[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷39

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设矩阵，则A与B

（A）合同，且相似

（B）合同，但不相似

（C）不合同，但相似

（D）既不合同，也不相似

2 设，则在实数域上与A合同的矩阵为

二、填空题

3 若二次型f(x1，x2，x3)一2x12+x22+x23+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是________。

4 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2的秩为________。

5 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为________。

三、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α1+α3，Aα3=2α2+3α3

6 求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；

7 求矩阵A的特征值；

8 求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

9 问λ取何值时，二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3为正定二次型?

10 设A、B分别为m、n阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=是否正定矩阵。

11 设二次型f=x12+x22+x32+2αx1x2一2βx2x3+2x1x3经正交交换X=PY化成f=y22+2y32，其中X=(x1，x2，x3)T和Y=(y1，y2，y3)T是3维列向量，P是3阶正交矩阵，试求常数α，β。

12 已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。 (1)写出二次型f的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

13 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。

14 设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+α1x2)2+(x2+x2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数。试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型。

14 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n一中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=

15 记X一(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A-1。

16 二次型g(x)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由。

16 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+222一223+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12．

17 求a，b的值；

18 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

19 设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。(Ⅰ)计算PTDP，其中(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B—CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论。

19 设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(n一1)x23+2x1x3—2x2x3。

20 求二次型f的矩阵的所有特征值；

21 若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。

21 已知，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2．

22 求实数a的值；

23 求正交变换x=Qy将f化为标准形。

23 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1，a2x2，a3x3)2+(b1x1，b2x2，b3x3)2，记

24 证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT。

25 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

26 设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明：A+E的行列式大于1．

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