百校联盟2018届TOP20三月联考（全国Ⅱ卷）

理科数学

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合word/media/image1.gif，word/media/image2.gif，则集合word/media/image3.gif的子集个数为（ ）

A. word/media/image4.gif B. word/media/image5.gif C. word/media/image6.gif D. word/media/image7.gif

2.已知word/media/image8.gif是虚数单位，word/media/image9.gif，则复数word/media/image10.gif（ ）

A. word/media/image11.gif B. word/media/image12.gif C. word/media/image13.gif D. word/media/image14.gif

3.古代数学名著《张丘建算经》中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，债务过期第一天要纳利息word/media/image4.gif尺绢，过期第二天利息是word/media/image5.gif尺，这样，每天利息比前一天增多word/media/image4.gif尺，若过期word/media/image15.gif天，欠债方共纳利息为（ ）

A. word/media/image15.gif尺 B. word/media/image16.gif尺 C. word/media/image17.gif尺 D. word/media/image18.gif尺

4.某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（ ）

A. word/media/image20.gif种 B. word/media/image21.gif种 C. word/media/image22.gif种 D. word/media/image23.gif种

5.函数word/media/image24.gif的图像上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的word/media/image25.gif，得到函数word/media/image26.gif的图象，则word/media/image27.gif时，word/media/image26.gif的取值范围是（ ）

A. word/media/image28.gif B. word/media/image29.gif C. word/media/image30.gif D. word/media/image31.gif

6.已知word/media/image32.gif为坐标原点，等轴双曲线word/media/image33.gif的左，右顶点分别为word/media/image34.gif，word/media/image35.gif，若双曲线word/media/image36.gif的一条渐近线上存在一点word/media/image37.gif，使得word/media/image38.gif，且word/media/image39.gif的面积为word/media/image40.gif，则双曲线word/media/image36.gif的方程为（ ）

Aword/media/image41_1.pngword/media/image42.gif B. word/media/image43.gif C. word/media/image44.gif D. word/media/image45.gif

7.执行如图所示的程序框图，则输出的word/media/image46.gif值为（ ）

A. word/media/image48.gif B. word/media/image49.gif C. word/media/image50.gif D. word/media/image51.gif

8.某几何体word/media/image52_1.png三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A. word/media/image54.gif B. word/media/image55.gif C. word/media/image7.gif D. word/media/image56.gif

9.当word/media/image57.gif时，下列有关函数word/media/image58.gif，word/media/image59.gif的结论正确的个数为（ ）

①word/media/image60.gif是偶函数；

②word/media/image60.gif与word/media/image26.gif有相同的对称中心；

③函数word/media/image61.gif与word/media/image62.gif的图象交点的横坐标之和为word/media/image63.gif；

④函数word/media/image61.gif与word/media/image62.gifword/media/image52_1.png图象交点的纵坐标之和为word/media/image64.gif.

A. word/media/image4.gif B. word/media/image5.gif C. word/media/image6.gif D. word/media/image7.gif

10.已知word/media/image32.gif为坐标原点，平行四边形word/media/image65.gif内接于椭圆word/media/image66.gif，点word/media/image67.gif，word/media/image68.gif分别为word/media/image69.gif，word/media/image70.gif的中点，且word/media/image71.gif，word/media/image72.gif的斜率之积为word/media/image73.gif，则椭圆word/media/image74.gif的离心率为（ ）

A. word/media/image25.gif B. word/media/image75.gif C. word/media/image76.gif D. word/media/image77.gif

11.如图：word/media/image69.gif是圆锥底面圆的直径，word/media/image78.gif，word/media/image79.gif是圆锥的两种母线，word/media/image80.gif为底面圆的中心，过word/media/image79.gif的中点word/media/image81.gif作平行于word/media/image78.gif的平面word/media/image82.gif，使得平面word/media/image82.gif与底面圆的交线长为word/media/image7.gif，沿圆锥侧面连接word/media/image83.gif点和word/media/image81.gif点，当曲线段word/media/image70.gif长度的最小值为word/media/image84.gif时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（ ）

A. word/media/image86.gif B. word/media/image87.gif C. word/media/image88.gif D. word/media/image89.gif

12.已知函数word/media/image90.gif，word/media/image91.gif，存在word/media/image92.gif，使得word/media/image93.gif的最小值为word/media/image6.gif，则函数word/media/image91.gif图象上一点word/media/image37.gif到函数word/media/image90.gif图象上一点word/media/image94.gif的最短距离为（ ）

A. word/media/image95.gif B. word/media/image96.gif C. word/media/image97.gif D. word/media/image4.gif

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知菱形word/media/image65.gif的边长为word/media/image4.gif，word/media/image98.gif，word/media/image99.gif，word/media/image100.gif，则word/media/image101.gif__________．

14.若word/media/image102.gif，word/media/image103.gif满足约束条件word/media/image104.gif则word/media/image105.gif的取值范围为__________．

15.春节临近，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）均服从正态分布word/media/image106.gif，若word/media/image107.gif，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过word/media/image108.gif人的概率为__________．

16.已知数列word/media/image109.gif的奇数项和偶数项为公比为word/media/image110.gif的等比数列，word/media/image111.gif，且word/media/image112.gif.则数列word/media/image113.gif的前word/media/image114.gif项和的最小值为__________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知在锐角word/media/image115.gif中，word/media/image116.gif，word/media/image117.gif，word/media/image118.gif分别是角word/media/image83.gif，word/media/image119.gif，word/media/image36.gif的对边，点word/media/image81.gif在边word/media/image120.gif上，且word/media/image121.gif，word/media/image122.gif，word/media/image123.gif.

（1）求word/media/image119.gif；

（2）求word/media/image115.gif周长的最大值.

18.某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出word/media/image4.gif个获得利润word/media/image125.gif元，未售出的每个亏损word/media/image6.gif元.根据以往word/media/image15.gif天的资料统计，得到如下需求量表.元日这天，此蛋糕店制作了这款蛋糕word/media/image126.gif个.以word/media/image102.gif（单位：个，word/media/image127.gif）表示这天的市场需求量. word/media/image46.gif（单位：元）表示这天出售这款蛋糕获得的利润.

（1）当word/media/image133.gif时，若word/media/image134.gif时获得的利润为word/media/image135.gif，word/media/image136.gif时获得的利润为word/media/image137.gif，试比较word/media/image135.gif和word/media/image137.gif的大小；

（2）当word/media/image134.gif时，根据上表，从利润word/media/image46.gif不少于word/media/image138.gif元的天数中，按需求量分层抽样抽取word/media/image55.gif天，

（ⅰ）求这word/media/image55.gif天中利润为word/media/image139.gif元的天数；

（ⅱ）再从这word/media/image55.gif天中抽取word/media/image6.gif天做进一步分析，设这word/media/image6.gif天中利润为word/media/image139.gif元的天数为word/media/image140.gif，求随机变量word/media/image140.gif的分布列及数学期望.

19.如图，在几何体word/media/image141.gif中，四边形word/media/image65.gif为直角梯形，word/media/image142.gif，四边形word/media/image143.gif为矩形，且word/media/image144.gif，word/media/image145.gif，word/media/image146.gif为word/media/image147.gif的中点.

（1）求证：word/media/image148.gif平面word/media/image149.gif；

（2）若word/media/image150.gif，求平面word/media/image151.gif与平面word/media/image152.gif所成的锐二面角的大小.

20.在平面直角坐标系word/media/image154.gif中，点word/media/image155.gif关于直线word/media/image156.gif对称的点word/media/image157.gif位于抛物线word/media/image158.gif上.

（1）求抛物线word/media/image36.gifword/media/image52_1.png方程；

（2）设抛物线word/media/image36.gif的准线与其对称轴的交点为word/media/image83.gif，过点word/media/image83.gif的直线word/media/image159.gif交抛物线word/media/image36.gif于点word/media/image160.gif，word/media/image37.gif，直线word/media/image161.gif交抛物线word/media/image36.gif于另一点word/media/image94.gif，求直线word/media/image162.gif所过的定点.

21.已知函数word/media/image163.gif.

（1）设word/media/image164.gif，讨论word/media/image26.gif的单调性；

（2）若不等式word/media/image165.gif恒成立，其中word/media/image166.gif为自然对数的底数，求word/media/image167.gif的最小值.

22.已知直线word/media/image168.gif（word/media/image169.gif为参数），曲线word/media/image170.gif（word/media/image171.gif为参数），以坐标原点为极点，word/media/image102.gif轴的正半轴为极轴建立直角坐标系.

（1）求曲线word/media/image172.gif的极坐标方程，直线word/media/image173.gif的普通方程；

（2）把直线word/media/image173.gif向左平移一个单位得到直线word/media/image174.gif，设word/media/image174.gif与曲线word/media/image172.gifword/media/image52_1.png交点为word/media/image160.gif，word/media/image157.gif，word/media/image37.gif为曲线word/media/image172.gif上任意一点，求word/media/image175.gif面积的最大值.

23.已知函数word/media/image176.gif的最小值为word/media/image160.gif.

（1）若word/media/image177.gif，求证：word/media/image178.gif；

（2）若word/media/image179.gif，word/media/image180.gif，求word/media/image181.gif的最小值.

百校联盟2018届TOP20三月联考（全国II卷）理数试题