高屋建瓴 脚踏实地

【摘要】《解析几何》是高中数学教学的重要内容，也是每年高考考查的重点内容之一，尤其是其解答题部分，其内容充分体现了数与形相互转化的数学思想，展示了计算方法上的特点和技巧，表现出辩证思维的丰富内涵。这部分内容的高三复习需要我们站得更高，看得更远。

【关键词】针对性 短平快 由浅入深 化整为零 传授套路 示范运算 变式训练 反思说题

【正文】

1、需要我们做什么

解析几何解答题高考考什么呢？让我们首先来看一例：

【引例】（2011浙江理21）已知抛物线＝，

圆的圆心为点M。

（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂足于AB，求直线的方程。

1.试题分析：此题背景简单、条件熟悉、应该说起点低，入口宽，主要考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系，突出主干知识，紧扣考试说明；

2.解答分析：试题对学生运用解析几何思想方法和运算分析能力要求较高。

（1）选择参数；题中没有给出具体的参数，因此选择合适的参数就成了关键问题，它决定了解题的方向和计算的繁简程度。从条件“圆的切线”我们会选择斜率k为参数，同时又考虑到PA,PB的对称性，选择设P点坐标，这里充分考查了学生对具体问题分析的理性思维能力和抽象概括、推理论证能力。

（2）解题技巧：本题对方程的考查要求比较高，A,B两点设而不求，利用韦达定理用P点坐标表示，利用相切条件得到PA,PB的斜率也用韦达定理整体代换。这种方法在平时的训练中应该是常见的。

（3）运算要求：对运算能力的考查是解析几何的一个重要目标，这也恰恰是学生的薄弱点，往往到最后“会而不对”、“对而不全”。

而这些“运算与转化”的能力正是学生在面对圆锥曲线解答题时最大的困难，介于此，我们在高三复习中能做些什么呢？

2、我们可以做什么

2.1把握方向，针对性复习

所谓万变不离其宗，首先，解读《大纲》和《考试说明》，明确考查的知识及能力要求。其次，重视教材的基础和示范作用，教材是我们的纲领性文件，高考中很多综合题的题根往往来自教材,所以要贯彻“源于课本,高于课本”的原则。

2.2由浅入深，阶段性复习

要对整个高三解析几何的复习有一个统筹的规划，制定阶段性的复习计划及各阶段期望达到的成果。选择阶段性地配备例题，特别是复习刚开始时要注意夯实基础知识，强化双基训练，帮助学生构建好知识网络，这样更有利于学生后续的能力提高与发展。

2.3化整为零，持续性复习

短周期、平难度、快重复、才能克服遗忘，层层递进提高解决问题能力。由于圆锥曲线解答题综合性很强，对计算要求又很高，所以很难在有限的一个时段把学生的能力拔高到一定高度，所以要选择分散难度。

2.4传授套路，程序性复习

复习中要教给学生一些常见题型的套路，帮助学生总结积累经验，学会判断与选择相应的方法。圆锥曲线解答题热点考查内容有：最值（范围）问题、对称问题、定点问题、定值问题、存在性问题等等。具体到解题中，如：

最值（范围）问题：一般引入一个恰当的参数（很多时候选择直线斜率k）表示相应量，根据条件建立一个函数或者方程或者不等式，“求范围，找不等式”，“最值问题，函数思想”。

【例】（2012年浙江理21）如图，椭圆：的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求面积取最大值时直线的方程．

对称问题：关键抓住三个要素，一是对称点的连线与对称轴垂直，二是对称点的中点落在对称轴上，三是对称点所在的直线与曲线相交于不同的两点（或者中点在曲线内部），具体方法上可以采用设直线或者点差法求解；

【例】（2013浙江省样卷理21）如图，F1，F2是离心率为的椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求的取值范围．

弦分点问题：“化斜为直”，转化为横坐标或纵坐标之比，结合韦达定理解决；

【例】（2010年辽宁理20）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.

(I) 求椭圆C的离心率；

(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.

④定点问题：解决这类问题时,要善于在动点的“变”中寻求定点的“不变”性,解答思路有两种:一种思路是选定一个恰当的参数，表示所求定点关系需要的表达式，一般为直线系或曲线系，与参数无关，对应系数为零，从而确定定点坐标。另一种思路是用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题。

【例】（2012年福建理19）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且周长为8。

（Ⅰ）求椭圆的方程。

（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点且与直线相较于点。试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

⑤定值问题：引入参数，用同一个参数表示相应量即可；当然上面定点问题中的特殊到一般的方法也是适用的。

【例】（2011年四川理21）椭圆有两顶点，过其焦点的直线与椭圆交与两点，并与轴交于点。直线与直线交于点。

（Ⅰ）当时，求直线的方程；

（Ⅱ）当点异于两点时，求证：为定值。

⑥存在性问题：先假设所需研究对象存在或结论成立，在此前提下进行运算或逻辑推理，若推出矛盾，则假设不成立，从而给出否定结论，否则给出肯定证明。（举例可同④）

2.5示范运算，变式性复习

新课标虽然不提倡繁杂的计算，但运算能力、算法算理的考查也是考查目标之一，所以我们应当对学生进行引导。学生的运算能力不强主要表现在对含字母的式子运算常出错，不敢运算，没有好的运算思路。因此一是教师在课堂要示范如何处理字母关系及运算，因为学生往往是在观察教师操作的过程中学会的。二是在学生理解算理的基础上进行同类型的变式训练。做到解一道题目、通一类题型，熟一类运算，提高对一类相关问题的数据处理能力。

【例】（2011年江苏高考理科18题）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点．设直线的斜率为．

（1）当直线平分线段，求的值；

（2）当时，求点到直线的距离；

（3）对任意，求证：．

评析：这是一题源于课本例题的“有心圆锥曲线的性质”为背景的综合题的考察，我在课堂讲评之后，作以下变式，留作学生课后作业训练：

变式1（改变文字参数，一般化处理）：已知椭圆（a>b>0），过原点的直线（斜率大于0）交椭圆于P,A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆于B，则直线PA与直线PB的斜率之积为定值；

变式2（改变条件结构，可比性替换）：推导上述有心圆锥曲线的性质，即：椭圆（a>b>0）上任意一点P与过中心的弦AB的两端点连线PA,PB与坐标轴不平行，则直线PA,PB的斜率之积为定值；同理，双曲线中结论为。而此性质是圆的性质——“直径所对的圆周角为直角”在椭圆双曲线中的推广。

变式3（改变提问方式，反方向探索）：已知椭圆E：（a>b>0），过原点的直线交椭圆于P,A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，试问是否存在这样的椭圆E，使得PA PB?如果存在，求E的离心率，如果不存在，说明理由。

2.6反思说题，自主性复习

说题是一种很好的思维训练，可使学生注重方法的总结、提炼，教学中提倡学生反思是学习中至关重要的一个环节。

（1）说知识点：说考察的知识点及隐含条件的挖掘，已知与未知间关系的发现；

（2）说方法：把审题、分析、解答、回顾等环节简明扼要地说出来；

（3）说得失：说解题中用到的思想方法，说解法的优化及其它解法。

【结束语】

总之，对于解析几何大题复习既要站在系统的角度进行教学，又要扎扎实实做好学生的巩固训练。即：“高屋建瓴地教，脚踏实地地学”！

【参考文献】

[1] 杨威，出于平凡 超乎自然——评2011年高考数学浙江卷(理)第21题[J].教学月刊（中学版），2012（2）

[2] 孙承辉，数学题“推陈出新”的几种策略[J].中学数学教学参考，2012(4)

[3] 周远方，解法、背景、引申[J].数学通讯，2011(9)

[4] 王连坝.5年高考3年模拟——高考理数［M］.首都师范大学出版社，2012

[5] 高中数学教材（人教社A版）选修2-1，人民教育出版社，2006.12第二版

3、高屋建瓴 脚踏实地 - —新课程背景下高考解析几何解答题复习策略