自主招生专题——函数迭代与不动点问题
作者：凌明灿
来源：《中学数学杂志(高中版)》2013年第04期

        函数迭代是函数的重要分支，其理论与方法在计算数学等领域中有广泛的应用，各高校在自主招生中有一定的考查不动点则是函数迭代的一个美妙性质，如精灵般活跃在迭代问题中，往往起到“四两拨千斤”的功效自主招生考试中，函数迭代中的不变性质与常系数分式递推关系尤为热门，这两类问题常常与不动点结合，不乏活泼美妙的考题，值得我们注意.

        1函数迭代中的不变性质

        例1（28年上海交大）已知函数f（x=ax2+bx+c（a≠，且f（x=x没有实数根问：f（f（x=x是否有实数根？并证明你的结论.

        解法1判别式验证

        有实数根，矛盾.

        解法不等关系迭代

        （1）求证：MN；

        （2）f（x为单调递增函数时，是否有M=N？并证明.

        （令f（x=2+x，则原方程为x=f4（xx=f（x的解为x=2，利用例2证其唯一性.

        2分式线性递推关系

        如果递归数列{an}满足an+1=aan+bcan+d，其中c≠，ad-bc≠以及初始值a1≠f（a1，则称此数列为分式线性递推数列；称方程x=ax+bcx+d的根为该数列的不动点.

        定理1如果特征方程x=ax+bcx+d有两个不等的根α，β，则xn+1=axn+bcxn+d可以变形为xn+1-αxn+1-β

        评例和练习4若清楚分式线性递推关系，求出对应的通项，则问题迎刃而解

        （简解若an的周期为2（an+1≠an），则an-αan-β是周期为2的等比数列，公比为-1又α，β为特征方程x=ax+bcx+d两个不等的根，

        作者简介凌明灿（199—），男，广东高州人，在读研究生研究方向为竞赛数学，初等数学

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