模糊聚类案例分析

发布时间：2020-05-23 19:48:43

模糊数学方法及其应用

论文题目：模糊聚类方法案例分析

小组成员：

王季光宋申辉兰洁

倩芸肖仑洋

吴云峰

2013年 10 月 27 日

模糊聚类分析方法

1.1距离和相似系数

为了将样品（或指标）进行分类，就需要研究样品之间关系。目前用得最多的方法有两个：一种方法是用相似系数，性质越接近的样品，它们的相似系数的绝对值越接近1，而彼此无关的样品，它们的相似系数的绝对值越接近于零。比较相似的样品归为一类，不怎么相似的样品归为不同的类。另一种方法是将一个样品看作P维空间的一个点，并在空间定义距离，距离越近的点归为一类，距离较远的点归为不同的类。但相似系数和距离有各种各样的定义，而这些定义与变量的类型关系极大，因此先介绍变量的类型。

由于实际问题中，遇到的指标有的是定量的（如长度、重量等），有的是定性的（如性别、职业等），因此将变量（指标）的类型按以下三种尺度划分：

间隔尺度：变量是用连续的量来表示的，如长度、重量、压力、速度等等。在间隔尺度中，如果存在绝对零点，又称比例尺度，本书并不严格区分比例尺度和间隔尺度。

有序尺度：变量度量时没有明确的数量表示，而是划分一些等级，等级之间有次序关系，如某产品分上、中、下三等，此三等有次序关系，但没有数量表示。

名义尺度：变量度量时、既没有数量表示，也没有次序关系，如某物体有红、黄、白三种颜色，又如医学化验中的阴性与阳性，市场供求中的“产”和“销”等。

不同类型的变量，在定义距离和相似系数时，其方法有很大差异，使用时必须注意。研究比较多的是间隔尺度，因此本章主要给出间隔尺度的距离和相似系数的定义。

设有个样品，每个样品测得项指标（变量），原始资料阵为

其中为第个样品的第个指标的观测数据。第个样品为矩阵的第行所描述，所以任何两个样品与之间的相似性，可以通过矩阵X中的第K行与第L行的相似程度来刻划；任何两个变量与之间的相似性，可以通过第列与第列的相似程度来刻划。

1.2 F相似关系

1.2.1定义

设，如果具有自反和对称关系，则称为上的一个相似关系（表示模糊）

当论域为有限时，相似关系可以用矩阵表示。具有F相似关系的矩阵，称为相似矩阵。在实际应用时，通常只能得到自反矩阵和对称举证，即相似矩阵。现在的问题是对具有相似关系的元素怎样进行分类，也就是如何将相似矩阵改造为等价矩阵。

1.2.2 定理

若，则称为对称矩阵。（1）

若（是单位矩阵），则称为自反矩阵。（2）

若,则称为传递的关系。（3）

若满足上面三点则称为等价矩阵。

定理1：相似矩阵的传递闭包是等价矩阵，且。

证只需要证明是自反的、对称的。

因是自反的，故，。不难得到不减，因此，即是自反的。

因为，，故是对称的。

有定理1可见，要想将相似矩阵改变为等价矩阵，只需求相似矩阵的传递闭包。

定理2：设是自反矩阵，则任意自然数，都有

证由自反性推得

当时，有

1.3 聚类分析

所谓聚类分析，就是用数学的方法对事物进行分类，它有广泛的实际应用。在模糊数学产生之前，聚类分析已是数理统计多元分析的一个分支，然而现实的分类问题往往伴有模糊性。例如，环境污染分类、春天连阴雨预报、临床症状资料分类、岩石分类，等等。对这些伴有模糊性的聚类问题，用模糊数学语言来表达更为自然。

模糊聚类分析的步骤：

第一步：数据标准化

数据矩阵

设论域为被分类的对象，每个对象由m个指标表示其性状，

即

于是得到原始数据矩阵为

数据标准化

在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲。为了使有不同的量纲的量也能进行比较，通常需要对数据作适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。

通常需要作如下集中变换。

1）平移标准差变换

2）平移极差变换

3）对数变换

第二步标定（建立模糊相似矩阵）

设为待分类的全体。其中每一待分类对象由一组数据表征如下：

现在的问题是如何建立和之间的相似关系。这有许多方法（这里选一些，列在下面），我们可以按照实际情况，选其中一种来求与的相似关系。

（1）形似系数法

数量积法

其中M为一适当选择之正数，满足

夹角余弦法

相关系数法

其中

最大最小法

算术平均最小法

几何平均最小法

绝对值指数法

绝对值减数法

其中，适当选取，使。

（2）距离法

1）直接距离法

海明距离

欧几里得距离

切比雪夫距离

2）倒数距离法

3）指数距离法

选择上述哪一个方法好，要按实际情况而定。在实际应用时，最好采用多种方法，选取分类最符合实际的结果。

第三步聚类（求动态聚类图）。

由第一步得到的矩阵一般只满足自反性和对称性，即是相似矩阵，需将它改造成模糊等价矩阵。为此，采用平方法求出的传递闭包，便是所求的模糊等价矩阵。通过便可对进行分类。

实际应用

具体问题如下：：地区生产总值(当年价格)(亿元)；：第一产业增加值；：第二产业增加值；：第三产业增加值；：地方财政一般预算收入；：工业企业数(个)；：工业总产值(当年价格)(万元)；：从业人员年平均人数(万人)；：流动资产年平均余额(万元) ；：主营业务收入(万元)：利润总额(万元)；：移动年末用户数(万户)；：国际互联网用户数(户)；：公路里程；：普通中学学生数(万人)；：医院、卫生院数(个)；：医生数(执业医师+执业助理医师)(个)。17项指标来描述省11各市区经济发展水平情况。现将11个不同经济发展水平的市区进行聚类。