2019-2020学年度最新北师大版高中数学必修五学案：第二章 1．2　余弦定理（一）　余弦定理(一)

学习目标　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

知识点一　余弦定理的推导

思考1　根据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C．①

试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？　

思考2　在c2＝a2＋b2－2abcos C中，abcos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？　

梳理　余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要．因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模．

另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理．

知识点二　余弦定理的呈现形式

1．a2＝__________________，b2＝____________________，c2＝____________.

2．cos ____＝；

cos ____＝；

cos ____＝.

知识点三　适宜用余弦定理解决的两类基本的解

三角形问题

思考1　观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？　

思考2　观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？

梳理　余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形．

类型一　余弦定理的证明

例1　已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.　

反思与感悟　所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要考察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方．

跟踪训练1　例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？

类型二　用余弦定理解三角形

命题角度1　已知两边及其夹角

例2　在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝34 cm，A＝41°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1 cm)

反思与感悟　已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角．

跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A.　

命题角度2　已知三边

例3　　在△ABC中，已知a＝134.6 cm，b＝87.8 cm，c＝161.7 cm，解三角形(角度精确到1′)．　

反思与感悟　已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A＝，cos B＝，cos C＝求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理．

跟踪训练3　在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长为(　　)

A．52 B．2 C．16 D．4

2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)

A. B. C. D.

3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于(　　)

A. B．1＋ C. D．2＋

1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

(1)已知两边和夹角，解三角形．

(2)已知三边求三角形的任意一角．

2．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．

(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．

(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．

(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　当a＝b＝c时，∠C＝60°，

a2＋b2－2abcos C＝c2＋c2－2c·ccos 60°＝c2，

即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcos C.

思考2　abcos C＝|C|·|C|cos ， ＝·.

∴a2＋b2－2abcos C

＝2＋2－2·

＝(－)2＝2

＝c2.

猜想得证．

知识点二

1．b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B　a2＋b2－2abcos C

2．A　B　C

知识点三

思考1　每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角．故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．

思考2　每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．

题型探究

例1　解　

如图，设C＝a，C＝b，

A＝c，

由A＝C－C，知c＝a－b，

则|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)

＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－

2|a||b|cos C.

所以c2＝a2＋b2－2abcos C.

跟踪训练1　解　

如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，

C(bcos A，bsin A)，

∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，

即a2＝b2＋c2－2bccos A.

同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，

c2＝a2＋b2－2abcos C.

例2　解　根据余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A＝602＋342－2×60×34×cos 41°≈1 676.78，

所以a≈41(cm)．

由正弦定理得，sin C＝≈≈0.544 0.

因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C≈33°，

所以B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.

跟踪训练2　解　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4，

所以c＝－.

由正弦定理，得sin A＝＝，

因为b>a，所以B>A，所以A为锐角，

所以A＝30°.

例3　　解　∵cos A＝＝

≈0.554 3，

∴A≈56°20′.

∵cos B＝

＝

≈0.839 8，

∴B≈32°53′.

∴C＝180°－(A＋B)≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.

跟踪训练3　解　因为a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，

所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．

c最大，cos C＝<0，

所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形．

当堂训练

1．B　2.B　3.D　4.B

2019-2020学年度最新北师大版高中数学必修五学案：第二章 1.2 余弦定理（一）