数列的通项公式与数列求和专题检测 新人教A版

一、选择题

1．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10，则a2 012＝(　　)

A．2 010　　　　　　　　　 B．2 012

C．－2 010 D．－ 2012

解析：设等差数列{an}的公差为d，

则由已知条件可得，

解得

所以数列{an}的通项公式为an＝－n＋2.

故a2 012＝－2 012＋2＝－2 010.

答案：C

2．(2012年高考福建卷)数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 012等于(　　)

A．1 006 B．2 012

C．503 D．0

解析：用归纳法求解．

∵an＝ncos，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，….

由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，

且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋4n＝2.

又2 012＝4×503，

∴a1＋a2＋…＋a2 012＝2＋2＋…＋2,\s\do4(503个))＝2×503＝1 006.

答案：A

3．(2012年海淀模拟)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)

A．6 B．7

C．8 D．9

解析：∵an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，

∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.

设前k项和最大，则有

∴

∴≤k≤，

∵k∈N*，∴k＝7.

故满足条件的n的值为7.

答案：B

4．在公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1＝1，an＝51，则n＋d的最小值为(　　)

A．14 B．16

C．18 D．10

解析：由题意得1＋(n－1)d＝51，

即(n－1)d＝50，且d>0.

由(n－1)＋d≥2＝2 (当且仅当n－1＝d时等号成立)，

得n＋d≥10＋1，因为n，d均为正整数，

所以n＋d的最小值为16，选B.

答案：B

5．(2012年高考浙江卷)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(　　)

A．若d<0，则数列{Sn}有最大项

B．若数列{Sn}有最大项，则d<0

C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0

D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列

解析：利用函数思想，通过讨论Sn＝n2＋(a1－)n的单调性判断．

设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋(a1－)n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d<0，故A、B正确；因为{Sn}为递增数列，则d>0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－1<0，故C错误；对任意n∈N*，Sn均大于0时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列，D正确．

答案：C

二、填空题

6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式为________．

解析：由于Sn＝2n－an，所以Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后式减去前式，得Sn＋1－Sn＝2－an＋1＋an，即an＋1＝an＋1，变形为an＋1－2＝(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首项，为公比的等比数列．又a1＝2－a1，即a1＝1.则an－2＝(－1)·()n－1，所以an＝2－()n－1.

答案：2－()n－1

7．(2012年高考江西卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________．

解析：利用“特殊值”法，确定公比．

由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝＝＝11.

答案：11

8．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市卫生部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8 670人，则11月________日，该市感染此病毒的新患者人数最多．

解析：设该市11月n日新感染者有an人，在11月(x＋1)日开始控制病毒的传播，其中x∈N*，则由题意可知：an＝从而由条件得·x＋·(30－x)＝8 670，解之得x＝12或x＝49(舍去)，故易知11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多．

答案：12

三、解答题

9．(2012年长沙模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足4b1－1·42b2－1·43b3－1·…·4nbn－1＝(an＋1)n，求数列{bn}的通项公式．

解析：(1)∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，

∴＝2，

而a1＝1，a1＋1＝2≠0，故数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，

∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N*)．

(2)∵4b1－1·42b2－1·43b3－1·…·4nbn－1＝(an＋1)n，

∴4b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn－n＝2n2，

∴2(b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn)－2n＝n2，

即2(b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn)＝n2＋2n，①

当n≥2时，2[b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1]

＝(n－1)2＋2(n－1)＝n2－1，②

由①－②得2nbn＝2n＋1(n≥2)，bn＝1＋(n≥2)．

易知当n＝1时，4b1－1＝a1＋1＝2，得b1＝，满足上式，

∴bn＝1＋(n∈N*)．

10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n.

(1)求数列的通项公式an；

(2)设2bn＝an－1，且Tn＝＋＋…＋，求Tn.

解析：(1)因为Sn＝n2＋2n，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.

当n＝1时，a1＝S1＝3＝2×1＋12，满足上式．

故an＝2n＋1，n∈N*.

(2)因为2bn＝an－1，所以

bn＝(an－1)＝(2n＋1－1)＝n，

所以＝＝－，

所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋－＋…＋－＋－＝.

11．(2012年广州两校联考)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．

(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；

(2)求证：{an－3n}是等比数列并求数列{an}的通项公式；

(3)设3nbn＝n(3n－an)，且|b1|＋|b2|＋…＋|bn|<m对于n∈N*恒成立，求m的取值范围．

解析：(1)证明：由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1)(n≥2)，

∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15

故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．

(2)证明：由(1)得an＋1＋2an＝5·3n，

∴(an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n)，

故数列{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列，

∴an－3n＝2(－2)n－1，

即an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n

(3)由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]

＝n(－2)n，

∴bn＝n(－)n

令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|

＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n

Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1

得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n＋1＝－n()n＋1

＝2[1－()n]－n()n＋1

∴Sn＝6[1－()n]－3n()n＋1<6，要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|<m对于n∈N*恒成立，只须m≥6.

[优化探究]2014届高三数学一轮复习 1-4-2第二讲 数列的通项公式与数列求和专题检测 新人教A版