1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质

选题明细表

基础巩固

1.(2019·拉萨市高一月考)函数y=sin(x+)(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值为(　A　)

(A)7 (B)8 (C)9 (D)10

解析:函数y=sin(x+)(k>0)的最小正周期不大于2,可得T==≤2,k≥2π,则正整数k的最小值为7.故选A.

2.满足sin(x-)=的x的集合是(　D　)

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:sin(x-)=,

x-=2kπ+或x-=2kπ+π,k∈Z,

x=2kπ+π或x=2kπ+π,k∈Z.故选D.

3.(2018·贵阳市高一期末)在下列给出的函数中,以π为周期且在区间(0,)内是减函数的是(　B　)

(A)y=sin (B)y=cos 2x

(C)y=sin(x-) (D)y=sin(2x+)

解析:对于A,y=sin 的周期为T==4π,不合题意;

对于B,x∈(0,)时,2x∈(0,π),

所以y=cos 2x在(0,)上是减函数,

又函数的周期为T=π,满足题意;

对于C,x∈(0,)时,x-∈(-,),

所以y=sin(x-)在(0,)内是增函数,不合题意;

对于D,x∈(0,)时,2x+∈(,),

所以y=sin(2x+)在(0,)内不是单调递减函数,不合题意.故选B.

4.(2019·南昌市高一月考)已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下列结论错误的是(　A　)

(A)函数f(x)是奇函数

(B)函数f(x)的最小正周期为2π

(C)函数f(x)在区间[0,]上是增函数

(D)函数f(x)的图象关于直线x=0对称

解析:函数f(x)=sin(x-)

=-sin（-x）=-cos x(x∈R),

所以f(x)=-cos x是偶函数,A错误;

f(x)=-cos x的最小正周期为2π,B正确;

y=cos x在[0,]上是减函数,

所以f(x)=-cos x在区间[0,]上是增函数,C正确;

由y=cos x的图象知,f(x)=-cos x的图象关于直线x=0对称,D正确.故选A.

5.如果函数y=3cos(2x+)的图象关于点(,0)中心对称,那么||的最小值为(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:函数关于点(,0)对称,

则有3cos(2×+)=0,

即cos(+)=0,

所以cos(+)=0,

即+=+kπ,k∈Z,

即=-+kπ,k∈Z,

所以当k=0时,||=,此时||最小.

故选A.

6.(2018·巢湖市高一期末)函数f(x)=3cos(x-)的最小正周期为　　　　. 

解析:根据题意,函数f(x)=3cos(x-),

其中ω=,

其最小正周期T==4.

答案:4

7.函数f(x)=2sin(-2x)在[π,2π]上的单调递增区间是　　　　. 

解析:2kπ+≤-2x≤2kπ+π,k∈Z,

2kπ+≤-2x≤2kπ+π,k∈Z,

-kπ-π≤x≤-kπ-,k∈Z.又x∈[π,2π],

故当k=-2时,≤x≤满足题意.

答案:

8.已知函数f(x)=sin(2x+),试求为何值时:

(1)f(x)是奇函数?(2)f(x)是偶函数?

解:(1)因为f(x)的定义域为R,

所以当f(x)为奇函数时必有f(0)=0.

即sin =0,所以=kπ(k∈Z).

即当=kπ(k∈Z)时,f(x)=sin(2x+)是奇函数.

(2)因为偶函数的图象关于y轴对称,且正、余弦函数在对称轴处取

最值,

所以要使f(x)为偶函数,需有f(0)=±1,

即sin =±1.所以=kπ+(k∈Z).

即当=kπ+(k∈Z)时,f(x)=sin(2x+)是偶函数.

能力提升

9.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=则f(-)的值等于(　B　)

(A)1 (B) (C)0 (D)-

解析:由题意知,f(-)=f(-3×+)

=f()=sin =.

10.(2019·沈阳市高一期中)函数f(x)=sin(2x++)(||<)是偶函数,则下列说法错误的是(　C　)

(A)函数f(x)在区间(0,)上单调递减

(B)函数f(x)的图象关于直线x=-对称

(C)函数f(x)在区间(,)上单调递增

(D)函数f(x)的图象关于点(,0)对称

解析:因为函数f(x)=sin(2x++)(||<)是偶函数,

所以+=+kπ,k∈Z,

则=+kπ,k∈Z,=.

所以f(x)=sin(2x+)=cos 2x.

当x∈(0,)时,2x∈(0,π),函数f(x)在区间(0,)上单调递减,故A正确;

f(-)=cos(-π)=-,函数f(x)的图象关于直线x=-对称,故B

正确;

当x∈(,)时,2x∈(,),函数f(x)在区间(,)上先减后增,故C

错误;

f（）=cos=0,函数f(x)的图象关于点（,0）对称,故D正确.

所以说法错误的是C.故选C.

11.(2018·张家港市高一期中)已知函数f(x)=sin（x+）,其中x∈[-,],则f(x)的值域是　　　　. 

解析:函数f(x)=sin(x+),当x∈[-,]时,x+∈[-,],

所以sin(x+)∈[-,1];

且x=-时,f(x)取得最小值-,

x=时,f(x)取得最大值1;

所以f(x)的值域是[-,1].

答案:[-,1]

12.已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为[0,],最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.

解:因为0≤x≤,所以-≤2x-≤π,

所以-≤sin(2x-)≤1,易知a≠0.

当a>0时,f(x)max=2a+b=1,

f(x)min=-a+b=-5.

由解得

当a<0时,f(x)max=-a+b=1,

f(x)min=2a+b=-5.

由解得

探究创新

13.已知ω是正数,函数f(x)=2sin ωx在区间[-,]上是增函数,求ω的取值范围.

解:由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z)得

-+≤x≤+(k∈Z).

所以f(x)的单调递增区间是

[-+,+](k∈Z).

据题意,[-,]⊆[-+,+](k∈Z).

从而有解得0<ω≤.

故ω的取值范围是(0,].

由Ruize收集整理。

感谢您的支持！

人教A版高中数学必修四导练课时作业：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质