2015年贵州省贵阳市中考数学试卷

一、选择题（以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在《答题卡》上填涂正确选项的字母框，每小题3分，共30分）

1．计算：﹣3+4的结果等于（　　）

A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣1

2．如图，∠1的内错角是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5

3．今年5月份在贵阳召开了国际大数据产业博览会，据统计，到5月28日为止，来观展的人数已突破64000人次，64000这个数用科学记数法可表示为6.4×10n，则n的值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．如图，一个空心圆柱体，其左视图正确的是（　　）

A． B． C． D．

5．小红根据去年4～10月本班同学去孔学堂听中国传统文化讲座的人数，绘制了如图的折线统计图，图中统计数据的众数是（　　）

A．46 B．42 C．32 D．27

6．如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形的面积的比是（　　）

A．2：3 B．： C．4：9 D．8：27

7．王大伯为了估计他家鱼塘里有多少条鱼，从鱼塘里捞出150条鱼，将它们作上标记，然后放回鱼塘．经过一段时间后，再从中随机捕捞300条鱼，其中有标记的鱼有30条，请估计鱼塘里鱼的数量大约有（　　）

A．1500条 B．1600条 C．1700条 D．3000条

8．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　）

A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE

9．一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费．这两种收费方式的通话费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系如图．小红根据图像得出下列结论：

①l1描述的是无月租费的收费方式；

②l2描述的是有月租费的收费方式；

③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费方式省钱．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

10．已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（　　）

A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3

二、填空题（每小题4分，共20分）

11．方程组的解为　 　．

12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形ABCD的面积等于4，则⊙O的面积等于　 　．

13．分式化简的结果为　 　．

14．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是　 　．

15．小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是　 　．

三、解答题

16．（此题满分8分）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x2（1﹣x）+x3，其中x=2．

17．（此题满分10分）近年来，随着创建“生态文明城市”活动的开展，我市的社会知名度越来越高，吸引了很多外地游客，某旅行社对5月份本社接待外地游客来我市各景点旅游的人数作了一次抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表：

游客人数统计表

（1）此次共调查　 　人，并补全条形统计图；

（2）由上表提供的数据可以制成扇形统计图，求“南江大峡谷”所对的圆心角的度数；

（3）该旅行社预计7月份接待来我市的游客有2500人，根据以上信息，请你估计去黔灵山公园的游客大约有多少人？

18．（此题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．

（1）证明：四边形ADCE是菱形.

（2）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）

19．（此题满分10分）在“阳光体育”活动时间，小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．

（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中小丽同学的概率；

（2）用画树状图或列表的方法，求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率．

20．（此题满分10分）小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20 m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m）

（1）求小华此时与地面的垂直距离CD的值；

（2）小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．

21．（此题满分8分）某校为了增强学生对中华优秀传统文化的理解，决定购买一批相关的书籍．据了解，经典著作的单价比传说故事的单价多8元，用12000元购买经典著作与用8000元购买传说故事的本数相同，这两类书籍的单价各是多少元？

22．（此题满分10分）如图，一次函数y=x+m的图像与反比例函数y=的图像相交于A（2，1），B两点．

（1）求出反比例函数与一次函数的表达式；

（2）请直接写出B点的坐标，并指出使反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围．

23．（此题满分10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．

（1）求AC的长度；

（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）

24．（此题满分12分）如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．

（1）a　 　0，b2﹣4ac　 　0（填“＞”或“＜”）.

（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式.

（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（此题满分12分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．

（1）求MP的值.

（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？

（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）

2015年贵州省贵阳市中考数学试卷

参考答案与解析

一、1．C 解析：﹣3+4=1．故选C．

2．D 解析：根据内错角的定义，∠1的内错角是∠5．故选D．

点评：此题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

3．B 解析：将64000用科学记数法表示为6.4×104．故n=4．故选B．

点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．B 解析：一个空心圆柱体，其左视图为．故选B．

点评：此题考查简单组合体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．

5．C 解析：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32．故选C．

点评：此题为统计题，考查众数的意义，解题的关键是通过仔细的观察找到出现次数最多的数．

6．C 解析：两个相似三角形的面积的比是（2：3）2=4：9．故选C．

点评：此题考查对相似三角形的性质的理解．

（1）相似三角形的周长的比等于相似比；

（2）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；

（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

7．A 解析：150÷（30÷300）=1500（条）．故选A．

点评：此题考查的是通过样本去估计总体，得出作标记的所占的比例是解答此题的关键．

8．B 解析：当∠D=∠B时，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS）．故选B．

9．D 解析：①l1描述的是无月租费的收费方式，说法正确；②l2描述的是有月租费的收费方式，说法正确；③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费方式省钱，说法正确．故选D．

10．B 解析：当x=2时，y=﹣4+4+3=3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∴当x≥2时，y的取值范围是y≤3.故选B．

二、11． 解析：．把②代入①，得x+2=12，∴x=10，∴．

点评：此题考查了解二元一次方程组，有加减法和代入法两种，根据y的系数互为相反数确定选用加减法解二元一次方程组是解题的关键．

12．2π 解析：因为正方形的边长AB为2，所以⊙O的半径是2×=，所以⊙O的面积是（）2π=2π．

点评：此题考查了正多边形的计算，根据正方形的面积求得半径是关键．　

13． 解析：==．

点评：此题考查了约分的知识，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫作分式的约分．

14． 解析：因为直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，所以小正方形的边长为1．根据勾股定理，得大正方形的边长为．所以针扎到小正方形（阴影）区域的概率是 =．

点评：此题将概率的求解设置于“赵爽弦图”的游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点：概率=相应的面积与总面积之比．易错点是得到两个正方形的边长．

15． 解析：如图，当圆心O移动到点P的位置时，光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切，切点为Q．∵ON⊥AB，PQ⊥AB，∴ON∥PQ．∵ON=PQ，∠NHO=∠PHQ，∴△ONH≌△PQH，∴OH=PH．在Rt△PHQ中，∠P=∠A=30°，PQ=1，∴PH=，则OP=．

点评：此题考查的是直线与圆相切的知识，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．

三、16．解：原式=x2﹣1+x2﹣x3+x3

=2x2﹣1．

当x=2时，原式=2×22﹣1=7．

17．解：（1）400．

补全条形统计图，如图．

（2）360°×21%=75.6°．

（3）2500×=725（人）.

答：去黔灵山公园的游客大约有725人．

点评：此题考查了条形统计图，用样本估计总体以及频数（率）分布表．读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．

18．（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，

∴四边形ADCE是平行四边形．

又∵在Rt△ABC中，D是AB的中点，

∴CD=AB=BD=AD，

∴四边形ADCE是菱形．

（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图，则DF为菱形ADCE的高．

∵∠B=60°，CD=BD，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6．

∵CE∥AB，

∴∠DCE=∠BDC=60°．

又∵CD=BC=6，

∴在Rt△CDF中，DF=CDsin60°=6×=3．

点评：此题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角函数；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．

19．解：（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，共有3种情况，

而选中小丽的情况只有1种，所以P（恰好选中小丽进行比赛）=．

（2）列表如下：

所有可能出现的情况有12种，其中恰好选中小敏、小洁两位同学组合的情况有两种，所以P（恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛）==．

点评：此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；画树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．解：（1）在Rt△BCD中，∵∠CBD=15°，BD=20，

∴CD=BD•sin15°，

∴CD≈5.2（m）．

答：小华与地面的垂直距离CD的值是5.2．

（2）在Rt△AFE中，∵∠AEF=45°，

∴AF=EF=BC．

由（1）知，BC=BD•cos15°≈19.3（m），

∴AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1（m）．

答：楼房AB的高度是26.1m．

点评：此题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及了仰俯角和坡度角的问题，解题的关键是构造直角三角形．

21．解：设传说故事的单价为x元/本，则经典著作的单价为（x+8）元/本．

由题意，得，

解得x=16．

经检验，x=16是原方程的解．

所以x+8=24．

答：传说故事的单价为16元/本，经典著作的单价为24元/本．

点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意：解分式方程不要忘记检验．

22．解：（1）将A（2，1）代入y=，得k=2×1=2，

∴反比例函数的表达式为y=．

将A（2，1）代入y=x+m，得2+m=1，

∴m=﹣1，

∴一次函数的表达式为y=x﹣1．

（2）B（﹣1，﹣2）．

当x＜﹣1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，是一道综合题目，解题过程中注意数形结合的应用，是中档题，难度不大．

23．解：（1）∵OF⊥AB，

∴∠BOF=90°．

∵∠B=30°，FO=2，

∴OB=OF•tan60°=2=6，AB=2OB=12．

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC=AB=6．

（2）∵由（1）可知，AB=12，

∴AO=6，即AC=AO．

在Rt△ACF和Rt△AOF中，

，

∴Rt△ACF≌Rt△AOF．

∴∠FAO=∠FAC=30°．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠D=∠B=30°，

∴∠DOB=∠OAD+∠D=60°．

如图，过点D作DG⊥AB于点G．

∵OD=6，∴DG=3，

∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，

即阴影部分的面积是9．

点评：此题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形的应用，能求出△AOD的面积=阴影部分的面积是解此题的关键．

24．解：（1）＞ ＞．

（2）∵该抛物线的对称轴是直线x=2，且与x轴相交于点A（﹣2，0），

∴B（6，0）．

∵点C（0，﹣4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，

得a=，b=﹣，c=﹣4．

∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣x﹣4．

（3）存在．理由如下：

（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，

过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1，

则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形．

∵抛物线y=x2﹣x﹣4关于直线x=2对称，

∴E点的横坐标为4．

又∵OC=4，

∴E的纵坐标为﹣4，

∴点E（4，﹣4）．

（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是

平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，如图，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形．

∴AC=E′F′，AC∥E′F′．

如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，∴∠CAO=∠E′F′G．

又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，

∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4．

∴4=x2﹣x﹣4，

解得x1=2+2，x2=2﹣2，

∴点E′的坐标为（2+2，4），同理可得点E″的坐标为（2﹣2，4）．

综合可知，存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，其坐标为（4，﹣4）或（2+2，4）或（2﹣2，4）．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识：待定系数法确定抛物线的解析式，平行四边形的性质以及二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解此题的关键．

25．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴CD=AB=4，∠D=90°．

∵将矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，

∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，

∴MP==5．

（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则此时△MEF的周长最小．过点E作EN⊥AD，垂足为N．

∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，

∴AM=AM′=4．

∵将矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，

∴∠CEP=∠MEP．

∵BC∥AD，

∴∠CEP=∠MPE．

∴∠MEP=∠MPE，

∴ME=MP=5．

在Rt△ENM中，MN===3，

∴NM′=11．

∵AF∥NE，

∴△AFM′∽△NEM′，

∴=，即=，解得AF=，

即当AF=时，△MEF的周长最小．

（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q．

∵ER=GQ，ER∥GQ，

∴四边形ERGQ是平行四边形，

∴QE=GR．

∵GM=GM′，

∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小．

在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，

M′R==5．

∵ME=5，GQ=2，

∴四边形MEQG的最小周长值是7+5．

点评：此题考查了几何变换综合题：熟练掌握折叠的性质和矩形的性质；会利用轴对称解决最短路径问题；会运用相似比和勾股定理计算线段的长．　

2015年贵州省贵阳市中考数学试卷 含答案