新乡市第一中学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(包含答案解析)-

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一、选择题
1．设a，b，c为正数，且3a=4b=6c，则有（ ） A．111 cabB．221 cabC．122 cabD．212 cab2．已知函数f(xlog2x，在[A．[1,2] 3．已知fx（ ）. A．0,1
B．[0,2] 1，m]上的值域为[0，4]，16C．[1,3] mf的取值范围是（ ） 2D．[0,3]
5a1x4a,x1logax,x115是,上的减函数，那么a的取值范围是B．0,
C．,
1195D．,1
194．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数y2xx2xR的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知fx，gx分别为定义在R上的偶函数和奇函数，且满足fxgx2，x若对于任意的x1,2，都有2fxagxa0恒成立，则实数a的取值范围
是（ ） A．,317 44B．155, 82C．15,2 8D．2,17 46．函数fx2x1lgx221x的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数f(xlog1x4的单调递增区间为（ ）.
22A．(0,+
B．(-,0 C．(2,+
D．(-,-2
8．已知alog32，那么log382log36用a表示是( A．5a2
xB．a2 C．3a(1a2
D．3aa21
9．设fx21,cba，且fafcfb，则下列说法正确的是（ ） A．a0,b0,c0 B．a0,b0,c0 10．已知函数fxC．2a2c
D．2c2a2
2x,x0，若faf10，则实数a的值等于（ ）
x1,x0
A．-3 A．logac＜logbc 12．已知A．aB．-1 B．logca＜logcb C．1 C．ac＜bc
D．3 D．ca＞cb
11．若a＞b＞0，0＜c＜1，则
f(xex14x4，若正实数a满足f(loga1，则a的取值范围为（ ）
B．0a343
43或a1
434或a
34C．0aD．a1
二、填空题
13．已知a0，函数yf(x，其中f(xlog211a，若对任意t,1，函数2xyf(x在区间[t,t1]上的最大值与最小值的差不超过1，则a的取值范围为_______．
14．若函数ylog2xax3a在[2,上是单调增函数，则a的取值范围是____________．
2115．已知f(x1,g(xlog2xm，若2xx1[1,3],x2[1,3],fx1gx2，则实数m的取值范围是_______.
16．如图，在面积为2的平行四边形OABC中，ACCO，AC与BO交于点E.若指数函数yaxa0,a1经过点E，B，则函数fxxa在区间1,2上的最小值为x________.

17．方程log2972log231的解为______.
18．设正数x,y满足log2(xy3log2xlog2y，则xy的取值范围是_____.
xx3(a1x4a,x119．已知f(x是R上的减函数，那么a的取值范围是__________.
1ogax,x120．若函数yloga13x1在区间,6有最小值-2，则实数a=_______.
22三、解答题
21．计算：

（1）eln241(2532；
92（2）lg2lg5lg20log23log34.
3122．（1）计算222254（2）已知xx121200.5(0.010.5；
xx123，求x2x22的值．
23．函数fx对任意的实数m，n，有fmnfmfn，当x0时，有fx0．
（1）求证：f00．
（2）求证：fx在,上为增函数． （3）若f11，解不等式f42xx2．
24．分别计算下列数值：
1lg3lg9lg34（1）lg5lg2； lg81lg27（2）已知xx140x1，求x2x2xx1212.
25．已知函数fxloga12（a0且a1）. x1（1）判断函数fx的奇偶性并说明理由；
（2）当0a1时，判断函数fx在1,上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）是否存在实数a，使得当fx的定义域为m,n时，值域为1logan,1logam？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
126．已知函数fx，函数gxlog2x. 2（1）若gmx2xm的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x1,1时，函数yfx2afx3的最小值为1，求实数a的值.
2x2
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一、选择题

1．B 解析：B 【分析】
首先根据指对互化求出a,b,c，再根据换底公式表示,,，最后根据对数运算法则化简. 【详解】
设3a=4b=6c=k， 则a=log3k， b=log4k， c=log6k， ∴而111abc11logk3， 同理1logk4，1logk6， alog3kbc11111221logk2,logk3logk2， ∴，即． 2bcca2bcab故选：B 【点睛】
本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式logab1是关键. logba2．D 解析：D 【分析】
由对数函数的单调性可得m1,16，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】
由题意，函数f(xlog2x在0,1上单调递减，在1,上单调递增， 且f1f164，f10， 161结合该函数在,m上的值域为[0,4]可得m1,16，
16所以m1,8，22mmflog20,3.
22故选：D. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定m1,16，即可得解.
3．C 解析：C 【分析】

5a10由0a1解得结果即可得解. 5a14alog1a【详解】 因为fx5a1x4a,x1logax,x1是,上的减函数，
5a1011所以0a1，解得a.
955a14alog1a故选：C 【点睛】
易错点点睛：容易忽视两段交界点处函数值的大小关系.
4．A 解析：A 【分析】
分析函数fx2xx2xR的奇偶性，结合f01可得出合适的选项.
x【详解】
令fx2x，该函数的定义域为R，fx2x2x2x2fx，
x2函数fx2x为偶函数，排除B、D选项；
x2又f010，排除C选项. 故选：A. 【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．B 解析：B 【分析】
2x2x2x2xxx利用奇偶性求出fx，gx，讨论hx22和gx的单22调性求最值可得hxgx恒成立，则不等式恒成立等价于gxmaxahxmin. 【详解】

fxgx2x，fxgx2x，
fx是偶函数，gx分是奇函数，fxgx2x，
2x2x2x2x可得fx，gx，
221xxx22a22xa0， 则不等式为2令hx22，令t2x，由对勾函数的性质可得yt在2,4单调递增，
xx1t则hx22在1,2单调递增，则hxminh1xx517,hxmaxh2， 242x2xx对于gx，因为y2单调递增，y2x单调递增，gx在1,2单调递2增，gxming1315,gxmaxg2， 48hxgx恒成立，
则不等式hxagxa0，解得gxahx，
gxmaxahxmin，即故选：B. 【点睛】
155a. 82关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，根据函数的单调性求出最值将不等式等价为gxmaxahxmin即可求解.
6．B 解析：B 【分析】
求出函数fx的定义域，分析函数fx的奇偶性及其在区间0,1上的函数值符号，进而可得出合适的选项. 【详解】 函数fx2xx1lgx221xx的定义域为xx0，
2fx21lgx212x2x1lgx2221xx12lgxx212xfx，函数fx为奇函数，
2当0x1时，0x21，则lgx0，2x10，2x10，fx0.
因此，函数fx的图象如B选项中的图象.

故选：B. 【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7．D 解析：D 【分析】
求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】
2f(xlogx4的定义域为,21函数22,，
ylog1u和因为函数fx是由ux24复合而成，
2而ylog1u在定义域内单调递减，2ux24在,2内单调递减，
所以函数f(xlog1x4的单调递增区间为,2，
22故选：D. 【点睛】
易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.
8．B 解析：B 【解析】
3试题分析：log382log36log322log3233log322(log32log33
log322a2,所以答案选B.
考点：指数对数的计算
9．D 解析：D 【详解】
分析：先画出函数fx21的图像，根据cba且fafcfb得到a＜x0，b＞0，c＞0,再找正确的选项. 详解：作出函数fx21的图像，
x

因为cba且fafcfb， 所以a＜0， c＞0,
因为fafc，所以2121,1221,222.
acacac故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查图像的作法，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2解答本题的关键是通过图像分析出a＜0，b＞0，c＞0.
10．A 解析：A 【分析】
先求得f1的值，然后根据fa的值，求得a的值. 【详解】
由于f1212，所以fa20,fa2，2a2在0,上无解，由a12解得a3，故选A.
【点睛】
本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.
11．B 解析：B 【解析】
试题分析：对于选项A，logac1gc1gc,logbc，0c1，1gc0，而lgalgblgb的正负，所以它们的大小不能确定;对于ab0，所以lgalgb，但不能确定lga、选项B，logcalgalgb1,logcblgalgb,，两边同乘以一个负数改变不等号方lgclgclgcc向，所以选项B正确;对于选项C，利用yx在第一象限内是增函数即可得到acbc，所以C错误;对于选项D，利用yc在R上为减函数易得cacb，所以D错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数x
或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
12．C 解析：C 【分析】
先判断f(xex14x4是R上的增函数，原不等式等价于loga1，分类讨论，利34用对数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为ye所以x1与y4x4都是R上的增函数，
f(xex14x4是R上的增函数，
11又因为f(1e441
331f1等价于loga1， 443由1logaa，知logalogaa,
4所以f(loga当0a1时，yloga当a1时，ylogax在0,上单调递减，故a33，从而0a； 44x在0,上单调递增，故a3，从而a1，
4综上所述， a的取值范围是0a【点睛】
3或a1，故选C.
4解决抽象不等式fafb时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数fx的单调性．若函数fx为增函数，则ab；若函数fx为减函数，则ab．
二、填空题

13．【分析】由函数单调性可得在区间上的最大值最小值则可得对任意恒成立利用二次函数的性质即可求出【详解】因为在区间内单调递减所以函数在区间上的最大值与最小值分别为则得整理得对任意恒成立令则的图象是开口向上
2 解析：，3【分析】
t1]上的最大值f(t，最小值f(t1，则可得由函数单调性可得f(x在区间[t，1at2(a1t10对任意t,1恒成立，利用二次函数的性质即可求出.
2【详解】

t1]内单调递减， 因为f(x在区间[t，t1]上的最大值与最小值分别为f(t，f(t1， 所以函数f(x在区间[t，则f(tf(t1log2alog2得a21t1a1， t11t11a，整理得at2(a1t10对任意t,1恒成立．
2t12令h(tat(a1t1，则h(t的图象是开口向上，对称轴为t110的抛物22a线，
2所以h(t在t,1上是增函数，at(a1t10等价于h1210， 2211即a(a110，解得a，
322． 所以a的取值范围为，. 故答案为：，【点睛】
关键点睛：由单调性判断出最大值和最小值，从而转化为at(a1t10对任意2223231t,1恒成立，根据二次函数性质求解. 214．【分析】利用复合函数单调性的判断方法分内层和外层分别判断解出的取值范围【详解】由题意得设根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数且所以所以故答案为:【点睛】本题考查复合函数单调性的应用考查 解析：(4,4]
【分析】
利用复合函数单调性的判断方法,分内层和外层分别判断,解出a的取值范围. 【详解】
由题意得，设g(xxax3a，根据对数函数及复合函数单调性可知：g(x在2a2，所以4a4． 2,上是单调增函数，且g(20，所以24a0故答案为: (4,4] 【点睛】
本题考查复合函数单调性的应用,考查对数函数的性质,考查学生运算求解能力,属于中档题.
15．【分析】求出函数在上的最值最后根据题意列出不等式进行求解即可【详
解】当时因此；当时因此因为所以有即故答案为：【点睛】本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值考查了存在性和任意性的概念的理解考查了数
9, 解析：8【分析】
求出函数f(x,g(x在x[1,3]上的最值，最后根据题意列出不等式进行求解即可. 【详解】
x911当x[1,3]时，[,1]，因此f(x[,2]；
882当x[1,3]时，(log2x[0,log23]，因此g(x[m,mlog23]， 因为x1[1,3],x2[1,3],fx1gx2，所以有f(xming(xmin， 即99mm. 889,故答案为：
8【点睛】
本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值，考查了存在性和任意性的概念的理解，考查了数学运算能力.
16．【分析】设点则点B的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B的坐标为∵∴∵平行四边形OABC的面积又平行四边形OABC的面积为2 解析：3
【分析】
设点Et,a，则点B的坐标为2t,2a边形的面积求得t调性与最值． 【详解】
解：设点Et,a，则点B的坐标为2t,2a∵2ata2t，∴at2，
∵平行四边形OABC的面积SOCACat2t4t， 又平行四边形OABC的面积为2，
11，所以2a2，a4，
24∴fxx在1,2为增函数，
xtt，由题意得2ata2t，则at2，再根据平行四1，由此得a4，得函数fx的解析式，从而得函数fx的的单2tt，
∴4t2，t
∴函数fx的最小值为f11故答案为：3． 【点睛】
43，
1本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题．
17．或【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于的一元二次方程求得的值进一步求得值得答案【详解】由得即化为解得：或或故答案为：或【点睛】本题主要考查的是对数方程的求解将对数方程转化为指数方程是解决本题的关
解析：x0或x1. 【分析】
由对数的运算性质化对数方程为关于3x的一元二次方程，求得3x的值，进一步求得x值得答案. 【详解】
由log2972log231，得
xx即97431， 化为34330，
xxx2xlog29x7log243x1，
解得：3x1或3x3， x0或x1.
故答案为：x0或x1. 【点睛】
本题主要考查的是对数方程的求解，将对数方程转化为指数方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力，是基础题.
18．【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解：正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为：【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应 解析：6,
【分析】
由题设知xy3xy，再由x22xyy20，得到x22xyy24xy，所以(xy2xy，设xya，由此可求出xy的取值范围．
4【详解】
解：正数x，y满足log2(xy3log2xlog2y，
log2(xy3log2xy，
xy3xy，

又x22xyy20，
所以左右加上4xy得到x22xyy24xy，
(xy2所以xy，
4(xy2由xy3xy得到xy3，
4设xya即4a12a2，
解得a6或a2即a,2或6,．
根据定义域x，y均大于零，所以xy取值范围是6,． 故答案为：6,． 【点睛】
本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．
19．【分析】由在R上单调减确定a3a-1的范围再根据单调减确定在分界点x=1处两个值的大小从而解决问题【详解】因为是上的减函数所以解得故答案为：【点睛】本题考查分段函数单调性问题关键根据单调性确定在分段
3解析：,1
7【分析】
由f(x在R上单调减，确定a， 3a-1的范围，再根据单调减确定在分界点x=1处两个值的大小，从而解决问题. 【详解】
3(a1x4a,x1因为f(x是R上的减函数，
1ogx,x1aa10所以0a1，
3(a14alog10a解得3a1，
73故答案为：,1
7【点睛】
本题考查分段函数单调性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小，属于中档题.
20．或2【分析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出的值【详解】当时在为增函数求得即;当时在为减函数求得即故答案为:或【点睛】本题考查复
合函数单调性对数方程的解法难度一般
1或2 2【分析】
解析：根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出a的值. 【详解】
当a1时, yloga求得a-21333x1在,6为增函数,yminfloga1-2,24221,即a=2;
4当0a1时, yloga得a-24,即a=故答案为:【点睛】
13x1在,6为减函数,yminf6loga31-2,求221.
21或2.
2本题考查复合函数单调性,对数方程的解法,难度一般.
三、解答题

21．（1）【分析】
（1）利用指对数运算对数恒等式直接得解 （2）利用对数运算及换底公式得解. 【详解】 （1）e（2）ln23；（2）3.
24133(253222， 922(lg22lg5lg20log23log34.(lg22lg5(1lg2log24(lg2(lg2lg5lg52lg2lg523
【点睛】
解决对数运算问题的常用方法
(1将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2将同底对数的和、差、倍合并．
(3利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4利用常用对数中的lg2lg51

22．（1）【分析】
116；（2）． 155（1）利用幂的运算法则计算；
（2）已知式平方得xx1，再平方可得x2x2，然后代入求值． 【详解】
（1）原式11912124412116 114310151002（2）∵xx2212121112∴xxxx227， ，3xxxx【点睛】
12xx12721249247，故2． 2xx24725本题考查幂的运算法则，整数指数幂中多项的乘法公式在分数指数幂中仍然适用． 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）x|x1 【分析】
（1）令mn0，代入等式，可求得f00；
（2）令nm，代入等式，结合f00，可得到fmfm，从而可知yfx是奇函数，然后用定义法可证明fx在,上为增函数；
（3）原不等式可化为f42xxf2，结合函数fx的单调性，可得出4x2x2，解不等式即可. 【详解】
（1）证明：令mn0，则f00f0f02f0，∴f00. （2）证明：令nm，则fmmfmfm， ∴f0fmfm0，∴fmfm， ∴对任意的m，都有fmfm，即yfx是奇函数． 在,上任取x1，x2，且x1x2，则x2x10，
∴fx2x1fx2fx1fx2fx10，即fx1fx2， ∴函数yfx在,上为增函数.
11f1f1f2，
由（2）知fx在,上为增函数，可得422，即222（3）原不等式可化为f42xxxxxx10，
∵2x10，∴2x20，解得x1，

故原不等式的解集为x|x1. 【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 24．（1）【分析】
（1）利用对数的运算性质化简可求得所求代数式的值；
（2）由已知条件可求得xx1的值，可求得x2x2，并求得x2x2的值，代入计算可求得所求代数式的值. 【详解】
113；（2）42.
211lg3lg3lg3111lg3322lg10； （1）原式lg5lg281222lg32lg27（2）因为xx所以xx22xx1xx14xx1，
1212xx2412，
因为0x1，则xx1，所以xx123，所以x2x283，
1111又因为x2x2xx126，所以x2x26，
所以x2x2xx121242.
【点睛】
本题考查指数式与对数式的计算，考查了平方关系以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
25．（1）奇函数，理由见详解；（2）单调递减，过程见详解；（3）存在a0,322.
【分析】
（1）先由函数解析式求出定义域，再由fx，求出fx，根据函数奇偶性的概念，即可得出结果；
22，用单调性的定义，即可判断g(x1的单调性，再由x1x1复合函数单调性的判定原则，即可得出结果；
（2）先令g(x1（3）先假设存在满足条件的实数a，由题意得出0a1，f(n1logan，推出f(m1logma
22m,n是方程loga11logax的两根，进而得到ax(a1x10在1,x1上有两个不同解，根据一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求出结果. 【详解】 （1）由120解得x1或x1，即函数fx的定义域为(,1(1,； x1又fxloga12x1log， ax1x122x12x1log1loglog， aaax1x1x1x1所以fxloga1因此fxf(xloga10，所以f(xf(x， 所以函数fx为奇函数； （2）令g(x12，任取1x1x2， x1x1x222221则g(x1g(x21， x1x1x1x1(x1(x1122121因为x1x20，x110，x210，所以g(x1g(x2即函数g(x1x1x20，
(x21(x112在1,上单调递增； x1又0a1，所以ylogax单调递减，
2在1,上单调递减； x1根据同增异减的原则，可得：fxloga1（3）假设存在实数a，使得当fx的定义域为m,n时，值域为1logan,1logam，由mn，1logan1logam可得0a1；
f(n1logan所以，
f(m1logma因此m,n是方程loga1221logax的两根， x1即ax(a1x10在1,上有两个不同解，
h(10a121，解得0a322. 设h(xax(a1x1，则2a0所以存在a0,322，使得当fx的定义域为m,n时，值域为
1logan,1logam.
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判定，单调性的判定，以及由函数定义域与值域求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型. 26．（1）1,；（2）a【分析】
（1）由mx22xm0恒成立，得关于m的不等式组，求解得答案；
x121t1,22t,2，根据二次函数的（2）令t，，可得，yta3a2222.
定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值，进一步求得实数a的值. 【详解】
（1）gmx2xmlog2mx2xm， ∵gmx2xm的定义域为R，
222mx22xm0恒成立，
当m0时，不符合， 当m0时，满足m0，解得m1，
244m0∴实数m的取值范围为1,；
x11x1,1t,2， （2）令t，当时，2222则函数yfx2afx3化为yt2at3ta3a，t,2.
2212①当a2时，
可得当t2时y取最小值，且ymin74a1，解得a②当3（舍去）；
21a2时，
22可得当ta时y取最小值，且ymin3a1，解得a2（舍）或a③a2；
1时， 2可得当t综上，a【点睛】
1139a1，解得a（舍去）， 时y取最小值，且ymin4422.
本题考查对数函数的定义域，考查不等式的恒成立问题，考查二次函数的最值，属于中档题.

新乡市第一中学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(包含答案解析)-

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