷麦田未收割，这块麦田一共有多少公顷?

3．儿子今年13岁，父亲今年40岁，父亲的年龄可能是儿子年龄的 4倍吗?

四、小结

本节课我们复习了利用一元一次方程解决实际问题，方程是刻画现实世界的有效数学模型，列方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义。

第七章　二元一次方程组

7.1 二元一次方程组和它的解

教学目的

1．使学生了解二元一次方程，二元一次方程组的概念。

2．使学生了解二元一次方程；二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。

3．通过引例的教学，使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性。

重点、难点

1．重点：了解二元一次方程。二元一次方程组以及二元一次方程

组的解的含义，会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解。

2．难点；了解二元一次方程组的解的含义。

教学过程

一、复习提问

1．什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎样检验一

个数是否是这个方程的解?

2．列方程解应用题的步骤。

二、新授

问题1：暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分。

比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得。分，勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场?又平了几场呢?

这个问题可以用算术方法来解，也可以列一元一次方程来解，请同学们选一种方法试一试。

解后反思：既然是求两个未知量，那么能不能同时设两个未知数?

学生尝试设勇士队胜了x场，平了y场。

让学生在空格中填人数字或式子：

（略）（见教科书）

那么根据填表结果可知

x十y=7 ①

3x+y=17 ②

这两个方程有什么共同的特点?

(都含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1)

这里的x、y要同时满足两个条件：一个是胜与平的场数和是7场；另一个是这些场次的得分一共是17分，也就是说，两个未知数x、y

必须同时满足方程①、②。因此，把两个方程合在一起，并写成

x+y＝7 ①

3x+y=17 ②

上面，列出的两个方程与一元一次方程不同，每个方程都有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程，叫做二元一次方程。把这两个二元一次方程①、②合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。

用算术方法或通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了5场，

平了2场，即x=5，y＝2

这里的x＝5，与y=2既满足方程①即 5十2＝7

又满足方程②，即 3×5十2＝17

我们就说x＝5与y＝2是二元一次方程组的解。

一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两

个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

二元一次方程组的解的检验范例。

三、巩固练习

1．教科书第25页问题2。

2．补充练习。

四、小结

1．什么是二元一次方程，什么是二元一次方程组?

2．什么是二元一次方程组的解?如何检验一对数是不是某个方程组的解?

五、作业

教科书第26页 习题7.1全部。

7.2 二元一次方程组的解法

第一课时

教学目的

1．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元——次方程组为一元一次方程。

2．使学生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。

3．通过代入消元，使学生初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法。

重点、难点

1．重点；用代入法把二元一次方程组转化为一元一次方程。

2．难点：用代入法求出一个未知数值后，把它代入哪个方程求另一个未知数值较简便。

教学过程

一、复习

1．什么叫二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解?

2．把3x+y＝7改写成用x的代数式表示y的形式。

二、新授

回顾上一节课的问题2。

在问题2中，如果设应拆除旧校舍xm2，建新校舍ym2，那么根据

题意可列出方程组。

y-x=20000×30% ①

y=4x ②

怎样求这个二元一次方程组的解呢?

方程②表明，可以把y看作4x，因此，方程①中的y也可以看着

4x，即将②代人①(得到一元一次方程，实际上此方程就是设应拆除旧校舍xm2，所列的一元一次方程)。

这样就二元转化为一元，把“未知”转化为“已知”。你能用同样的方法来解问题1中的二元一次方程组吗?

让学生自己概括上面解法的思路，然后试着解方程组。对有困难的同学，教师加以引导。并总结出解方程的步骤。

1. 选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。

2．把③代人另一个方程，得一元一次方程。

3．解这个一元一次方程，得一个未知数的值。

4．把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。

以上解法是通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的，这种解法叫做代人消元法，简称代入法。

三、巩固练习

教科书第29页，练习。

四、小结

1．解二元一次方程组的思路。

2．掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤。

五、作业

1．教科书第34页习题7．2题第1题。

第二课时

教学目的

1．使学生进一步理解代人消元法的基本思想和代入法解题的一般

步骤。

2．让学生在实践中去体会根据方程组未知数系数的特点，选择较

为合理、简单的表示方法，将一个未知数表示另一个未知数。

重点、难点

1．重点：熟练地用代人法解一般形式的二元一次方程组。

2．难点：准确地把二元一次方程组转化为一元一次方程。

教学过程

一、 复习

1．方程组 2x+5y=-2如何求解?关键是什么?解题步骤是什么?

x=8-3y

2．把方程2x-7y＝8 (1)写成用含x的代数式表示y的形式。 (2)写成用含y的代数式表示x的形式。

二、新授

2x-7y=8 ①

例：解方程 3x-8y-10=0 ②

分析：这两个方程中未知数的系数都不是l，那么如何求解呢?消哪一个未知数呢?

如果将①写成用一个未知数来表示另一个未知数，那么用x表示 y，还是用y表示x好呢?(让学生自己探索、归纳)

因为x的系数为正数，且系数也较小，所以应用y来表示x较好。

尝试解答。教师板书解方程的过程。

这里是消去x，得关于y的一元二次方程，能否消去y呢?让学生

试一试，然后通过比较，使学生明白本题消x较简单。

三、巩固练习

教科书第30页，练习1、2（1）（2） 　　

四、小结

　 对于一般形式的二元一次方程用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错，选取的原则是：

　1．选择未知数的系数是1或－l的方程；

　2．若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程， 将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代人没有变形的方程中去。这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了。

对运算的结果养成检验的习惯。

五、作业

教科书第30页，第2题的(3)、(4)。

第三课时

教学目的

1．使学生进一步理解解方程组的消元思想。

2．使学生了解加减法是消元法的又一种基本方法，并使他们会用加减法解一些简单的二元一次方程组。

重点、难点

1，重点：用加减法解二元一次方程组。

2．难点：两个方程相减消元时对被减的方程各项符号要做变号处理。

教学过程

一、复习

1．解二元一次方程组的基本思想是什么?

2．用代人法解方程组

3x+5y=5 ①

3x-4y=23 ②

学生口述解题过程，教师板书。

二、新授

对复习2的反思并引入新课。

用代入法解二元一次方程的基本思想是消元，只有消去一个未知数，才能把二元转化为熟悉的一元方程求解，为了消元，除了代入法还有其他的方法吗?(让学生主动探求解法，适当时教师可作以下引导)

观察方程组在这个方程组中，未知数x的系数有什么特点?怎样才能把这个未知数消去?你的根据是什么?

这两个方程中未知数x的系数相同，都是3，只要把这两个方程的左边与左边相减、右边与右边相减，就能消去x从而把它转化为一元一次方程。把方程①两边分别减去方程②的两边，相当于把方程①的两边分别减去两个相等的整式。

为了避免符号上的错误 (3x+5y)-(3x-4y)=5-23

板书示范时可以如下： 3x+5y-3x+4y=-18

解：把①－②得 9y＝－18

y=－2

把y＝－2代入①，得 3x+5×(－2)=5

解得 x=5

∴ x＝5 这结果与用代入法解的结果一样

y=－2 也可以通过检验

从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新解法吗？让学生自己概括一下。

例2.解方程组 3x+7y=9 ①

4x-7y=5 ②

怎样解这个方程组呢?用什么方法消去一个未知数?先消哪个未知数比较方便？

①+②，得 7x=14 ［ 两个方程中，未知数y的系数是互为相反

x=2 数，而互为相反数的和为零，所以应把方程

将x=2代入①，得 ①的两边分别加上方程②的两边］

6+7y＝9

y＝

∴ x＝2

y＝

以上两个例子是通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将 方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。

三、巩固练习

教科书第31页，练习1、2。

四、小结

今天我们又学习了解二元一次方程组的另一种方法――加减法，它是通过把两个方程两边相加(或相减)消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程。请同学们归纳一下，什么样的方程组用“代入法”，什么样的方程组用“加减法”。

五、作业

教科书第31页练习3、4。

第四课时

教学目的

使学生了解用加减法解二元一次方程组的一般步骤，能熟练地用加减法解较复杂的二元一次方程组。

重点、难点

1．重点：将方程组化成两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等。

2．难点：将方程组化成两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等。

教学过程

一、复习

下列方程组用加减法可消哪一个元，如何消元，消元后的一元一次方程是什么?

3x+4y＝-3.4 　 4x－2y＝5.6

6x-4y＝5.2 7x－2y＝7.7

二、新授

例l.解方程组 9x+2y=15 ①

3x+4y=10 ②

分析如果用加减法解，直接把两个方程的两边相减能消去一个未知数吗?如果不行，那该怎么办呢?

当两个方程中某个未知数系数的绝对值相等时，可用加减法求解，你有办法将两个方程中的某个系数变相同或相反吗?

方程②中y的系数是方程①中y系数的2倍，所以只要将①×2

例2．解方程组

3x－4y＝10 ①

15x+6y＝42 ②

这个方程组中两个方程的x,y系数都不是整数倍。那么如何把其中一个未知数的系数变为绝对值相等呢?该消哪一个元比较简便呢?(让学生自主探索怎样适当地把方程变形，才能转化为例3或例4那样的情形。)

分析：(1)若消y，两个方程未知数y系数的绝对值分别为4、6，要使它们变成12(4与6的最小公倍数)，只要①×3，②×2(2)若消x，只要使工的系数的绝对值等于15。(3与5的最小公倍数，因此只要①×3，②×2)

请同学们用加减法解本节例2中的方程组。

2x－7y＝8

3x－8y－10＝0

做完后，并比较用加减法和代人法解，哪种方法方便?

教师讲评：应先整理为一般式。

三、巩固练习

教科书第33页，练习1.3。

四、小结（教师说出条件部分，学生回答结论部分)。

加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。

五、作业

教科书第33页 练习2.4。

第五课时(习题课)

教学目的

1．使学生进一步理解二元一次方程(组)的解的概念。

2．使学生能够根据题目特点熟练地选用代入法或加减法解二元一次方程组。

教学过程

一、复习

1．什么是二元一次方程，二元一次方程组以及它的解?

2．解二元一次方程组有哪两种方法?它们的实际是什么?

3．举例说明解二元一次方程组什么情况下用代人法，什么情况下用加减法?

[当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值为l或有一个方程的常数项是。时，用代人法；当两个方程中某人未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法。)

二、课堂练习

1．方程2x+39＝3与下面哪个方程所组成的方程组的解是

x=3

y＝－1

A．41+6y=－6 B．x－2y=5

C．3x＋4y＝4 D．以上都不对

2．方程组 3x－7y=7的解是否满足方程2x+3y＝－5

5x＋2y=2

[满足，解法一，先求出方程组的解为 x= 把x,y值代入方

y=-

程2x+3y=-5的左边，左边=2× +3×（-）=-5=右边，解法二，不用求解，因为方程2x+3y＝－5，是方程组中的第二个方程减去第一个方程得到的，所以方程组的解必满足方程2x＋3y＝－5]

3．解下列方程组应消哪个元，用哪一种方法较简便?

(1)　2x-3y=-5 ① ［消x，用代入法，

　3x=2y ② 由②得x=y 再代入①］

(2)　2x+3y=5 ① ［消x用加减法，

4x-2y=1 ② ①×②－②］

(3)　　3x+2y-2=0 ① ［整体代入，消y，

－2x=－ ② 由①得3x+2y=2代入②］

4．解方程组

(1)　6x+5z=25 ①

3x+2z=10 ②

(2) －=0 ①

－= ②

(3) +=3 ①

－=－1 ②

探索简便方法：

(1)可以用加减法，①－②×2，也可以用代人法，由②得 3x＝l0－2x，代人①得 2×(10－2z)+5z＝25

(2)原方程组先整理为 4x－y=2 ③ 除用加减法解外。注

3x－4y=－2 ④

意到这两个方程的常数项互为相反数，因此③+④得

7x-7y=0即x=y,再用代入法求解。

(3)可以与(2)一样先把原方程组整理，也可以直接加减.

5.用适当的方法解方程组

(1) + =

5x+7y=

(2) 5x-2y=50

15%x+6%y=5

(3) +1=

2x-3y=4

三、作业

教科书第39页复习题l、2、①②③。

第六课时

教学目的

1．使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用。

2．通过应用题的教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性，体会列方程组往往比列一元一次方程容易。

3．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力。

重点、难点、关键

1、重、难点：根据题意，列出二元一次方程组。

2、关键：正确地找出应用题中的两个等量关系，并把它们列成方程。

教学过程

一、复习

我们已学习了列一元一次方程解决实际问题，大家回忆列方程解应用题的步骤，其中关键步骤是什么?

[审题；设未知数；列方程；解方程；检验并作答。关键是审题，寻找 出等量关系]

在本节开头我们已借助列二元一次方程组解决了有2个未知数的实际问题。大家已初步体会到：对两个未知数的应用题列一次方程组往往比列一元一次方程要容易一些。

二、新授

例l：某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务?如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元?

分析：解决这个问题的关键是先解答前一个问题，即先求出安排精加和粗加工的天数，如果我们用列方程组的办法来解答。

可设应安排x天精加工，y加粗加工，那么要找出能反映整个题意的两个等量关系。引导学生寻找等量关系。

(1)精加工天数与粗加工天数的和等于15天。

(2)精加工蔬菜的吨数与粗加工蔬菜的吨数和为140吨。

指导学生列出方程。对于有困难的学生也可以列表帮助分析。

例2：有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。

求：3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?

分析：要解决这个问题的关键是求每辆大车和每辆小车一次可运货多少吨?

如果设一辆大车每次可以运货x吨，一辆小车每次可以运货y吨，那么能反映本题意的两个等量头条是什么？

指导学生分析出等量关系。

（1） 2辆大车一次运货＋3辆小车一次运货＝15.5

（2） 5辆大车一次运货＋6辆小车一次运货＝35

根据题意，列出方程，并解答。教师指导。

三、巩固练习

教科书第34页练习l、2、3。

第3题：首先让学生明白什么叫充分利用这船的载重量与容量，让学生找出两个等量关系。

四、小结

列二元一次方程组解应用题的步骤。

1．审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，用x、y表示所要求的两个未知数。

2．找到能表示应用题全部含义的两个等量关系。

3．根据两个等量关系，列出方程组。

4．解方程组。

5．检验作答案。

五、作业

1．教科书第35页，习题7.2第2、3、4题。

7.3 实践与探索

第一课时

教学目的

通过学生积极思考、互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

重点、难点

1，重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程组解决有关配套问题的应用题。

2．难点：寻找相等关系以及方程组的整数解问题。

教学过程

一、复习

列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么?其中什么是关键?

二、新授

问题1．第35页实践与探索中的第一个问题。

学生阅读教科书并与同伴讨论、交流，探索解题方法，鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励。鼓励学生进行质问和大胆创新。

学生有困难，教师加以引导：

1．本题有哪些已知量?

(1)共有白卡纸20张。

(2)一张白卡纸可以做盒身2个或盒底盖3个。

(3)1个盒身与2个盒底盖配成一套。

2．求什么?

(1)用几张白卡纸做盒身?几张白卡纸做盒底盖?

3．若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖。

那么可做盒身多少个?盒底盖多少个?

[2x个盒身，3y个盒底盖]

4．找出2个等量关系。

(1)用做盒身的白卡纸张数十用做盒底盖的自卡纸张数：20。

(2)已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身和盒底盖正好配套。

根据题意，得

x+y＝20

3y=2×2x

解出这个方程组。

以上结果表明不允许剪开白卡纸，不能找到符合题意的分法。

如果允许剪开一张白卡纸，怎样才能既符合题意且能充分利用白卡纸呢?

用8张白卡纸做盒身，可做8×2二16(个)

用1l张白卡纸做盒底盖，可做3×11＝33(个)

将余下的l张白卡纸剪成两半，一半做盒身，另一半做盒底，一共

可做17个包装盒，较充分地利用了材料。

三、巩固练习

某农场300名职工耕种5l公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种植物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表：

已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用?

先让学生自主探索，与伙伴交流。

对有困难的学生教师加以引导。(提问式)

1．本题中有哪些已知量?

(1)安排种三种农作物的人数共300名；

(2)安排种三种农作物的土地共51公顷；

(3)每种农作物每公顷所需要的职工数；

(4)每种农作物每公顷需要投入的资金；

(5)三种农作物需要的资金和为67万元。

2．求什么?

分别安排多少公顷种水稻，多少公顷种棉花，多少公顷种蔬菜?

如果设安排x公顷种水稻，y公顷种棉花，那么由已知(2)可知，种蔬菜有(51-x-y)公顷。

这样根据已知，(3)可得种水稻4x人，棉花8y人，蔬菜5(51-x-y)人. 根据已知(4)可得，种三种农作物所需的资金分别为x万元、y万元 2(51-x-y)万元已知量中的(1)、(5)就是两个等量关系

因此，列方程组

4x+8y+5(51-x-y)＝300

x+y+2(51-x-y)=67

本题也可以列三元一次方程组求解，若有学生尝试用这种方法，应 给予鼓励，鼓励有余力的学生自己探索、研究、体会，不要求统一规定。

四、作业

教科书习题7.3，第1题。

第二课时

教学目的

让学生综合运用已有的知识，经过自主探索、互相交流．去尝试用二元一次方程组解决与生活密切相关的问题，在探索和解决问题的过程中获得体验，得到发展。

重点、难点

1．重点：让学生实践与探索，运用方程或方程组解决几何图形中的数量关系。

2．难点：寻找相等关系。

教学过程

一、复习提问

列二元一次方程组解决实际问题的关键是什么?

二、新授

上一节课我们探索了2个与生活密切相关的问题，它们都可以利用二元一次方程组来解决。今天我们再宋探索一个有趣的问题。

请同学们打开课本第35页，阅读问题2。

让学生充分思考，并与伙伴交流后，教师可以提出以下问题：

这里讲的“其中的奥秘”，是指什么?

“奥秘”是指用这8块大小一样的矩形拼成的正方形，为什么中间会留下一个边长为2mm的小正方形的洞?其中的道理是什么?

教师可以作以下引导：

1．观察小明的拼图，你能发现小长方形的长xmm与宽ymm之间的数量关系吗?

(根据矩形的对边相等，得3x＝5y)

2．再观察小红的拼图，你能写出表示小矩形的长xmm与宽ymm的另一个关系式吗?

因为AB＝CD+DE+FG，所以有x+25y=2x+2

即2y-x＝2

解方程组 3x=5y

2y-x=2

8个小矩形的面积和＝8xy＝8×10×6=480(mm2)

大正方形的面积=(x+2y)2＝(10+2×6)2＝484(mm2)

484－480＝4＝22

因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2mm的小正方形。

问题：有没有这样的8个大小一样的小矩形，既能拼成像小明那样成的大矩形，又能拼成一个没有空隙的正方形呢？

三、做一做。

把第6章实践与探索提出的问题，用本章的方法来处理，并比较两种，谈谈你的感受。

问题1：设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列方程组

y＝x

x＋y＝

问题2：设小明的爸爸前年存了x元，利息税为y元，由题意得：

y＝2.43%·x·2·20%

2.43%x·2－y＝48.6

问题3：设小张家到火车站有x千米，乘公共汽车从小张家到火车站要y小时，由题意得：

　　40x·2＝80y

　　40x＋80y＝40（x＋y＋）

四、小结

五、作业

小结与复习(一)

教学目的

1．使学生对方程组以及方程组的解有进一步的理解，能灵活运用代人法和加减法解二元一次方程组，会解简单的三元一次方程组，并能熟练地列出一次方程组解简单的应用题。使学生进一步了解把“二元” 转化为“一元’’的消元思想，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”的思想方法。

2．列方程组解实际问题，提高分析问题、解决问题的能力。

重点、难点

1．重点：解二元一次方程组以及列方程组解应用题。

2．难点；找出等量关系列出二元一次方程组.

教学过程

一、复习小结

1.知识结构

二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解法。

2．注意事项

(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。

(2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。

(3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。

二、课堂练习

1．求二元一次方程3x+y＝10的正整数解。

分析：求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另一个未知数，如y＝10-3x，给定x一个值，求出y的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题是对未知数x、y作了限制必须是正整数，也就是说对于给定的x可能是1、2、3、4…但是当x＝4时，y＝ 10-3×4=-2，y却不是正整数，因此x只能取正整数的一部分，即x= 1，x=2，x=3。

2．已知 x=1 2xn－m=5

y=2 是方程组 mx－ny=5的解，求m和n的值。

分析：因为，x=1，y＝2是方程组的解。

根据方程组解的定义和x=1，y＝2既满足方程①又满足方程②于是有：

2n-2m=5 ③

m+2n＝3 ④

解这个方程组即可。

3.A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、月两地同时出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度。

分析：这里有两个未知数:甲、乙两车的速度；有两个相等关系：

(1)同向而行：甲3小时的行程＝乙3小时行程十150千米

(2)相向而行：甲1.5小时行程+乙1.5小时行程＝150千米

解设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时。

根据题意，得

　 3x=3y+150

　 1.5x+1.5y=150

解这个方程组即可。

4.一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99，求这个三位数。

分析：怎样设未知数?直接设可以吗?

这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上数字，若用二元一次方程组求解，该怎样设未知数?

由“十位上数字比个位上的数字大2”，可设原三位数的个位上的数字为x，则十位上数字为x+2，另设百位上数字为y.

如何表示原三位数和新三位数?

100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y

2个等量关系是什么?

(1)百位上数字十十位上数字十个位上数字＝13

(2)新三位数一原三位数=99

根据题意，得

x+(x+2)+y=13

[100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99

解这个方程组即可。

三、小结

1．解一次方程组两种基本方法，是代入法和加减法，解题中常用加减法，在某个未知数的系数为一1、l时，可用代入法。解一次方程组时，应根据情况灵活运用两种方法。 　　

2.列一次方程组解应用题，关键是寻找相等关系，设几个未知数，就要找出几个相等关系，并把这些相等关系转化为方程组。　

小结与复习(二)

教学目的

通过列二元一次方程组解决实际问题，开发学生智力和培养学生理解能力，分析能力和逻辑推理能力以及培养创造性思维、用数学的意识。

重点：列二元一次方程组解应用题。

难点：间接设元以及找出2个等量关系。

一、复习

1．列二元一次方程组解应用题的步骤是什么?

2．如何设未知数?

我们已经知道，有两种设元方法——直接设元、间接设元。当直接设元不易列出方程时，用间接设元。

在列方程(组)的过程中，关键寻找出“等量关系”，根据等量关系，决定直接设元，还是间接设元。

二、新授

例1．某旅行团从甲地到乙地游览。甲、乙两地相距100公里，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8公里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4:00同时到达乙地，必须在什么时候出发?

分析：这个问题实质上求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时?

本题比较复杂，引导学生用线段图帮助分析。

X公里

　A　　　　　　D　　y公里　　 B　　 C

甲　　　　　上车点　下车点　　　　　　　乙

(1)汽车从A→B→D所需的时间与先步行的一部分人从A到D所需的时间相等。

(2)汽车从B→D→C所需的时间与后步行的一部分人从B到C所需要的时间相等。

因此可设先坐车的一部人下车地点距甲地x公里，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y公里，如图所示。

由以上两个等量关系，得：

=

=

解方程组即可得到方程组的解。

例2：方程组　　ax+by=62 的解应为

　x＝8

mx-20y=-224　　　　　　　　y＝10

但是由于看错了系数m，而得到的解为，求a+b+m的值；

三、巩固练习

教科书第39页，第6、7题，第40页，第11、12、13、14题。

第9章　　　多边形

9．1三角形

序言

教学目的

让学生步人社会、观察地面、墙面上的地砖、瓷砖的铺设，并亲手操作、拼摆，图案设计等活动，从中探索图形的性质，培养学生探索精神。

重点：使学生通过观察、思考、自觉体会某些平面图形的性质。

教学过程

一、导入(提问)

昨天你们已观察大街的人行道上，宾馆、饭店、自己家的地板，墙面。它们是用哪些形状的瓷砖铺成的?并想一想这些瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面为什么能没有一点空隙?(建议先布置学生去实践)

二、新授

答：图(1)是用等边三角形，图(2)是用正方形，图(3)是用正六边形，图(4)是用长方形瓷砖铺成的。

让学生再观察教科书图9.1.2，这是某些公园门口或高速公路两边的护坡上，用不规则的图形铺成地面。

这些形状的瓷砖成地砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢?换一些其他的形状行不行呢?

教师可以用硬纸板或木板做成一些模型。如，平行四边形、菱形、梯形、正五边形、正五边形等，分别叫几位学生上黑板试一试能不能用它们拼成不留一点空隙的图形?

平行四边形、菱形、梯形都可以拼出不留空隙的图形，正五边形、正八边形都拼不出不留空隙的图形

你从实践过程中，能不能发现为什么有些形状的瓷砖能铺满地面不留空隙，关键是什么?

鼓励学生设计出多种美丽图案，最终让学生明白，能否铺满地面不留空隙，关键在于相邻的几个多边形中，有同一个顶点的几个角它们的和等于360°时，就能拼成不留空隙的。

什么样的多边形具有这样的特征呢?这些都是我们以后要探索的。

三、巩固练习

补充练习。

四、作业

补充习题。

第一课时

教学目的

1.理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念。

2.会将三角形按角分类。

3.理解等腰三角形、等边三角形的概念。

重点、难点

1．重点：三角形内角、外角、等腰三角形、等边三角形等概念。

2．难点：三角形的外角。

教学过程

一、引入新课

在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题。

本章我们将学习三角形的基本性质。

二、新授

1．三角形的概念：

(1)什么是三角形呢?

三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边。如图：AB、BC、AC是这个三角形的三边，两边的公共点叫三角形的顶点。(如点A)三角形约顶点用大写字母表示，整个三角形表示为△ABC。

　　　　　　A（顶点）

　　　边

　　　B　　　　　C

(2)三角形的内角，外角的概念：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠BAC。

　　每个三角形有几个内角?

三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ABC的一个外角，它与内角∠ACB相邻。

A

　　　　　　　　外角

　　　B　　　　C　　D

与△ABC的内角∠ACB相邻的外角有几个?它们之间有什么关系?

练习：(1)下图中有几个三角形?并把它们表示出来。

　　　　　　　　　A

　　　　　　　D

　　　　　B　　　　　　　　C

(2)指出△ADC的三个内角、三条边。

　学生回答后教师接着问：∠ADC能写成∠D吗?∠ACD能写成∠C吗?为什么?

(3)有人说CD是△ACD和△BCD的公共的边，对吗?AD是△ACD和△ABC的公共边，对吗?

(4)∠BDC是△BCD的什么角?是△ACD的什么角?∠BCD是△ACD的外角，对吗?

(5)请你画出与△BCD的内角∠B相邻的外角。

2．三角形按角分类。

让学生观察以下三个三角形的内角，它们各有什么特点?并用量角器或三角板加以验证。

　　　　　1　　　　　　　　2　　　　　　　3

第一个三角形三个内角都是锐角；第二个三角形有一个内角是直角；第三个三角形有一个内角是钝角。

所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个内角是直角的三角形叫直角三角形；有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形。

三角形按角分类可分为：

锐角三角形 (三个内角都是锐角)

直角三角形 (有一个内角是直角)

钝角三角形 (有一个内角是钝角)

3．等腰三角形、等边三角形的概念：让学生观察以下三个三角形，它们的边各有什么特点?

A A A

B C B C B C

　 　　1　　　　　　　　2　　　　　　　　　3

经过观察，测量可知：第一个三角形的三边互不相等；第二个三角形有两条边相等(AB＝AC)；第三个三角形的三边都相等。

(1)等腰三角形：两条边相等的三角形叫等腰三角形。

相等的两边叫做等腰三角形的腰，如上图(2)AB、AC是这个等腰三角形的腰。

(2)等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形)

问：等边三角形是不是等腰三角形?

[等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定都是等边三角形]

三角形按边来分，可分为：　　　　　

三边都不相等的三角形　　　　　

只有两边相等的三角形　　　　　

等边三角形

三、巩固练习

　教科书图9．1．6中找出等腰三角形、正三角形、锐角三角边、直角三角形、钝角三角形。

四、小结

l、三角形的概念，一个三角形有三个顶点，三条边，三个内角，六个外角，和三角形一个内角相邻的外角有2个，它们是对顶角，若一个顶点只取一个外角，那么只有3个外角。

2．三角形的分类：按角分为三类：①锐角三角形，②直角三角形，③钝角三角形。按边分为三类：①三边都不相等的三角形；②等腰三角形。③等边三角形

等边三角形只是等腰三角形中的一种特殊的三角形。

五、作业

教科书第61页练习1、2。

第二课时

教学目的

掌握三角形的角平分线、中线、高线的概念，并会画出任意三角形的角平分线、中线、高线，特别注意钝角三角形高的画法。让学生从实践中得到三角形的三条中线、角平分线、高分别交于一点，直角三角形三条高的交点就是直角顶点，钝角三角形有两条高位于三角形的外部。

重点、难点

1．重点：三角形角平分线、中线、高的概念及其画法。

2．难点：钝角三角形高的画法。

教学过程

一、复习提问

1．什么叫角平分线?如何画一个角的平分线?

2．已知A、B分别是直线l上和直线l外一点，分别过点A、点B画直线l的垂线。　

　 ·B

·　　　　　　　l

　　　　　　　　　A

3．三角形按角分类可分为哪几种?

二、新授

今天我们要学习三角形中的三种重要线段——中线、角平分线和高。

1．三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。如图，点D是BC边的中点，即AD是△ABC的中线。

A

B D C

问：三角形有几条中线?若已知AD是三角形的中线，你可得到什么结论?

2．三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线。

如图，∠1=∠2，那么CE是△ABC的角平分线。

A

E ∠2

B C

∠1

问：三角形有几条角平分线?三角形的角平分线和角平分线有什么不同?

3．三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高。

如图BF⊥AC，垂足为F，则BF是△ABC的高，三角形有3条高。

A

F

B C

例1． 如图△ABC，边BC上的高画得对吗?为什么?

A A A B

B C B C A C

1 2 B C 4

3

[分析]根据三角形高的概念，BC边上的高应是BC边所对的顶点 A向BC作垂线，顶点A与垂足间的线段，所以(1)，(3)，(4)都错了，只有(2)是对的。

4．做一做：让学生拿出昨天做的三个锐角三角形。

(1)分别画出中线、角平分线、高。

(2)你能用折纸的办法得到这些线段吗?试一试。 (只要求折出一条中线、一条高，一条角平分线)

(3)把锐角三角形换成直角三角形、钝角三角形再试一试。

将你的结果与同伴进行交流。

5．议一议：

(1)一个三角形中三条中线(高、角平分线)之间的位置关系怎样?

[三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点]

(2)一个三角形的三条中线(角平分线)的交点与三角形有怎样的位置关系?

[三条中线(角平分线)相交于一点，这一点在三角形内部]

(3)直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系?钝角三角形呢?

[直角三角形有一条高在三角形内部，另外两条就是直角三角形的两条直角边，三条高的交点就是直角三角形的直角顶点，钝角三角形有一条高在形内，两条高在形外，三条高所在的直线的交点在形外。]

(4)你能折出钝角三角形的三条高吗?

三、巩固练习

教科书第62页练习1、2。

第l题 也可以让学生剪下一个等腰三角形，用折纸的方法验证底边上的高、中线、角平分线互相重合。

四、小结

1．三角形的三种重要线段——中线、高、角平分线的概念。

2．三角形的中线、高、角平分线的画法。

3．三角形的三条中线(高、角平分线)之间的位置关系以及它们与三角形间的位置关系。

五、作业

补充作业（略）

第一课时

教学目的

1．使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和。

2．利用平行线性质来证明三角形的外角的第一个性质以及三角形 的外角和。

3．会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算。

重点、难点

1．重点：掌握三角形外角的性质以及其外角的和。

2．难点：在三角形外角的性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法。

教学过程

一、复习提问

1．什么叫三角形的外角?三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系?

2．三角形的内角和等于多少?

二、新授

我们已经知道三角形的内角和等于180°。

1．现在我们探索三角形的外角及外角和。

如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角。∠DAC是三角形的一个外角，内角BAC与它相邻，内角∠B、∠C与它不相邻。 A D

B C

问：三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?(互补)

探索三角形∠ACB、∠BAC剪下拼在一起放到∠CBD上，使点A、C、B重合，看看会出现什么结果，与同伴交流一下，结果是否一样。请你用文字语言叙述三角形的一个外角与它不相邻的两个内角间的关系。

由此可知：三角形外角有两条性质：

(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 A

如图： D是△ABC边BC上一点，则有　　　　　　　　　

∠ADC＝∠DAB+∠ABD B D C

∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABD　

问：∠ADB＝∠(　　　　)+∠(　　　)　

2．探索证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”的方法。

(1)你能用“三角形的内角和等于180°”来说明三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和呢?

(2)你能否从前面的操作中，得到说明三角形外角性质的另一种方法？

3、探索三角形的外角和

（1）与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。

（2）探索三角形的外角和是多少？

（3）探索三角形的外角和是360°的证明方法。

三、巩固练习

教科书第64页练习1、2。

四、小结

1、 三角形的内角和与外角和各是多少？

2、 三角形的外角有哪些性质？

五、作业

教科书第67页习题9。1第1、2题

第二课时

教学目的

使学生能熟练灵活地利用三角形内角和，外角和以及外角的两条性质进行有关计算。

重点：利用三角形的内角和与外角的两条性质来求三角形的内角或外角。

难点：比较复杂图形，灵活应用三角形外角的性质。

教学过程

一、复习提问

1．三角形的内角和与外角和各是多少?

2．三角形的外角有哪些性质?

二、新授

例1．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，求△ABC各内角的度数。

分析：由已知条件可得∠B＝2∠A，∠C＝3∠A所以可以根据三角形的内角和等于180°来解决。

做一做：如图,在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝46°

A

B D E C

(1)你会求∠DAE的度数吗?与你的同伴交流。

(2)你能发现∠DAE与∠B、∠C之间的关系吗?

(2)若只知道∠B－∠C＝20°，你能求出∠DAE的度数吗?

分析：(1)∠DAE是哪个三角形的内角或外角?

(2)在△ADE中，已知什么?要求∠DAE，必需先求什么?

(3)∠AED是哪个三角形的外角?

(4)在△AEC中已知什么?要求∠AEB，只需求什么?

(5)怎样求∠EAC的度数?

三、巩固练习

1． 如图，△ABC中，∠BAC＝50°，∠B＝60°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADC，∠ADB的度数。 A

B

D C

2．已知在△ABC中，∠A＝2∠B-10°，∠B＝∠C+20°。求三角形的各内角的度数。

四、小结　　

三角形的内角和，外角的性质反映了三角形的三个内角外角是互相联系与制约的，我们可以用它来求三角形的内角或外角，解题时，有时还需添加辅助线，有时结合代数，用方程来解比较方便。

五、作业

教科书第67页习题9。1第3、4题

9．1．3．三角形的三边关系

教学目的

1.让学生通过作三角形(已知三条线段)的过程中，发现“三角形任何两边之和大于第三边”．并会利用这个不等量关系判断不知的三条线段能否组成三角形以及已知三角形的二边会求第三边的取值范围。

2．会利用三角形的稳定性解决一些实际问题。

重点、难点

1.重点；三角形任何两边之和大于第三边的应用。

2．重点：已知三角形的两边求第三边的范围．

教学过程

一、复习提问

1.三角形的三个内角和是多少?三角形的外角有什么性质?

2.在连结两点的所有线中最短的是哪一种?

二、新授

我们已探索了三角形的三个内角、外角以及外角与内角之间的数量关系，今天我们要探索三角形的三边之间的不等量关系。

1．让学生拿出预先准备好的四根牙签(2cm，3cm，5cm，6cm各一根)，请你用其中的三根，首尾连接，摆成三角形，是不是任意三根都能摆出三角形?若不是，哪些可以，哪些不可以?你从中发现了什么?

从4根中取出3根有以下几种情况：

(1)2cm，5cm，6cm

(2)3cm，5cm，6cm

(3)2cm，3cm，5cm

(4)2cm，3cm，6cm

经过实践可知(1).(2)可以摆出三角形，(3)、(4)不能摆成三角形。我们可以发现在这三根牙签中。如果较小的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。

这就是说：三角形的任何两边的和大于第三边。

2．下面我们再通过用圆规、直尺画三角形来验证

画一个三角形；使它的三条边分别为7cm、5cm、4cm。

画法步骤如下：

(1)先画线段AB=7cm

(2)以点A为圆心，4cm长为半径画圆弧，

(3)再以B为圆心，4cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C；

(4)连接AC、BC．

△ABC就是所要画的三角形。

这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等。

试一试：

能否画一个三角形，使它的三边分别为

(1)7cm，4cm，2cm

(2)9cm，5cm，4cm

大家在画图过程中，发现两条弧不会相交，这就是说不能作出三角形。

你能否利用前面说过的线段的基本性质来说明这一结论的正确性?

例1．有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，现在再取一根木棒与它们摆成一个三角形，你说第三根要多长呢?用长度为3cm的木棒行吗?为什么?长度为14cm的木棒呢?

3．三角形的稳定性。

教师演示简易的教具——用木条钉成的三角形和四边形，用力一拉四边形变形了，而三角形却一点不变。

这就是说三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形就不具有这个性质。

三角形的稳定性在生产、生活实践中有着广泛的应用；如桥拉杆、电视塔架底座，都是三角形结构(如教科书图9．1．13)

你能举出三角形的稳定牲在生产、生活中应用的例子吗?

三、巩固练习

教科书第６６页练习1、2、3。

四、小结

本节课我们研究、探索了三角形中边的不等量关系，三角形任何两边的和大于第三边。注意“任何”两宇，如三角形的三边分别为a、b、c，则a+b>c，a+c>b，b+c>a都成立才可以，但如果确定了最长的一条线段，只要其余两条线段之和大于最长的一条，它们必定可以构成三角角形。如果已有两条线段，要确定第三条应该是什么样的长度才能使它们构成三角形?第三边的取值范围是大于这两边的差而小于这两边的和。

９．２ 多边形的内角和与外角和

教学目的

1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。

2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会利用它们进行有关计算。

重点、难点

1．重点：多边形的内角和与外角和定理。

2．难点：多边形的内角和，外角和定理的推导。

教学过程

一、复习提问

1．什么叫三角形?

2．三角形的内角和是多少?

3．什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少?

二、新授

1．多边形的概念，

三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。

你能说出什么叫四边形、五边形吗?

如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写) A

D D

C B F

A C E

C

A B E

B (1) (2) D (3)

图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE。

一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。

与三角形类似如图，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，延长 AB、CB得四边形ABCD的两个外角∠CBE和∠ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有n个内角，有2n个外角。

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，线段AC是四边形 ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。

问：(1)四边形有几条对角线?(两条AC、BD)

(2)五边形有几条对角线?

以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以月为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。

(3)六边形有几条对角线?n边形呢? 六边形有9条对角线。

从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条， (除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有条对角线。

大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；当n=5时，有5条：当n=6时，有9条…

2．多边形的内角和公式。

三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180°，那么一般n边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形……开始。

从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成2个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。

让学生填写教科书表9.2.1,由此你可以得到“n”边形的内角和公式吗?

n边形的内角和＝(n-2)·180°知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n。

例1．一个多边形的内角和等于2340°，求它的边数。

问题：一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是几边形?

分析：正多边形的每个内角都相等。多边形的内角和等于(n-2)·180°，还可以用以下的划分来说明，即在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?请你试一试。

对有困难的学生教师可以加以引导。

如图(教科书图9.2.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此n边形就可划分成n个三角形，这n个三角形的内角和减去以 P为顶点的周角所得的差就是n边形的内角和。因此，n边形的内角和为：

n·180°-360°＝n·180°-2·180°=(n-2)·180°

问：还有其他方法吗?让学生自主探索，对不同方法给予鼓励。

3．多边形的外角和。

什么叫多边形的外角和。

与三角形的外角和一样，与多边形的每个内角相邻的外角有两个，这两个角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和，如教科书图9.2.6，∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形的外角和。

多边形的外角和是否也可以用公式表示呢?下面我们也来探讨。

因为n边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角，所以可先求出多边形的内角与外角的总和，再减去内角和，就可得到外角和。

让学生填写填教科写表9.2.2

n边形的内角与外角的总和为n·180°

n边形的内角和为(n-2)·180°

那么n边形的外角和为n·180°－(n－2)·180°=n·180°-n·180°+360°=360°

这就是说多边形的外角和与边数无关，都等于360°。

例2．一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数。

分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是360°，因此只要求出每个外角度数，就可知是几边形了。

点拨；多边形的外角和等于360°，与边数无关，故常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。

三、巩固练习

1．教科书第70页练习1．2。

第2题引导学生从外角考虑，多边形的内角是锐角，那么和这个内角相邻的外角是什么样的角?[钝角]

多边形的外角和是360°，那么在这些外角中钝角的个数最多可以是几个?3个可以吗?4个呢?让学生动手算一算，由他们自己得出结论．

从而得到最多可以有3个外角是钝角，即多边形的内角中最多可以有3个是锐角。

四、小结

本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°。这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握。由于多边形的外角和等于360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。

五、作业

9．3用正多边形拼地板

9．3．1用相同的正多边形拼地板

教学目的

1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式。

2．通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是几个多边形的内角相加要等于 360°。

3．使学生进一步认识图形在日常生活中的应用。

重点、难点

1．重点：通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键。

2．难点：同上。

教学过程

一、复习提问

1．多边形的内角和公式是什么?外角和?

2．什么叫正多边形?

二、新授

本章开头已提出关于瓷砖的铺设问题，今天我们来探究用什么样的正多边形能拼成一个既不留下一丝空白，又不相互重叠的平面图形。

请同学们拿出预先准备好的若干张正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形。

先用正三角形拼图，你能拼出既不留空隙，又不重叠的平面图形?再依次用正方形、正五边形、正六边形，正八边形试一试，哪些可以，哪些不可以，你从中发现了什么?

通过学生亲自动手拼图，使他们发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加恰好等于360°。

下面我们再通过用计算器计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形。

让学生填教科书表9。3。1

每个内角为多少度时能拼成符合以上条件的平面图呢?

因为60°×6=360° 用6个正三角形瓷砖就可以铺满地面

90°×4=360° 即用4个正方形瓷砖就可以铺满地面。

为什么用正五边形瓷砖不能铺满地面呢?正八边形也不行?

(因为360°÷108°，360°÷154°得数都不是整数)

这就是说，当(360°÷ n )为正整数时，用这样的正n边形就可以铺满地面。

请同学们把教科书翻到第58页，看图9.1.1中(1)、(2)、(3)分别是用正三角形、正方形、正六边形拼成的。

三、巩固练习

你能用正三角形和正六边形两个结合在一起铺满地面吗?

四、作业

教科书第72页练习1、2。

2．用多种正多边形拼地板

教学目的

通过两种以上的正多边形拼地板活动，使学生进一步体会某些平面图形的性质及其位置关系，促使学生在学习中培养良好的情感、态度、以及主动参与、合作、交流的意识，进一步提高观察、分析、概括、抽象等能力，同时使学习进一步认识图形在日常生活中的应用，能欣赏现实世界中的美丽图案。

重点、难点

1．重点：通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力。

2．难点：寻找用哪几种正多边形能铺满地板。

教学过程

一、复习提问

1．在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，有哪几种可以用它们铺满地板?

2．用正多边形瓷砖能不留空隙，不重叠地铺满地板的关键是什么?

二、新授

昨天我们已经学习了用一种正多边形拼地板，关键是看哪种正多边形的内角的度数是360°

因为正六边形的内角为120°，正三角形的内角为60°，这样用2块正六边形和2块正三角形，它们内角之和为一个周角360°，所以能铺满地板。

能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢?

大家看教科书图8.4.4，它是用哪几种正多边形铺成的呢?为什么能拼成既没有空隙也没有重叠的平面图形?

(用正十二边形和正三角形拼成的，因为正十二边形的内角为 150°，正三角形的内角为60°，那么2个正十二边形和一个正三角形各一个内角的和恰好等于一周角360°，所以可以铺满地板)

(用正十二边形、正六边形、正方形拼成的。因为正十二边形的内角为150°，正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，三者之和正好等于360°，所以可以铺满地板)

拼成的呢?是否也满足这几个正多边形的一个内角之和为360°这个条件呢?

(由正八边形和正方形拼成的，正八边形的内角为135°，正方形的内角为90°，那么2个正八边和一个正方形各一个内角之和正好等于 360°)

观察图8.4.7，又是由哪些正多边形拼成的?是否满足几个正多边形的一个内角和等于 360°。是由正六边形、正方形、正三角形拼成的，如图所示：

120°+90°+90°+60°=360°满足这几个正多边形的一个内角的和等于360°

三、巩固练习

1．你能用正三角形、正方形、正十二边形拼成不留空隙，不重叠的平面图形吗?

2．教科书第58页练习1、2。

四、作业

教科书习题8.4. 1、2、3。

小结与复习(一)

教学目的

1．通过小结本章的知识结构，培养学生分析、归纳、总结的能力。

2．使学生体验三角形性质：三角形外角和、三角形的三边关系、多边形内角和、多边形外角和的探索过程，掌握三角形的性质，并会用它们进行有关计算。

3．使学生进一步理解某些正多边形能够铺满地面的道理。

4．理解三角形的三种重要线段——中线、角平分线和高的概念，并会画出这三种线段。

重点、难点

1．重点：三边关系、三角形的外角性质，多边形的外角和与内角和以及高的画法。

2．难点：灵活应用三角形的性质进行有关计算。

复习过程

一、小结本章的知识结构

按教科书第61页知识结构网络图讲(采用提问式，由学生叙述)不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，它具下如下的特性：①稳定性，只要三角形的三条边长度一定，它的形状、大小就完全确定了。三角形形状的物体比较牢固，很难改变其形状与大小，这个特性在生产实践与生活中有许多有处。②基础性，三角形是基本的封闭图形，是边数最少的多边形，在研究其他多边形时，常常作出对角线将其划分为三角形来研究，如多边形内角和、外角和的探索。

三角形的主要概念是：边、顶点、内角、外角以及三角形的三条主要线段——中线、角平分线、高。

三角形任意两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，注意“任意”的含义。

三角形内角和等于180°，外角的两个性质，这是平面几何中很重要的一个基本性质。

三角形按角可分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。按边可分为：三边都不相等的三角形、等腰三角形两类，而等边三角形是等腰三角形的特例。

二、例题

1．下列各组中的数分别表示三条线段的长度，试判断以这些线段为边是否能组成三角形。

(1)3，5，2

(2)a，b，a+b (a>0，b>0)

(3)3，4，5

(4)m+1，2m，m+l(m>0)

(5)a+1，2，a+5(a>0)

2．如图(1)，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，AM⊥BC，AD⊥BE，那么∠2＝∠3＝∠4，你知道这是为什么?

3．如图(2)，DC平分△ABC的外角，与 BA的延长线于D，那么∠BAC＞∠B，为什么?

三、巩固练习选择题 1．在下列四组线段中，可以组成三角形的是( )①1，2，3 ②4，5，6③1，, ④15，72，90

A．1组 B．2组 C 3组 D．4组

2．下列四种说法正确的个数是( )

①一个三角形的三个内角中至多有一个钝角

②一个三角形的三个内角中至少有2个锐角

③一个三角形的三个内角中至少有一个直角

④一个三角形的三个外角中至少有两个钝角

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．△ABC中，三边长为6、7、x，则x的取值范围是( )

A．2．1．6．无法确定

4．等腰三角形两边长分别是5和7，则该三角形周长为( )

A．17 B．19 C17或19 D．无法确定

四、作业

1．教科书复习题A组l－5。

小结与复习(二)(习题课)

教学目的

通过复习与练习使学生对本章知识有更深的了解，并会灵活运用三角形内角和等于180°，外角性质，外角和以及多边形的内角和解决实际问题，进一步理解正多边形能铺满地面的道理，提高学生分析问题、解决问题的能力。

重点、难点

灵活运用三角形内角和定理和外角性质。

复习过程

问题1：△ABC的三边a、b、c都是正整数，且满足0≤a≤b≤c，如果b＝4，问这样的三角形有多少个?

问题2：如图(1)依图填空：

1．在△ABC中，BC边上的高是

( )

2．在△AEC中，AE边上的高是

( )

3．在△FEC中，EC边上的高是

4．AB＝CD＝2cm，AE＝3cm ，则△AEC的面积S=( )，CE＝( )

分析：在非标准位置的三角形中，运用定义识别直角三角形、钝角三角形的高，利用三角形面积公式S△AEC＝×AE×CD＝CE×AB可求得CE。

问题3：如图(2)，在△ABC中，D是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63° 求∠DAC的数。