2019年烟台市初中学生学业考试数学试题

{题型:1-选择题}一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C,D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．

{题目}1. （2009年烟台T1）－8的立方根是

A.2 B.－2 C.±2 D.－21068cbe0b7d73d7bf8ac55b9d58fbb2c.png

{答案}B

{}本题考查了立方根的定义，∵-2的立方等于-8，∴-8的立方根是-2.

因此本题选B．

{分值}3

{章节:[1-6-2]立方根}

{考点:立方根}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}2. （2009年烟台T2）下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A． B． C． D．

{答案} C

{}本题考查了中心对称与轴对称图形，A是中心对称图形，B是轴对称图形，C既是轴对称图形又是中心对称图形，D是轴对称图形，综上选C.

{分值}3

{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}

{考点:中心对称图形}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}3. （2009年烟台T3）如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是

A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图

C．左视图和俯视图 D．主视图、左视图、俯视图

word/media/image2_1.png

{答案}A

{}本题考查了三视图的判断，三视图没有发生变化的是主视图和左视图，发生变化的是俯视图，故选A．．

{分值}3

{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:简单组合体的三视图}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}4．（2009年烟台T4）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为

A．914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.png B．df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png C．2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png D．无法确定

word/media/image3_1.png

{答案}B

{}本题考查了概率的计算，正六边形的性质，由正六边形的性质知，白色区域的面积是整个正六边形面积的1/2，∴飞镖落在白色区域的概率为1/2． 因此本题选B．

{分值}3

{章节:[1-25-1-2]概率}

{考点:几何概率}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}5． （2009年烟台T5）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），已知1纳秒＝0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为

A．1.5×10－9秒 B．15×10－9秒 C．1.5×10－8秒 D．15×10－8秒

{答案}C

{}本题考查了科学记数法，15×0．000 000 001=1．5×word/media/image4_1.png，因此本题选C．

{分值}3

{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}

{考点:将一个绝对值较小的数科学计数法}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}6． （2009年烟台T6）当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

{答案}A

{}本题考查了根的判别式，Δ=b2+12c=b2+12×（5-b）=b2+60-12b

=b2-12b+36+24=（b-6）2+24>0． ∴方程有两个不相等的实数根，因此本题选A．

{分值}3

{章节:[1-21-2-2]公式法}

{考点:根的判别式}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}7．（2009年烟台T7）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计，由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均成绩为90分，方差为s2＝41． 后来小亮进行了补测，成绩为90分．关于该班40人的测试成绩，下列说法中确的是

A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小

C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变

{答案}B

{}本题考查了统计量的意义与计算，由平均数和方差的计算公式知平均分不变，方差变小． 因此本题选B．

{分值}3

{章节:[1-20-2-1]方差}

{考点:方差}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}8．（2009年烟台T8）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA、OB于点M、N，分别以点M、N为圆心，以大于df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngMN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为

A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°

{答案}D

{}本题考查了尺规作图，由作图纸OP为∠AOB的角平分线，又OC可能在OP的两侧，由此可判断选D．

{分值}3

{章节:[1-12-3]角的平分线的性质}

{考点:与角平分线有关的作图问题}

{类别:尺规作图}

{难度:2-简单}

{题目}9．（2009年烟台T9）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”．

(a＋b)0＝1

(a＋b)1＝a＋b

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

(a＋b)3＝a3＋2a2b＋2ab2＋b3

(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4

(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5

……

则(a＋b)9展开式中所有项的系数和是

A．128 B．256 C．512 D．1024

{答案}C

{}本题考查了阅读理解能力，取a=1，b=1，则可以计算word/media/image6_1.png展开式中所有项的系数和是word/media/image7_1.png=512．，因此本题选C．

{分值}3

{章节:[1-14-2]乘法公式}

{考点:完全平方公式}

{类别:思想方法}{类别:数学文化}

{难度:3-中等难度}

{题目}10． （2009年烟台T10）如图，面积为24的□ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6． 则sin∠DCE的值为

A．68b4d29a0fa1b20cb0db10a379b4d81c.png B．328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png C．265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png D．5c198ee10b4176ae424a387a5b4ca111.png

word/media/image9.gif

{答案}A

{}本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，．

如图，连接AC交BD于点O，过点D作DF⊥BE于点F．

word/media/image10.gif

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD． ∴∠ADB=∠CBD．

∴∠ABD=∠ADB． ∴AB=AD． ∴□ABCD是菱形．

∴AO垂直平分BD．

∵DE⊥BD，∴OC∥DE．

∴OC=word/media/image11_1.pngDE=word/media/image12_1.png×6=3．

∵菱形ABCD的面积为24，∴BD=8． ∴BO=4． ∴BC=DC=5．

∵DF·BC=24，∴DF=word/media/image13_1.png． ∴sin∠DCE=word/media/image14_1.png=68b4d29a0fa1b20cb0db10a379b4d81c.png． 故选A．

{分值}3

{章节:[1-28-3]锐角三角函数}

{考点:正弦}

{类别:思想方法}{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}11．（2009年烟台T11）已如二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表:

下则结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2)、B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2．其中正确的个数是

A．2 B．3 C．4 D．5

{答案}B

{}本题考查了二次函数的图象与性质．

由题意，画草图如图所示．

由草图可以判断①②④正确，③错误，对于⑤，当A位于抛物线对称轴的右侧，B位于左侧时，x1>x2，由此可判断⑤错误． 故选B．

{分值}3

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}

{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}

{类别:思想方法} {类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}12．（2009年烟台T12）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC． 若AD＝93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png，CE＝3，则word/media/image16_1.png的长为

A．d9ea467160ff4f0242c2ac1955b93697.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png B．2d3c38dc88581b8d4ec4536c8a1a151b.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.pngπ C．2d3c38dc88581b8d4ec4536c8a1a151b.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.pngπ D．d9ea467160ff4f0242c2ac1955b93697.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.pngπ

word/media/image17.gif

{答案}D

{}本题考查了，切线的性质，相似的性质．

如图，连接OC，过点A作AF⊥BE于F．

word/media/image18.gifword/media/image17.gif

∵直线DE与⊙O相切，∴OC⊥DE．

∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴AD∥OC∥BE．

∵∵AB是直径，∴∠acb=90°． ∴∠acd+∠bce=90°．

∵∠d=∠e=90°，∴∠dac+∠acd=90°．

∴∠dac=∠bce． ∴，△adc∽△ceb．

∴word/media/image19_1.png，即word/media/image20_1.png． ①

∵word/media/image21_1.png，即word/media/image22_1.png． ②

又AD+BE=2OC=2r． ③

由①②③得DC=3，BE=word/media/image23_1.png，r=2word/media/image24_1.png．

由勾股定理，得AC= r=2word/media/image24_1.png．∴∠AOC=60°．

∴word/media/image16_1.png=word/media/image25_1.png=d9ea467160ff4f0242c2ac1955b93697.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.pngπ． 故选D．

{分值}3

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}

{考点:切线的性质}

{考点:圆与相似的综合}

{考点:几何选择压轴}

{类别:思想方法}{类别:常考题}

{难度:4-较高难度}

{题型:2-填空题}二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）

{题目}13． （2009年烟台T13）│－6│×2－1－0f81c24df251ea00455b5b89c6bac709.pngcos45°＝____________

{答案}2

{}本题考查了实数的计算，

│－6│×2－1－0f81c24df251ea00455b5b89c6bac709.pngcos45°=6×word/media/image26_1.png﹣word/media/image27_1.png=3﹣1=2． 故填2．

{分值}3

{章节:[1-28-2-1]特殊角}

{考点:简单的实数运算}

{考点:特殊角的三角函数值}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}14． （2009年烟台T14）若关于x的分式方程aca14686f85a8aef7093fa3cb221791a.png－1＝c706e41d0567a86b840caa21afa47a08.png有增根，则m的值为____________

{答案}3

{}本题考查了分式方程的增根的有关计算．

aca14686f85a8aef7093fa3cb221791a.png－1＝c706e41d0567a86b840caa21afa47a08.png，

去分母，得3x﹣(x﹣2)=m+3，∴m=2x﹣1．

∵原分式方程有增根，∴x﹣2=0，∴x=2．

∴m=2x﹣1=2×2﹣1=3． 故填3．

{分值}3

{章节:[1-15-3]分式方程}

{考点: 分式方程的增根}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}15． （2009年烟台T15）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（－2，－1），B（－2，－3），O（0，0）．△A1B1O1的顶点全标分别为A1（1，一1），B1（1，－5），O1（5，1）．△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为____________

word/media/image28_1.png

{答案}（﹣5，﹣1）

{}本题考查了平面直角坐标系中的位似变换．

法一：借助网格．任意两对应点连线的交点为（﹣5，﹣1）．

法二：设点P坐标为（x，y）．

∵直线AA1平行于x轴，∴y= ﹣1．

又∵AB平行于A1B1，∴PA：PA1=AB：A1B1=2:4=1:2．

∴PA=3． ∴x= ﹣3﹣2= ﹣5． 即P点坐标为（﹣5，﹣1）． 故填（﹣5，﹣1）．

{章节:[1-27-2-1]位似}

{考点:坐标系中的位似}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}16． （2009年烟台T16）如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P（m，3)，则关于x的不等式x＋2≤ax＋c的解为____________

word/media/image29_1.png

{答案} xword/media/image30_1.png1

{}本题考查了一次函数与方程、不等式的关系．

把点P（m，3）代入y=x+2，得3=m+2，∴m=1．

∴点P坐标为（1，3）．

由图象可知，当x＜1时，y=ax+c的图象在y=x+2的上方，∴x＋2≤ax＋c的解为xword/media/image30_1.png1．

{分值}3

{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}

{考点:一次函数与一元一次不等式}

{类别:思想方法}{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}17． （2009年烟台T17）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是____________

{答案}45º

{}本题考查了轴对称的性质，折叠．

由折叠可知，word/media/image32_1.pngAOB=2×word/media/image33_1.png=45º．

{分值}3

{章节:[1-13-1-1]轴对称}

{考点:轴对称的性质}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}18． （2009年烟台T18）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作狐，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已如⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为__________

word/media/image34_1.png

{答案}word/media/image35_1.png﹣2word/media/image36_1.png

{}本题考查了与扇形有关的阴影部分面积的计算．

令⊙O得半径为r，过点O作ODword/media/image37_1.pngAB于D,连接OB，

则OB=2r，BD=word/media/image38_1.pngr=word/media/image39_1.pngAB=1，∴r=word/media/image40_1.png．

由题意，可知扇形ABC的面积=word/media/image41_1.png，△ABC的面积=word/media/image42_1.png=word/media/image43_1.png．

⊙O面积=word/media/image44_1.pngr2=word/media/image45_1.png．

∴阴影部分面积=3×扇形ABC的面积﹣2×△ABC的面积﹣⊙O面积

=3×word/media/image46_1.png﹣2word/media/image47_1.png﹣word/media/image45_1.png=word/media/image35_1.png﹣2word/media/image36_1.png．

word/media/image48.gif

{分值}3

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}

{考点:扇形的面积}

{类别:思想方法}{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）

{题目}19．（2009年烟台T19）先化简：（x＋3－c388c4ec6fdc74338500cf2d06c64efe.png）÷2510922b3568d1dfd270b7e853287465.png，再从0≤x≤4选一个适合的整数代入求值．

{}本题考查了分式的化简求值. 先化简分式，再代值计算，代值时注意不能取使分母为0的值.

{答案}解：x＋3－c388c4ec6fdc74338500cf2d06c64efe.png）÷2510922b3568d1dfd270b7e853287465.png

=word/media/image49_1.png

=word/media/image50_1.png=word/media/image51_1.png．

由于x≠0，3，4，所以x只能取1或2．

当x=1时，原式=word/media/image52_1.png．

当x=2时，原式=word/media/image53_1.png．

{分值}6

{章节:[1-15-2-2]分式的加减}

{考点:分式的混合运算}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}20．（本题满分8分T20）

（2009年烟台）十八大以来，某校已举办五届校园艺术节，为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”、“民乐演奏”，“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目，小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．

word/media/image54_1.pngword/media/image55_1.png

（1）五届艺术节共有_______个班级表演这些节目，班数的中位数为________，在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为___________

（2）补全折线统计图；

（3）第六届艺术节，某班决定从这四种艺术形式中任选两项表演（“经典诵读”、“民乐演奏”，“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用A，B，C，D表示），利用树状图或表格求出该班选择A和D两项的概率．

{}本题考查了统计与概率的综合应用.

（1）由图象，前三届的总班级数，对应的总百分比数可求，从而可求五届艺术节共有的班级数. 分别求出五届班级数，即可据中位数的意义求得中位数. 利用第四届班级数的百分比可求其扇形圆心角的度数.

（2）据第四届，第五届班级数可补全折线统计图.

（3）这相当于不放回的两步试验概型，通过列表格或画树状图即可求解.

{答案}解：（1）40，7，81°．

（提示：第五届所占的百分比为word/media/image56_1.png=32．5%，总人数为：word/media/image57_1.png=40．

五届人数分别为：5，7，6，9，13，因此中位数为7．

第四届班级数的扇形圆心角的度数为22．5%×360°=81°．

（2）第四届，第五届人数分别是9，13，补全折线统计图略．

（3）列表格如下：

由表格知，共有12种结果，其中选择A和D两项的有2种结果，

因此该班选择A和D两项的概率=word/media/image58_1.png=word/media/image59_1.png．

{分值}8

{章节:[1-25-2]用列举法求概率}

{考点:统计的应用问题}

{考点:中位数}

{考点:两步事件不放回}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}21．（2009年烟台T21）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．

（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？

（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？

{}本题考查了一元一次方程及二元一次方程（组）的应用问题．

（1）本题中的等量关系为：36×36座新能源客车辆数+2=学生总数，22×（36座新能源客车辆数+4）-2=学生总数，据此可列方程（组）求出第一小题的解；（2）设租用36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，依题意得36m+22n＝218，再讨论出符合条件的整数解即可得到答案．

{答案}解：（1）设计划调配36座新能源客车x辆，根据题意，得

36x＋2=22 (x+4)－2,

解得 x＝6．

此时36x＋2=218．

答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．

（2）设租用36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，依题意得

36m+22n＝218，即18m+11n＝109，

其正整数解为m=3， n=5．

故租用36座新能源客车3辆，22座新能源客车5辆，既保证每人有座，又保证每车不空座．

{分值}9

{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组}

{考点:一元一次方程的应用（其他问题）}

{考点:二元一次方程的解}

{考点:二元一次方程组的应用}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}22．（2009年烟台T22）如图，在矩形ABCD中，CD＝2，AD＝4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点．O为AC上一点，⊙O经过点A，P．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）在边CB上截取CF＝CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．

word/media/image60_1.png

{}本题考查了翻折变换、矩形的性质、切线的判定、勾股定理及黄金分割．

（1）BC过⊙O上一点P，若证BC是⊙O的切线，连接OP，只要证明BC与OP垂直即可；（2）若说明点F是否是线段BC的黄金分割点，只需求出CF2与BF•BC，看它们是否相等即可．

{答案}解：（1）证明：如图，连接OP，则OA=OP，∴∠OAP=∠OPA．

由折叠知∠BAP=∠OAP，∴∠OPA=∠BAP． ∴AB∥OP．

又∵AB⊥BC，∴OP⊥BC．

∴BC是⊙O的切线．

（2）点F是线段BC的黄金分割点，理由如下：

在矩形ABCD中，∵AB=CD＝2，BC=AD＝4，

∴AC=word/media/image61_1.png．

又∵AE=AB＝2，∴CE=CF＝word/media/image62_1.png－2．

∴BF=BC－CF=6－word/media/image62_1.png．

∵CF2=（word/media/image62_1.png－2）2=24－word/media/image63_1.png，

BF•BC=4（6－word/media/image62_1.png）=24－word/media/image63_1.png，

∴CF2=BF•BC．

∴点F是线段BC的黄金分割点．

{分值}9

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}

{考点:切线的判定}

{考点:圆的其它综合题}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}23．（2009年烟台T23）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N．当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康．现测得OP的长为12 cm，OM为10 cm，支柱PQ为8 cm．

（1）当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求∠AOB的度数；

（2）当支柱的端点Q放在卡孔N处时，∠AOB＝20．5°，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．（结果精确到十分位）

（参考数据表）

{}本题考查解直角三角形及其应用．

（1）过点P作PC⊥OA于点C，设OC＝x，然后根据勾股定理求出x的值，再根据三角函数即可求出∠AOB的度数；（2）若求相邻两个卡孔的距离，只要求出MN的长即可，故求ON的长是解此题的关键．

{答案}解：解：（1）如图，过P作PC⊥OM于C，设OC＝x，则CM=10－ x，

由勾股定理，得122－ x2=82－（10－ x）2，

解得x=9．

在Rt△POC中，cos∠POC=word/media/image75_1.png

∴∠POC≈41°，

即∠AOB的度数约为41°．

（2）如图，过P作PD⊥ON于D，则sin∠PON=word/media/image76_1.png,

即sin20．5°=word/media/image78_1.png,

∴PD≈12×0．35=4．2．

在Rt△PDN中，ND=word/media/image79_1.png．

在Rt△POD中，OD=OP·cosO = OP·cos20．5°≈12×0．937

≈11．24．

∴ON=OD+ND≈6．8+11．24=18．04,

∴相邻两个卡孔的距离为：（ON－OM）÷5=（18．04－10）÷5≈1．6（cm）．

{分值}10

{章节:[1-28-2-3]解直角三角形及其应用}

{考点:计算器－三角函数}

{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}24．（本题满分11分T24）（2009年烟台）【问题探究】

（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．

①请探究AD与BD之间的位置关系：________；

②若AC＝BC＝word/media/image80_1.png，DC＝CE＝word/media/image81_1.png，则线段AD的长为________；

【拓展延伸】

（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝word/media/image82_1.png，BC＝word/media/image83_1.png，CD＝word/media/image84_1.png，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．

word/media/image85_1.pngword/media/image86_1.png

{}本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定及性质及相似三角形的判定及性质．

（1）①由题意，可得△ACD≌△BCE，所以∠ADC=45°，从而∠ADE=90°，即AD⊥BE；②将相关量集中到Rt△ADB中，设未知数利用勾股定理列方程可求解.

（2）类比（1）即可解决. 注意当点B，D，E在同一直线上时，有两种情形，要分情况求解.

{答案}解：解：（1）①垂直 ②4．

提示：由题意，可得△ACD≌△BCE，，所以∠ADC=45°，从而∠ADE=90°，即AD⊥BE．

②由AC＝BC＝word/media/image80_1.png，DC＝CE＝word/media/image81_1.png，得AB=word/media/image62_1.png,DE=2．

在Rt△ADB中，设AD=x，则由勾股定理得word/media/image87_1.png．

解得x=4． （负值舍去)． ∴AD=4．

（2）①如图：

word/media/image88.gifword/media/image89.gif

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝word/media/image82_1.png，BC＝word/media/image83_1.png，CD＝word/media/image84_1.png，CE＝1，

∴AB=2word/media/image83_1.png,DE=2,∠ACD＝∠BCE, word/media/image90_1.png．

∴△ACD∽△BCE．

∴∠ADC＝∠E，word/media/image91_1.png．

又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE =90°，即∠ADE=90°．

∴AD⊥BE．

设BE=x，则AD=word/media/image92_1.pngx．

在Rt△ABD中，word/media/image93_1.png，即word/media/image94_1.png．

解得x=3（负值舍去）．

∴AD=word/media/image95_1.png．

②如图，

word/media/image97.gif

同①设BE=x，则AD=word/media/image92_1.pngx．

在Rt△ABD中，word/media/image93_1.png，即word/media/image98_1.png．

解得x=2（负值舍去）．

∴AD=word/media/image99_1.png．

综上可得，线段AD的长为word/media/image100_1.png

{分值}11

{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}

{考点:几何综合}

{类别:思想方法}{类别:常考题}

{难度:4-较高难度}

{题目}25．（2009年烟台T25）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A（－1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E．双曲线y＝word/media/image101_1.png（x＞0）经过点D，连接MD，BD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；

（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）

word/media/image102_1.pngword/media/image103_1.png

{}本题考查了二次函数与几何图形的综合应用.

（1）由题意知 D点的纵坐标为3，将其代入反比例函数式可求得D点坐标，从而可利用待定系数法求抛物线的表达式.

（2）设M关于y轴的对称点为M′，D点关于x轴对称点为D′，则线段M′D′的长即为以M，D，N，F为顶点的四边形的周长最小值，从而此题可解.

（3）过B、D两点的圆，当圆与y轴相切时，切点即为点P.

{答案}解：（1）由题意知C的坐标为（0，3），则D点的纵坐标为3．

把y=3代入y＝word/media/image101_1.png，得x=2． ∴D 的坐标为（2，3）．

把A（－1，0），D（2，3）的坐标代入y＝ax2＋bx＋3，得

word/media/image104_1.png 解得word/media/image105_1.png

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3．

（2）y＝－x2＋2x＋3=word/media/image106_1.png．∴顶点M的坐标为（1，4）．

设M关于y轴的对称点为M′，则M′的坐标为（－1，4）．

同理D点关于x轴对称点的坐标D′的坐标为（2，－3）．

设直线M′D′为y=kx+b，则word/media/image107_1.png 解得word/media/image108_1.png

∴直线M′D′的表达式为y=word/media/image109_1.pngx+word/media/image110_1.png．

直线M′D′交x轴于点（word/media/image111_1.png，0），交y轴于点（0，word/media/image112_1.png）．

∴当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，点N的坐标为（（word/media/image111_1.png，0），F的坐标（0，word/media/image112_1.png）．

（3）（3）t=word/media/image113_1.png．

（：过B、D两点的圆，当圆与y轴相切时，切点即为点P．

设圆心的坐标为（a，b），则由勾股定理定理，得

word/media/image114_1.png

解得word/media/image115_1.png（由题意，取较小值）．

所以当t=word/media/image113_1.png时，∠BPD的度数最大．

{分值}13

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}

{考点:二次函数与圆的综合}

{考点:其他二次函数综合题}

{考点:代数综合}

{类别:思想方法}

{类别:高度原创}

{难度:5-高难度}

2019年山东烟台中考数学试题含详解