广东省东莞市寮步信义学校2016届九年级数学上学期期中试题

一、选择题（10×3=30分）

1．方程x2﹣9=0的解是( )

A．9 B．±3 C．3 D．﹣3

2．二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是( )

A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）

3．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．

4．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于( )

A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．0

5．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( )

A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣2

6．平面直角坐标系内一点P（﹣3，4）关于原点对称点的坐标是( )

A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（4，﹣3）

7．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为( )

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

8．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( )

A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1

9．为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为( )

A．20x2=25 B．20（1+x）=25

C．20（1+x）2=25 D．20（1+x）+20（1+x）2=25

10．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是( )

A． B． C． D．

二、填空题（6×4=24分）

11．已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，则实数k的值是__________．

12．将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=__________．

13．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为__________．

14．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=__________°．

15．（x﹣3）2+5=6x化成一般形式是__________，其中一次项系数是__________．

16．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论__________（填序号）．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

17．解方程：x2﹣6x﹣16=0．

18．已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．

19．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：

（1）分别写出A、B两点的坐标；

（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1．

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

20．学校要把校园内一块长20米，宽12米的长方形空地进行绿化，计划中间种花，四周留出宽度相同的地种草坪，且花坛面积为180平方米，求草坪的宽度．

21．已知：抛物线的解析式为y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，

（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；

（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．

22．如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．

（1）△DCF可以看做是△BCE绕点C旋转某个角度得到的吗？说明理由．

（2）若∠CEB=60°，求∠EFD的度数．

五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

23．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：

x1+x2=﹣，x1x2=

根据上述材料计算：

已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，求下列代数式的值．

（1）+

（2）x12+x22

（3）（x1﹣1）（x2﹣1）

24．已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件． 设每件商品的销售单价上涨了x元时，每个星期的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每星期的销售利润恰为6090元？

（3）每件商品的售价定为多少元时可使每星期销售利润最大？最大的利润是多少？

25．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）求二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标；

（3）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；函数值y为负数时，自变量x的取值范围．

2015-2016学年广东省东莞市寮步信义学校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（10×3=30分）

1．方程x2﹣9=0的解是( )

A．9 B．±3 C．3 D．﹣3

【考点】解一元二次方程-直接开平方法．

【分析】这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出x．

【解答】解：x2﹣9=0即（x+3）（x﹣3）=0，所以x=3或x=﹣3．

故选：B．

【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

2．二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是( )

A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．

【解答】解：二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．

故选A．

【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．

3．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于( )

A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．0

【考点】一元二次方程的一般形式．

【分析】根据题意可得m2﹣4=0，且m﹣2≠0，再解即可．

【解答】解：由题意得：m2﹣4=0，

解得：m=±2，

∵m﹣2≠0，

∴m≠2，

∴m=﹣2，

故选：A．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

5．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( )

A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣2

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．

【解答】解：抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），

∵向下平移2个单位，

∴纵坐标变为﹣2，

∵向右平移1个单位，

∴横坐标变为﹣1+1=0，

∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，﹣2），

∴所得到的抛物线是y=x2﹣2．

故选D．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便，且容易理解．

6．平面直角坐标系内一点P（﹣3，4）关于原点对称点的坐标是( )

A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（4，﹣3）

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．

【解答】解：∵P（﹣3，4），

∴关于原点对称点的坐标是（3，﹣4），

故选：C．

【点评】此题主要考查了原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．

7．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为( )

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

【考点】根的判别式．

【专题】计算题．

【分析】先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

8．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( )

A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1

【考点】二次函数的性质．

【专题】压轴题．

【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x＜1时，y随x的增大而增大．

【解答】解：∵a=﹣1＜0，

∴二次函数图象开口向下，

又对称轴是直线x=1，

∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．

故选A．

【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．

9．为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为( )

A．20x2=25 B．20（1+x）=25

C．20（1+x）2=25 D．20（1+x）+20（1+x）2=25

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元”，可得出方程．

【解答】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=25

故选C．

【点评】本题为平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

10．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是( )

A． B． C． D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【分析】令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．

【解答】解：x=0时，两个函数的函数值y=b，

所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；

由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，

所以，a＞0，

所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，

所以，A选项错误，C选项正确．

故选C．

【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．

二、填空题（6×4=24分）

11．已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，则实数k的值是﹣1．

【考点】一元二次方程的解．

【专题】计算题．

【分析】已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，把x=1代入方程，即可得到一个关于k的方程，解方程即可求出k值．

【解答】解：把x=1代入方程得：2+k﹣1=0，

解方程得k=﹣1．

故答案为：1

【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．

12．将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=（x﹣2）2+1．

【考点】二次函数的三种形式．

【专题】常规题型．

【分析】将二次函数y=x2﹣4x+5的右边配方即可化成y=（x﹣h）2+k的形式．

【解答】解：y=x2﹣4x+5，

y=x2﹣4x+4﹣4+5，

y=x2﹣4x+4+1，

y=（x﹣2）2+1．

故答案为：y=（x﹣2）2+1．

【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=a（x﹣h）2+k；两根式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

13．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为x（x﹣1）=90．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．

【解答】解：设有x个队参赛，

x（x﹣1）=90．

故答案为：x（x﹣1）=90．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．

14．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=70°．

【考点】旋转的性质．

【专题】探究型．

【分析】直接根据图形旋转的性质进行解答即可．

【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，

∴△OAB≌△OA1B1，

∴∠A1OB1=∠AOB=30°．

∴∠A1OB=∠A1OA﹣∠AOB=70°．

故答案为：70．

【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．

15．（x﹣3）2+5=6x化成一般形式是x2﹣12x+5=0，其中一次项系数是﹣12．

【考点】一元二次方程的一般形式．

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

【解答】解：由原方程，得

x2﹣12x+5=0，

则一次项系数是﹣12．

故答案是：x2﹣12x+5=0；﹣12．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．

16．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论①④（填序号）．

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，可得b＜0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c＞0，所以abc＜0，据此判断即可．

②根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得当x=﹣1时，y＞0，所以a﹣b+c＞0，据此判断即可．

③根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得当x=2时，y＜0，所以4a+2b+c＜0，据此判断即可．

④根据抛物线与x轴有2个交点，可得△=b2﹣4ac＞0，据此判断即可．

【解答】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，

∴结论①正确．

∵当x=﹣1时，y＞0，

∴a﹣b+c＞0，

∴结论②错误．

∵x=2时，y＜0，

∴4a+2b+c＜0，

∴结论③错误；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，

∴结论④正确．

综上，可得正确的结论有：①④．

故答案为：①④．

【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

17．解方程：x2﹣6x﹣16=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【专题】计算题．

【分析】解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因为﹣16=﹣8×2，﹣6=﹣8+2，所以x2﹣6x﹣16=（x﹣8）（x+2），这样即达到了降次的目的．

【解答】解：原方程变形为（x﹣8）（x+2）=0

x﹣8=0或x+2=0

∴x1=8，x2=﹣2．

【点评】一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要注意选择合适的解题方法．

18．已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．

【考点】待定系数法求二次函数解析式．

【分析】根据题意设出抛物线的顶点形式，将（0，﹣5）代入即可确定出解析式．

【解答】解：根据题意设y=a（x+1）2﹣3，

将（0，﹣5）代入得：a﹣3=﹣5，

解得：a=﹣2，

则抛物线解析式为y=﹣2（x+1）2﹣3=﹣2x2﹣4x﹣5．

故抛物线的解析式为y=﹣2x2﹣4x﹣5．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

19．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：

（1）分别写出A、B两点的坐标；

（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1．

【考点】作图-旋转变换．

【专题】探究型．

【分析】（1）直接根据点A、B在坐标系中的位置写出其坐标即可；

（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△AB1C1即可；

【解答】解：（1）由点A、B在坐标系中的位置可知：A（2，0），B（﹣1，﹣4）；

（2）如图所示：

【点评】本题考查的是旋转变换，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

20．学校要把校园内一块长20米，宽12米的长方形空地进行绿化，计划中间种花，四周留出宽度相同的地种草坪，且花坛面积为180平方米，求草坪的宽度．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】设草坪的宽度为x米，那么花坛的长为，宽为（12﹣x），花坛面积为180平方米，可列方程求解．

【解答】解：设草坪的宽度为x米，

则（12﹣2x）=180，

解得x1=1 x2=15（舍去）．

故草坪的宽度为1米．

【点评】本题考查一元二次方程的应用和理解题意的能力，关键是设出草坪的宽，表示出花坛的长和宽，根据面积这个等量关系可列方程求解．

21．已知：抛物线的解析式为y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，

（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；

（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．

【考点】二次函数综合题．

【专题】代数综合题．

【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即△＞0即可；

（2）根据题意，令x=0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．

【解答】证明：（1）令y=0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0①

∵△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＞0

∴方程①有两个不等的实数根，

∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；

（2）令：x=0，根据题意有：m2﹣m=﹣3m+4

解得m=﹣1+或﹣1﹣．

（说明：少一个解扣2分）

【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式的关系．

22．如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．

（1）△DCF可以看做是△BCE绕点C旋转某个角度得到的吗？说明理由．

（2）若∠CEB=60°，求∠EFD的度数．

【考点】旋转的性质；正方形的性质．

【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定方法即可证明△BCE≌△DCF，据此即可解答；

（2）由两个三角形全等的性质得出∠CFD的度数，再用等腰三角形的性质求∠EFD的度数．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴DC=BC，∠DCB=∠FCE，

∵CE=CF，

∴△DCF≌△BCE，

则△DCF可以看作是△BCE绕点C顺时针旋转90°得到；

（2）解：∵△BCE≌△DCF，

∴∠DFC=∠BEC=60°，

∵CE=CF，

∴∠CFE=45°，

∴∠EFD=15°．

【点评】此题主要考查正方形的特殊性质及全等三角形的判定的综合运用．

五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

23．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：

x1+x2=﹣，x1x2=

根据上述材料计算：

已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，求下列代数式的值．

（1）+

（2）x12+x22

（3）（x1﹣1）（x2﹣1）

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，求出x1+x2，x1•x2的值，再根据（1）+=，（2）x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2）；（3）（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1即可求出答案．

【解答】解：∵x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，

∴x1+x2=﹣4，x1•x2=2，

∴（1）+===﹣2；

（2）x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16﹣4=12；

（3）（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=2﹣（﹣4）+1=7．

【点评】此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

24．已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件． 设每件商品的销售单价上涨了x元时，每个星期的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每星期的销售利润恰为6090元？

（3）每件商品的售价定为多少元时可使每星期销售利润最大？最大的利润是多少？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）依据每个星期的销售利润=每件的利润×销售的件数列方程求解即可；

（2）根据销售利润为6090元列出关于x的一元二次方程，从而可求得定价；

（3）利用配方法可求得抛物线的最大值以及此时自变量的取值．

【解答】解：（1）y=（60+x﹣40）（300﹣10x）=﹣10x2+100x+6000，

∵300﹣10x≥0，

∴x≤30．

∴自变量x的取值范围是0≤x≤30．

（2）令y=6090得：﹣10x2+100x+6000=6090．

解得：x=1或x=9．

60+1=61，60+9=69．

当定价为61或69元时，每星期的销售利润恰为6090元．

（3）y=﹣10x2+100x+6000=﹣10（x﹣5）2+6250，

当x=5时，y有最大值，最大值为：6250．

此时售价为：60+5=65元．

答：每件定价为65元时利润最大，最大利润为6250元．

【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出y与x的函数关系式是解题的关键．

25．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）求二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标；

（3）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；函数值y为负数时，自变量x的取值范围．

【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．

【专题】计算题．

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；

（2）通过解方程﹣x2+2x+3=0可得抛物线与x轴两交点坐标，从而得到二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标；

（3）观察函数图象，写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围和在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可．

【解答】解：（1）把（﹣1，0）、（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得，解得b=2，c=3，

所以二次函数解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，

所以抛物线与x轴两交点坐标为（﹣1，0），（3，0），

即二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）；

（3）当﹣1＜x＜3时，y＞0；

当x＜﹣1或x＞3时，y＜0．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式．

广东省东莞市寮步信义学校2016届九年级数学上学期期中试题（含解析）新人教版