2018-2019学年河北省保定市高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知椭圆=1的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．

2．雾霾天气对我们身体影响巨大，据统计我市2019年12月份某8天的空气质量指数（AQI）茎叶统计图如图，则该组数据的中位数为（　　）

A．360 B．361 C．362 D．363

3．计算机执行如图的程序，输出的结果是（　　）

A．3，4 B．7，3 C．21，3 D．28，4

4．下列命题中正确的个数是（　　）

①命题“∀x∈（1，+∞），2x＞2”的否定是“∀x∉（1，+∞），2x＞2”；

②“a=2”是“|a|=2”的必要不充分条件；

③若命题p为真，命题￢q为真，则命题p∧q为真；

④命题“在△ABC中，若，则”的逆否命题为真命题．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（　　）

A．﹣1 B．4 C． D．

6．已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦的长度为6，则实数a的值为（　　）

A．8 B．11 C．14 D．17

7．若f（x）=﹣+blnx在（0，2）上是增函数，则b的取值范围是（　　）

A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣∞，4]D．（﹣∞，4）

8．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）=f（3）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（　　）

A．（﹣1，0） B．（﹣1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）

9．若曲线f（x）=x3+x﹣2在点P0处的切线垂直于直线x+4y+3=0，则点P0的坐标为（　　）

A．（1，0） B．（2，8） C．（2，8）或（﹣1，﹣4） D．（1，0）或（﹣1，﹣4）

10．设函数f（x），g（x）在（3，7）上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当3＜x＜7时，有（　　）

A．f（x）＞g（x） B．f（x）+g（3）＜g（x）+f（3） C．f（x）＜g（x） D．f（x）+g（7）＜g（x）+f（7）

11．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　）

A． B． C． D．

12．已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）满足：（1）焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0）；（2）离心率为，且求得双曲线C的方程为f（x，y）=0．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f（x，y）=0，则下列四个条件中，符合添加的条件共有（　　）

①双曲线C上任意一点P都满足||PF1|﹣|PF2||=6；

②双曲线C的虚轴长为4；

③双曲线C的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合；

④双曲线C的渐进线方程为4x±3y=0．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在题后的横线上）

13．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a+b=　　　　　　．

14．已知下表所示数据的回归直线方程为=﹣1.3x+a，则实数a=　　　　　　．

15．若在区域内任取一点P，则点P落在圆x2+y2=2内的概率为　　　　　　．

16．已知动点P（x，y）在椭圆C： +=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1．且MP⊥MF，则线段|PM|的最小值为　　　　　　．

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．设p：函数f（x）=lg（x2﹣4x+a2）的定义域为R；q：a2﹣5a﹣6≥0．如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求实数a的取值范围．

18．已知⊙O：x2+y2=4和⊙C：x2+y2﹣12x+27=0．

（1）判断⊙O和⊙C的位置关系；

（2）过⊙C的圆心C作⊙O的切线l，求切线l的方程．

19．某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．

（1）求这组数据的样本容量及平均数M；

（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．

20．设函数f（x）=﹣+6lnx．

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）求函数y=f（x）的单调区间与极值．

21．已知函数f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣（a＞0）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若f（x）≥﹣+ax+b恒成立，求时，实数b的最大值．

22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线x=﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．

2018-2019学年河北省保定市高二（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知椭圆=1的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用椭圆性质求解．

【解答】解：∵椭圆=1的长轴长为6，

∴2a=6，解得a=3，c==，

∴该椭圆的离心率为e=．

故选：A．

【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．

2．雾霾天气对我们身体影响巨大，据统计我市2019年12月份某8天的空气质量指数（AQI）茎叶统计图如图，则该组数据的中位数为（　　）

A．360 B．361 C．362 D．363

【分析】先写出这组数据，从而求出数据的中位数即可．

【解答】解：由茎叶图得，该组数据为：

259，300，306，360，362，364，375，430，

故（360+362）÷2=361，

故选：B．

【点评】本题考查了茎叶图的读法，考查数据的中位数问题，是一道基础题．

3．计算机执行如图的程序，输出的结果是（　　）

A．3，4 B．7，3 C．21，3 D．28，4

【分析】模拟计算机执行的程序，按顺序执行，即可得出输出的a与b的值．

【解答】解：模拟计算机执行的程序，如图所示；

a=3，b=4；

a=3+4=7，

b=7﹣4=3，

a=3×7=21；

输出a=21，b=3．

故选：C．

【点评】本题考查了算法的顺序结构的应用问题，是基础题目．

4．下列命题中正确的个数是（　　）

①命题“∀x∈（1，+∞），2x＞2”的否定是“∀x∉（1，+∞），2x＞2”；

②“a=2”是“|a|=2”的必要不充分条件；

③若命题p为真，命题￢q为真，则命题p∧q为真；

④命题“在△ABC中，若，则”的逆否命题为真命题．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断．

②根据充分条件的定义进行判断．

③根据复合命题的真假关系进行判断．

④根据逆否命题的真假关系进行判断．

【解答】解：①命题“∀x∈（1，+∞），2x＞2”的否定是“∃x∈（1，+∞），2x≤2”，故①错误，

②由|a|=2，得a=2或a=﹣2，即“a=2”是“|a|=2”的充分不必要条件；故②错误，

③若命题p为真，命题￢q为真，则q为假命题．，则命题p∧q为假命题；故③错误，

④命题“在△ABC中，若，则0＜或＜A＜π，则原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题．故④错误，

故正确的为0个，

故选：A

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的判断，复合命题真假平行，以及四种命题的真假判断，涉及的知识点较多，难度不大．

5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（　　）

A．﹣1 B．4 C． D．

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：当t=1时，满足进行循环的条件，S==﹣1，t=2；

当t=2时，满足进行循环的条件，S==，t=3；

当t=3时，满足进行循环的条件，S==，t=4；

当t=4时，满足进行循环的条件，S==4，t=5；

当t=5时，满足进行循环的条件，S==﹣1，t=6；

当t=6时，满足进行循环的条件，S==，t=7；

当t=7时不满足进行循环的条件，

此时S值为，

故选：D．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

6．已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦的长度为6，则实数a的值为（　　）

A．8 B．11 C．14 D．17

【分析】求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．

【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2=a，圆心（﹣2，2），半径．

故弦心距d==．

再由弦长公式可得a=2+9，∴a=11；

故选：B．

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．

7．若f（x）=﹣+blnx在（0，2）上是增函数，则b的取值范围是（　　）

A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣∞，4]D．（﹣∞，4）

【分析】先求出函数f（x）的导数，问题转化为b≤（x2）max，从而求出b的范围

【解答】解：函数的定义域是（0，+∞），

f′（x）=﹣x+，

若f（x）在（0，2）上单调递增，

则﹣x+≥0在（0，2）恒成立，

即：b≥（x2）max=4，

故选：A．

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道基础题．

8．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）=f（3）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（　　）

A．（﹣1，0） B．（﹣1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）

【分析】根据函数的单调性和导数之间的关系，即可得到结论．

【解答】解：由函数的图象可知，当x＞0时，函数f′（x）＞0，函数单调递增，

当x＜0时，函数f′（x）＜0，函数单调递减，且当x=0时，函数取得极小值f（0），

∵f（﹣1）=f（3）=1，

∴当0≤x＜3时，f（x）＜1，当﹣1＜x＜0时，f（x）＜1，

综上不等式f（x）＜1的解为当﹣1＜x＜3时，

即不等式的解集为（﹣1，3），

故选：B

【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．

9．若曲线f（x）=x3+x﹣2在点P0处的切线垂直于直线x+4y+3=0，则点P0的坐标为（　　）

A．（1，0） B．（2，8） C．（2，8）或（﹣1，﹣4） D．（1，0）或（﹣1，﹣4）

【分析】设P0（m，n），求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程可得m，进而得到n，可得切点的坐标．

【解答】解：设P0（m，n），f（x）的导数为f′（x）=3x2+1，

即有在点P0处的切线的斜率为k=3m2+1，

由切线垂直于直线x+4y+3=0，可得3m2+1=4，

解得m=±1，

可得m=1，n=0或m=﹣1，n=﹣4．

即P0（1，0），或（﹣1，﹣4）．

故选：D．

【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，属于基础题．

10．设函数f（x），g（x）在（3，7）上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当3＜x＜7时，有（　　）

A．f（x）＞g（x） B．f（x）+g（3）＜g（x）+f（3） C．f（x）＜g（x） D．f（x）+g（7）＜g（x）+f（7）

【分析】构造函数，设F（x）=f（x）﹣g（x），因为函数f（x），g（x）在（3，7）上均可导，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在（3，7）上可导，并且F′（x）＜0，得到函数的单调性，利用单调性得到F（7）＜F（x）＜F（3），即f（x）﹣g（x）＜f（3）﹣g（3），得到选项．

【解答】解：设F（x）=f（x）﹣g（x），因为函数f（x），g（x）在（3，7）上均可导，且f′（x）＜g′（x），

所以F（x）在（3，7）上可导，并且F′（x）＜0，

所以F（x）在（3，7）上是减函数，

所以F（7）＜F（x）＜F（3），即f（x）﹣g（x）＜f（3）﹣g（3），

f（x）+g（3）＜g（x）+f（3）；

故选：B．

【点评】本题考查了函数的单调性，关键构造函数，利用求导判断函数的单调性．

11．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．

【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），

根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，

进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，

故选C．

【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．

12．已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）满足：（1）焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0）；（2）离心率为，且求得双曲线C的方程为f（x，y）=0．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f（x，y）=0，则下列四个条件中，符合添加的条件共有（　　）

①双曲线C上任意一点P都满足||PF1|﹣|PF2||=6；

②双曲线C的虚轴长为4；

③双曲线C的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合；

④双曲线C的渐进线方程为4x±3y=0．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】利用双曲线性质求解．

【解答】解：对于①，∵||PF1|﹣|PF2||=2a=6

∴a=3

又∵焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0）

∴c=5

∴离心率e=，故①符合条件；

对于②，双曲线C的虚轴长为4，

∴b=2，a==，

∴离心率e=，故②不符合条件；

对于③，双曲线C的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合，

∴a=，e==，故③不符合条件；

对于④，∵近线方程为4x±3y=0

∴=，

又∵c=5，c2=a2+b2，∴a=3

∴离心率e=，故④符合条件．

故选：B．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线方程的性质的合理运用．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在题后的横线上）

13．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a+b=　56　．

【分析】求出样本间隔即可得到结论．

【解答】解：∵样本容量为5，

∴样本间隔为60÷5=12，

∵编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，

∴a=16，b=40，

∴a+b=56，

故答案为：56

【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔即可，比较基础．

14．已知下表所示数据的回归直线方程为=﹣1.3x+a，则实数a=　19.2　．

【分析】求出代入回归方程即可求出a．

【解答】解： ==4， ==14．

∴14=﹣1.3×4+a，解得a=19.2

故答案为19.2．

【点评】本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．

15．若在区域内任取一点P，则点P落在圆x2+y2=2内的概率为　　．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应区域的面积，根据几何概型的概率公式进行求解即可．

【解答】解：不等式组对应的平面区域为三角形OAB，其中A（8，0），B（0，2），对应的面积为S=，

x2+y2=2表示的区域为半径为的圆在三角形OAB内部的部分，对应的面积为，

∴根据几何概型的概率公式，得到所求对应概率P==．

故答案为：．

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式，利用二元一次不等式组表示平面区域求出对应的面积是解决本题的关键．

16．已知动点P（x，y）在椭圆C： +=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1．且MP⊥MF，则线段|PM|的最小值为　　．

【分析】依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，当PF最小时，切线长PM最小，作出图形，即可得到答案．

【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，

∴当PF最小时，切线长PM最小．

由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．

此时

故答案为：

【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查作图与分析问题解决问题的能力，属于中档题．

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．设p：函数f（x）=lg（x2﹣4x+a2）的定义域为R；q：a2﹣5a﹣6≥0．如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求实数a的取值范围．

【分析】分别判断出p，q为真时的a的范围，由“p∨q”为真，“p∧q”为假，可知p，q一真一假，通过讨论求出a的范围即可．

【解答】解：若p为真，则x2﹣4x+a2＞0恒成立，∴△=16﹣4a2＜0，解得 a＞2或a＜﹣2；…（2分）

若q为真，则a2﹣5a﹣6≥0，解得a≤﹣1，或a≥6． …（4分）

由“p∨q”为真，“p∧q”为假，可知p，q一真一假．…（5分）

①p真q假时，a＞2或a＜﹣2，且﹣1＜a＜6，∴2＜a＜6，…（7分）

②p假q真时，﹣2≤a≤2，a≤﹣1，或a≥6∴﹣2≤a≤﹣1…（9分）

综上，2＜a＜6，或﹣2≤a≤﹣1．∴a∈（2，6）∪[﹣2，﹣1]…（10分）

【点评】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数的性质，是一道基础题．

18．已知⊙O：x2+y2=4和⊙C：x2+y2﹣12x+27=0．

（1）判断⊙O和⊙C的位置关系；

（2）过⊙C的圆心C作⊙O的切线l，求切线l的方程．

【分析】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，即可判断⊙O和⊙C的位置关系；

（2）过显然，切线斜率存在，设为k，利用点到直线的距离公式求出k，即可求切线l的方程．

【解答】解：（1）由题意知，O（0，0），r1=2； …（1分）

∵⊙C：x2+y2﹣12y+27=0，∴x2+（x﹣6）2=9，圆心C（0，6），r2=3…3分

∵|OC|=6＞r1+r2…（5分）

∴⊙O与⊙C相离． …（6分）

（2）显然，切线斜率存在，设为k．…（7分）

∴切线l：y=kx+6，即kx﹣y+6=0．

∴…（10分）

解得k=±2，∴切线方程为…（12分）

【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

19．某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．

（1）求这组数据的样本容量及平均数M；

（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．

【分析】（1）根据频率分布直方图，利用公式频率=求出样本的容量，再求出平均数；

（2）利用列举法写出从第一组和第五组中任意选出两人共有的基本事件数，选出的两人为“黄金搭档组”的基本事件数，求出概率来．

【解答】解：（1）设90～140分之间的人数为n，

由130～140分数段的人数为2，知0.005×10×n=2，得n=40；

即此样本的容量为40；﹣﹣（2分）

平均数M=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113；﹣﹣（5分）

（2）依题意第一组共有40×0.01×10=4人，记作A1，A2，A3，A4；

第五组共有2人，记作B1，B2；

从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：

{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，B1}，{A1，B2}，

{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，B1}，{A2，B2}，

{A3，A4}，{A3，B1}，{A3，B2}，

{A4，B1}，{A4，B2}，

{B1，B2}；

设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”，

若两人成绩之差大于20，则两人分别来自第一组和第五组，共有8种选法：

{A1，B1}，{A2，B1}，{A3，B1}，{A4，B1}，

{A1，B2}，{A2，B2}，{A3，B2}，{A4，B2}，

∴P（A）=．﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了求古典概型的概率问题，是基础题目．

20．设函数f（x）=﹣+6lnx．

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）求函数y=f（x）的单调区间与极值．

【分析】（1）求出函数的导数，求出f（1），f′（1）的值，代入直线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

【解答】解：（1）∵，x＞0，

∴f（1）=﹣8，切点为（1，﹣8）…（2分），

∵，

∴切线斜率k=f′（1）=10…（4分）

∴切线方程为y+8=10（x﹣1），

即10x﹣y﹣18=0．…（6分）

（2）∵

=，x＞0 …（7分）

令f′（x）＞0，0＜x＜6；

令f′（x）＜0，x＞6 …（9分）

∴f（x）单调递增区间为（0，6）；

单调递减区间为（6，+∞）；

f（x）极大值为f（6）=﹣+6ln6，无极小值． …（12分）

【点评】本题考查了求曲线的切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性、极值问题，是一道中档题．

21．已知函数f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣（a＞0）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若f（x）≥﹣+ax+b恒成立，求时，实数b的最大值．

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；

（2）问题转化为b≤﹣alnx+x恒成立，令g（x）=﹣alnx+x，x＞0，即b≤g（x）min，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出b的最大值即可．

【解答】解：（1）∵f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣（a＞0），定义域为（0，+∞）…（1分），

∴=，x＞0…（2分）

令f′（x）=0，则x1=a，x2=1

①当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，则a＜x＜1；

令f′（x）＜0，则0＜x＜a，或x＞1，

∴f（x）在（0，a），（1，+∞）单调递减；（a，1）单调递增； …（3分）

②当a=1时，f′（x）≤0，且仅在x=1时，f′（x）=0，

∴f（x）在（0，+∞）单调递减； …（4分）

③当a＞1时，令f′（x）＞0，则1＜x＜a；

令f′（x）＜0，则 0＜x＜1，或x＞a，

∴在（0，1 ），（a，+∞）单调递减；（1，a）单调递增．…（5分）

综上所述，

当0＜a＜1时，f（x）在（0，a），（1，+∞）单调递减；（a，1）单调递增；

当a=1时，f（x）在（0，+∞）单调递减；

当a＞1时，f（x）在（0，1），（a，+∞）单调递减；（1，a）单调递增．…（6分）

（2）∵

若恒成立，

∴b≤﹣alnx+x恒成立 …（7分）

令g（x）=﹣alnx+x，x＞0，

即b≤g（x）min…（8分），

∵g′（x）==，（a＞0），

∴g（x） 在（0，a）单调递减，（a，+∞） 单调递增；

g（x）min=g（a）=﹣alna+a…（10分）

∴b≤﹣alna+a，a∈[，1]，

令h（a）=﹣alna+a

∴h′（a）=﹣lna＞0，∴h（a）单调递增，

∴h（a）min=h（）=（1+ln2），

∴

即b的最大值为…（12分）

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．

22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线x=﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．

【分析】（1）设椭圆标准方程为（a＞b＞0），由已知得b=2，e==，由此能求出椭圆C的标准方程．

（2）先求出|PQ|=6，设直线AB的方程为，与联立，得x2+mx+m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式，结合已知能求出四边形APBQ面积的最大值．

【解答】解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，

设椭圆标准方程为（a＞b＞0），

∵椭圆的离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．

焦点为…（1分）

∴b=2…（2分）e==，a2+b2=c2，

∴解得a2=16，b2=12，

∴椭圆C的标准方程．…（4分）

（2）直线 x=﹣2与椭圆交点P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），

∴|PQ|=6，…（5分）

设A （x1，y1），B（ x2，y2），直线AB的方程为，

与联立得x2+mx+m2﹣12=0…（6分）

由△=m2﹣4（m2﹣12）＞0，得﹣4＜m＜4，…（7分）

由韦达定理得x1+x2=﹣m，，…（8分）

由A，B两点位于直线x=﹣2两侧，得（x1+2）（x2+2）＜0，

即x1x2+2（x1+x2）+4＜0，∴m2﹣2m﹣8＜0，

解得﹣2＜m＜4，…（9分）

∴S=•|PQ|•|x1﹣x2|

=•|PQ|•

=3，

∴当m=0时，S最大值为．…（12分）

【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式的合理运用．

河北省保定市2018-2019年高二上期末数学试卷（文）含答案解析