分式总复习

【知识精读】

【分类解析】

1. 分式有意义的应用

例1. 若，试判断是否有意义。

分析：要判断是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断与零的关系。

解：

即

或

中至少有一个无意义。

2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。

例2. 计算：

分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。

解：原式

例3. 解方程：

分析：因为，，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于故可得如下解法。

解：

原方程变为

经检验，是原方程的根。

3. 在代数求值中的应用

例4. 已知与互为相反数，求代数式

的值。

分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a、b的值，又因为，，利用非负数及相反数的性质可求出a、b的值。

解：由已知得，解得

原式

把代入得：原式

4. 用方程解决实际问题

例5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。

解：设这列火车的速度为x千米/时

根据题意，得

方程两边都乘以12x，得

解得

经检验，是原方程的根

答：这列火车原来的速度为75千米/时。

5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。

例6. 已知，试用含x的代数式表示y，并证明。

解：由，得

6、中考原题：

例1．已知，则M＝__________。

分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。

解：

例2．已知，那么代数式的值是_________。

分析：先化简所求分式，发现把看成整体代入即可求的结果。

解：原式

7、题型展示：

例1. 当x取何值时，式子有意义？当x取什么数时，该式子值为零？

解：由

得或

所以，当和时，原分式有意义

由分子得

当时，分母

当时，分母，原分式无意义。

所以当时，式子的值为零

例2. 求的值，其中。

分析：先化简，再求值。

解：原式

【实战模拟】

1. 当x取何值时，分式有意义？

2. 有一根烧红的铁钉，质量是m，温度是，它放出热量Q后，温度降为多少？（铁的比热为c）

3. 计算：

4. 解方程：

5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日期是多少天？

6. 已知，求的值。

【试题答案】

1. 解：由题意得

解得且

当且时，原式有意义

2. 解：设温度降为t，由已知得：

答：温度降为。

3. 分析：此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便，它采用了逐步通分的方法。因此灵活运用法则会给解题带来方便。同时注意结果要化为最简分式。

解：原式

4. 解：原方程化为

方程两边通分，得

化简得

解得

经检验：是原方程的根。

说明：解分式方程时，在掌握一般方法的基础上，要注意根据题目的特点，选用简便的方法，减少繁琐计算。

5. 分析：设规定日期是x天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，工作总量为1

解：设规定日期为x天

根据题意，得

解得

经检验是原方程的根

答：规定日期是6天。

6. 解：

由(1)(2)解得

分式部分的经典提高题