山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（4分）分式有意义，x的取值范围是（　　）

A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x=2 D．x=﹣2

2．（4分）下列因式分解正确的是（　　）

A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+x+1=（x+1）2

C．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 D．2x+4=2（x+2）

3．（4分）若a＞b，下列说法不一定成立的是（　　）

A．a+6＞b+6 B．a﹣6＞b﹣6 C．﹣6a＞﹣6b D．＞

4．（4分）八边形的内角和为（　　）

A．180° B．360° C．1080° D．1440°

5．（4分）用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（　　）

A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1 C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=109

6．（4分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（　　）

A．4个 B．6个 C．8个 D．10个

7．（4分）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°

8．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．2

9．（4分）如图，已知：函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）

A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2

10．（4分）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于（　　）

A． B． C． D．

11．（4分）若关x的分式方程﹣1=有增根，则m的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

12．（4分）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为

（　　）

A．9 B．10 C．9或10 D．8或10

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共24分）

13．（4分）分解因式：x3﹣4x=　 　．

14．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=　 　．

15．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n=　 　．

16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为　 　．

17．（4分）若代数式的值等于0，则x=　 　．

18．（4分）如图．正方形ABCD的边长为6．点E，F分别在AB，AD上．若CE=，且∠ECF=45°，则CF的长为　 　．

三、解答题（本大题共9题，满分58分）

19．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=﹣2．

20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．

（1）求证：四边形EBFD为平行四边形．

（2）对角线AC分别与DE、EF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．

21．（6分）某学校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同，求笔袋和笔记本的价格．

22．（8分）我们用[a]表示不大于a的最大整数，用＜a＞表示大于a的最小整数．例如：[2.5]=2，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3；＜2.5＞=3，＜4＞=5，＜﹣1.5＞=﹣1．[来源:学*科*网]

解决下列问题：

（1）[﹣4.5]=　 　，＜3.5＞=　 　．

（2）若[x]=2，则x的取值范围是　 　；若＜y＞=﹣1，则y的取值范围是　 　．

（3）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．

23．（9分）如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=2cm，求DF的长．

24．（10分）菱形ABCD在坐标系中位置如图所示，点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（1，0），点D在y轴上，∠DAB=60°．

（1）求点C、点D的坐标．

（2）点P是对角线AC上一个动点，当OP+BP最短时，求点P的坐标．

25．（12分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．

求证：中点四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）

附加题：（共20分）

26．（10分）已知一元二次方程ax2﹣bx+c=0的两个实数根满足|x1﹣x2|=，a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．

27．（10分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．

（1）证明：PC=PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

2016-2017学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（4分）分式有意义，x的取值范围是（　　）

A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x=2 D．x=﹣2

【解答】解：根据题意得：x+2≠0，

解得：x≠﹣2．

故选B．

2．（4分）下列因式分解正确的是（　　）

A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+x+1=（x+1）2

C．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 D．2x+4=2（x+2）

【解答】解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故此选项错误；

B、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项错误；

C、等式的右边不是乘积形式，不是因式分解，故此选项错误；

D、2x+4=2（x+2），故此选项正确；

故选：D．

3．（4分）若a＞b，下列说法不一定成立的是（　　）

A．a+6＞b+6 B．a﹣6＞b﹣6 C．﹣6a＞﹣6b D．＞

【解答】解：A、∵a＞b，

∴a+6＞b+6，故本选项不符合题意；

B、∵a＞b，

∴a﹣6＞b﹣6，故本选项不符合题意；

C、∵a＞b，

∴﹣6a＜﹣6b，故本选项符合题意；

D、∵a＞b，

∴＞，故本选项不符合题意；[来源:学。科。网Z。X。X。K]

故选C．

4．（4分）八边形的内角和为（　　）

A．180° B．360° C．1080° D．1440°

【解答】解：（8﹣2）•180°=6×180°=1080°．

故选：C．

5．（4分）用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（　　）

A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1 C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=109

【解答】解：方程x2+10x+9=0，

整理得：x2+10x=﹣9，

配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）2=16，

故选：A．

6．（4分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（　　）

A．4个 B．6个 C．8个 D．10个

【解答】解：∵正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，

∴AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，

∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，一共8个．

故选：C．

7．（4分）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°

【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，

∴∠B=∠ADB=70°，

∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，

∵AD=CD，

∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，

故选：A．

8．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．2

【解答】解：∵四边形ABCD菱形，

∴AC⊥BD，BD=2BO，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是正三角形，

∴∠BAO=60°，

∴BO=sin60°•AB=2×=，

∴BD=2．

故选：D．

9．（4分）如图，已知：函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）

A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2

【解答】解：∵函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），

则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，

故选B．

10．（4分）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：根据旋转的性质，易得△ACP′≌△ABP，∠BAP=∠CAP′，AP=AP′，

∵∠BAP+∠PAC=90°，

∴∠PP′C+∠PAC=90°，

∴△APP′是等腰直角三角形，

由勾股定理得PP′===3．

故选：A．

11．（4分）若关x的分式方程﹣1=有增根，则m的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：去分母得：2x﹣x+3=m，

由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，

把x=3代入整式方程得：m=6，

故选D．

12．（4分）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为

（　　）

A．9 B．10 C．9或10 D．8或10

【解答】解：∵三角形是等腰三角形，

∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，

①当a=2，或b=2时，

∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，

∴x=2，[来源:Z_xx_k.Com]

把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，

解得：n=9，

当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，

故n=9不合题意，

②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，

∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0

解得：n=10，

故选B．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共24分）

13．（4分）分解因式：x3﹣4x=　x（x+2）（x﹣2）　．

【解答】解：x3﹣4x，

=x（x2﹣4），

=x（x+2）（x﹣2）．

故答案为：x（x+2）（x﹣2）．

14．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=　30°　．

【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=（180°﹣120°）÷2=30°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠B=30°

故答案为：30°

15．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n=　﹣10　．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，

∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，

解得：m=﹣2，n=﹣8，

∴m+n=﹣10，

故答案为：﹣10．

16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为　5　．

【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，

∴CD=AB，

又∵EF是△ABC的中位线，

∴AB=2CD=2×5=10cm，

∴EF=×10=5cm．

故答案为：5．

17．（4分）若代数式的值等于0，则x=　2　．

【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣5x+6=0，2x﹣6≠0，

由x2﹣5x+6=0，得x=2或x=3，

由2x﹣6≠0，得x≠3，

∴x=2，

故答案为2．

18．（4分）如图．正方形ABCD的边长为6．点E，F分别在AB，AD上．若CE=，且∠ECF=45°，则CF的长为　2　．

【解答】解：如图，延长FD到G，使DG=BE；

连接CG、EF；

∵四边形ABCD为正方形，

在△BCE与△DCG中，，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，

∴∠GCF=45°，

在△GCF与△ECF中，

，

∴△GCF≌△ECF（SAS），

∴GF=EF，

∵CE=3，CB=6，

∴BE===3，

∴AE=3，

设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，

∴EF==，

∴（9﹣x）2=9+x2，

∴x=4，

即AF=4，

∴GF=5，

∴DF=2，

∴CF===2，

故答案为：2．

三、解答题（本大题共9题，满分58分）

19．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=﹣2．

【解答】解：原式=•

=，

当x=﹣2时，原式==．

20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．

（1）求证：四边形EBFD为平行四边形．

（2）对角线AC分别与DE、EF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE=DF，

∵BE∥DF，

∴四边形EBFD为平行四边形；

（2）证明：∵四边形EBFD为平行四边形，

∴DE∥BF，

∴∠CDM=∠CFN．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，

∴∠ABN=∠CDM，

在△ABN与△CDM中，

，

∴△ABN≌△CDM （ASA）．

21．（6分）某学校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同，求笔袋和笔记本的价格．

【解答】解：设每个笔记本的价格为x元，则每个笔袋的价格为（x+3）元，

由题意得， =，

解得x=4，

经检验，x=4是分式方程的解，

所以，x+3=4+3=7，

答：笔袋和笔记本的价格分别为7元和4元．

22．（8分）我们用[a]表示不大于a的最大整数，用＜a＞表示大于a的最小整数．例如： [2.5]=2，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3；＜2.5＞=3，＜4＞=5，＜﹣1.5＞=﹣1．

解决下列问题：

（1）[﹣4.5]=　﹣5　，＜3.5＞=　4　．

（2）若[x]=2，则x的取值范围是　2≤x＜3　；若＜y＞=﹣1，则y的取值范围是　﹣2≤y＜﹣1　．

（3）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．

【解答】解：（1）由题意得：[﹣4.5]=﹣5，＜y＞=4；

故答案为：﹣5，4；

（2）∵[x]=2，

∴x的取值范围是2≤x＜3；

∵＜y＞=﹣1，

∴y的取值范围是﹣2≤y＜﹣1；

故答案为：2≤x＜3，﹣2≤y＜﹣1；

（3）解方程组，

得：，

∴x的取值范围为﹣1≤x＜0，y的取值范围为1≤y＜2．

23．（9分）如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=2cm，求DF的长．

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠B=60°，

∵EF⊥DE，

∴∠DEF=90°，

∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；

（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，

∴△EDC是等边三角形．

∴ED=DC=2，

∵∠DEF=90°，∠F=30°，

∴DF=2DE=4．

24．（10分）菱形ABCD在坐标系中位置如图所示，点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（1，0），点D在y轴上，∠DAB=60°．

（1）求点C、点D的坐标．

（2）点P是对角线AC上一个动点，当OP+BP最短时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（1，0），

∴AB=2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=CD=BC=2，CD∥AB，

在Rt△ADO中，OD=AD•sin60°=，

∴D（0，），C（2，）．

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴B、D关于直线AC对称，设OD交AC于P，此时OP+PB的值最小，

∵P′O+P′B=P′D+P′O＞OD，

即P′O+P′B=P′D+P′O＞OP+PB．

在Rt△AOP中，∵∠PAO=∠DAB=30°，

∴OP=OA•tan30°=，

∴P（0，）．

25．（12分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．

求证：中点四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）

【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．[来源:学科网ZXXK]

∵点E，H分别为边AB，DA的中点，

∴EH∥BD，EH=BD，

∵点F，G分别为边BC，CD的中点，

∴FG∥BD，FG=BD，

∴EH∥FG，EH=GF，

∴中点四边形EFGH是平行四边形．

（2）四边形EFGH是菱形．

证明：如图2中，连接AC，BD．

∵∠APB=∠CPD，

∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD

即∠APC=∠BPD，

在△APC和△BPD中，

，

∴△APC≌△BPD，

∴AC=BD

∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，

∴EF=AC，FG=BD，

∵四边形EFGH是平行四边形，[来源:学科网ZXXK]

∴四边形EFGH是菱形．

（3）四边形EFGH是正方形．

证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．

∵△APC≌△BPD，

∴∠ACP=∠BDP，

∵∠DMO=∠CMP，

∴∠COD=∠CPD=90°，

∵EH∥BD，AC∥HG，

∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，

∵四边形EFGH是菱形，

∴四边形EFGH是正方形．

附加题：（共20分）

26．（10分）已知一元二次方程ax2﹣bx+c=0的两个实数根满足|x1﹣x2|=，a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．

【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程的两个实数根，

∴x1+x2=，x1•x2=，

∵a=c，

∴x1•x2==1，

∵|x1﹣x2|=，

∴x12+x22﹣2x1•x2=2，

∴（x1+x2）2﹣4x1•x2=2，

即：﹣4=2，

∴b=a，

∴∠A=∠C=30°，

∴∠B=120°．

答：∠B的度数为120°．

27．（10分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．

（1）证明：PC=PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，

∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE；

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠E，

∴∠DCP=∠E，

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，

即∠CPF=∠EDF=90°；

（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴PC=PE，

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PC，

∴∠DAP=∠AEP，

∴∠DCP=∠AEP

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，

即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，

∴△EPC是等边三角形，

∴PC=CE，

∴AP=CE．

山东省济南市历下区2018-2019学年八年级下期末数学试卷（含答案解析）