第1章 复数与复变函数

1、复数几种表示

（1）代数表示

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数、点、向量视为同一概念）

（3）三角式：

（4）指数式 ：

辐角

2、乘幂与方根

（1）乘幂： ，

（2）方根：

第2章 解析函数

1、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数

求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

注：（1）点解析点可导， 点可导推不出点解析

（2）区域内解析与可导等价

2、定理1 在可导在可微，满足C-R方程

定理2 在区域D内解析（可导）

在区域D内可微，满足C-R方程

讨论1 在区域D内4个偏导数存在且连续，满足C-R方程

在区域D内解析（可导）

3、解析函数和调和函数的关系

1、定义1 调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。

定义2 设是区域D内调和函数，且满足C-R方程，

，则称是的共轭调和函数。

2、定理1 解析函数的虚部与实部都是调和函数。

定理2 函数在D内解析虚部是实部的共轭调和函数。

3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部）

理论依据：

（1）虚部、实部是调和函数。

（2）实部与虚部满足C-R方程。

求解方法：（例如已知）

（1）偏积分法：先求，再求，得出

（2）利用曲线积分：求，再

（3）直接凑全微分：求，再

4、初等函数

1、指数函数

性质：（1）是单值函数，

（2）除无穷远点外处处有定义

（3）

（4）处处解析，

（5）

（6）是周期函数，周期是

2、对数函数 （多值函数）

主值（枝） （单值函数）

性质：（1）定义域是，

（2）多值函数

（3）除去原点和负实轴的平面内连续

（4）除去原点和负实轴的平面内解析，，，

（5）

3、幂函数是复常数）

（1）为正整数，函数单值、处处解析，

（2）为负整数，函数单值、除去及其负实轴处处解析，

4、三角函数

欧拉公式

或

定义：

性质：周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样

各种三角公式、求导公式照搬

注：的有界性 保护成立。

第3章 复变函数的积分

1、复积分

（c的正向为逆时针方向）

计算方法：

（1）第二类曲线积分计算

（2）化为普通定积分

重要结果：

（n为任意整数）

二、柯西积分定理

定理1（柯西积分定理） 设在单连通区域D内解析，C为D内任意一条简单闭曲线，则 。

注：条件变为在单连通区域D内解析，在D的边界C上连续，结论成立，即 。

定理2 设在单连通区域D内解析，则积分与路径无关。

记积分为 ，或

原函数定义

结论：是的原函数。

（条件：是解析函数）

定理3 （闭路变形原理）（柯西积分定理推广到多连通区域）

是两条简单闭曲线，在内部，在所围区域D内解析，在上连续，则

注：定理3说明：区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内的连续变动而改变它的值。

3、柯西积分公式

定理1 （柯西积分公式）在简单闭曲线C上连续，C的内部解析（即单连通区域D内解析），是C的内部一点，则

注：（1）D为多连通区域时，公式仍 成立。

（2）提供了计算积分的一种方法。

推论1 （平均值公式）设在内解析，在上连续，则

定理2 （最大模原理）设在区域D内解析，又不是常数，则在D内没有最大值。

推论1 区域D内的解析函数，若其模在D内一点达到最大值，则此函数被常数。（定理2的逆否命题）

4、解析函数的高阶导数

定理1 （解析函数的高阶导数）设在简单闭曲线C所围的单连通区域D内解析，在C上连续，则的各阶导数均在D内解析，且对D内有

，或

注：由柯西积分公式求导即得。

第4章 解析函数的级数表示

1、数项级数，其中

定理 收敛的必要条件是

定理 收敛 与 均收敛

定理 收敛 收敛，称为绝对收敛

发散，收敛，称为条件收敛

2、幂级数

收敛半径 则

收敛圆

3、函数展开成泰勒级数（幂级数）

公式：1、，

2、，

3、，

，

4、对数函数，反三角函数求导数

4、洛朗级数 （函数在环域内展开）

第五章 留数

1、孤立奇点（函数在不解析，在的去心邻域内解析）

分类：1、可去奇点（洛朗级数中没有负幂项）

判定（1）洛朗级数，（2）存在

2、极点（洛朗级数中有有限负幂项）

判定（1）洛朗级数，

（2）

极点阶数判定：

（1）洛朗级数

（2），在解析，，则是的m阶极点。

（3）零点与极点关系

（4），是分子的n阶零点，是分母的m阶零点，

m>n时，是函数的m-n阶极点，否则，是可去奇点。

3、本性奇点（洛朗级数中有无限负幂项）

判定 （1）洛朗级数，

（2）不存在，也不是无穷。

2、m阶零点

法1

法2 函数在展开成幂级数

3、留数 ，是洛朗级数中系数。

留数计算：

可去奇点处留数为零

本性奇点：通过洛朗级数求解

m阶极点：

一阶极点

或 ，是分母1阶零点，不是分子零点

注：用洛朗级数求留数，不需判定奇点类型。

留数定理：，条件；在内除有限个孤

立奇点外处处解析。

函数在留数：

定理 函数在扩充复平面上各点留数和为零。

4、留数在定积分中的应用

1、形如 的积分

2、形如 的积分

3、

复变函数总结