武汉市2013届高中毕业生五月模拟考试

理科数学

一、选择题

1．若集合，则中所含元素的个数为

A．3 B．6 C．8 D．10

2．若，则“”是“复数为纯虚数”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是

A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱

4．将函数（其中）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是

A． B．1 C． D．2

5．已知，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

6．两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )

A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种

7．下图是用模拟方法估计圆周率的程序框图,表示估计结果,则图中空白框内应填入( )

A. B. C. D.

8．在数列中，已知等于的个位数字，则的值为

A．8 B．6 C．4 D．2

9．下列函数中，在上有零点的函数是

A． B． C． D．

10．如图，P为椭圆上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A，上顶点B分别作轴， 轴的平行线，它们相交于点C，过P引BC、AC的平行线交AC于N，交BC于M，交AB于D、E，记矩形PMCN的面积为，三角形PDE的面积为，则

A．1 B．2 C． D．与点P的坐标有关

二、填空题

11．设向量，若，则 。

12．“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:_________.

图甲 图乙

13．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:

由表中数据，求得线性回归方程为。若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为 。

14．如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则以为顶点，以平面被截得的圆为底面的圆锥的全面积为 。

（二）选考题（请考生在第15、16题两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号在方框用2B铷笔涂黑。如果全选，则按第15题作答结果计分）

15．(几何证明选讲)如图3,圆的半径为1,、、是圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则__________.

16．（坐标系与参数方程）

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，则直线被曲线截得的弦长为 。

三、解答题

17．在中，三内角、、所对的边分别是、、，已知。,

（1）求和的值； （2）求的值。.

18．在等差数列中，已知，公差为整数，且满足，数列满足，其前项和为。

（1）求数列的通项公式；

（2）若为与的等比中项，求的值。

19．某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

从第一个顾客开始办理业务时计时.

(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;

(2)表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求的分布列及数学期望.

20．如图，在四棱锥，底面是平行四边形，，又直线与平面成的角，。

（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值。

21．已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.

(1) 求曲线C的方程;

(2)动点Q(x0,y0)(-20<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l向:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都不相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由.

22．已知。

（1）求的最小值；

（2）若，求证：；

（3）若均为正数，求证：

参考答案

一、选择题

1．D

2．B

3．D

4．D

5．A

6．D 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有种情形;当比分为3:2时,共有种情形;总共有种,选D.

7．D解析:点落在单位圆内或圆上,随机产生1000个数, ,故选D.

8．C

9．D

10．A

二、填空题

11．

12．

13．

14．

15． 解析:.连接,则, ,因为,所以.

16．

三、解答题

17．

18．

19．解析:设表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得的分布列如下:

(1)表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟. 所以 (2)解法一 所有可能的取值为对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, 所以对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟. 所以对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟, 所以所以的分布列为

解法二 所有可能的取值为对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, 所以对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟, 所以 所以的分布列为

20．

21．【解析】解:(1)依题意可得, , 由已知得,化简得曲线C的方程: (2)假设存在点P(0,t)(t<0)满足条件,则直线PA的方程是,直线PB的方程是,曲线C在点Q处的切线l的方程为它与y轴的交点为,由于,因此当时, ,存在,使得,即l与直线PA平行,故当时不符合题意当时, ,所以l 与直线PA,PB一定相交,分别联立方程组, 解得D,E的横坐标分别是则,又, 有,又于是对任意,要使△QAB与△PDE的面积之比是常数,只需t满足, 解得t=-1,此时△QAB与△PDE的面积之比为2,故存在t=-1,使△QAB与△PDE的面积之比是常数2. 【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容.

22．

湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（理）试题 Word版含答案