2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（—）

数学Ⅰ试题 2014.3

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.

1.已知集合,若,则实数= .

2.若,为虚数单位),则= .

word/media/image8.gif3.若向量,且,则实数= .

4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 .

word/media/image15.gif5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 .

6.在中,已知,则 .

7.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的S的值

为 .

8.已知四边形为梯形, ,为空间一直线,则“垂直于两腰”是“垂直于两底”的 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).

9．若的值为 ．

10. 在平面直角坐标系word/media/image27.gif中，双曲线word/media/image28.gif的左顶点为word/media/image29.gif，过双曲线word/media/image30.gif的右焦点word/media/image31.gif作与实轴垂直的直线交双曲线word/media/image30.gif于word/media/image32.gif，word/media/image33.gif两点， 若word/media/image34.gif为直角三角形，则双曲线word/media/image30.gif的离心率为 ．

11. 在平面区域word/media/image35.gif上恒有word/media/image36.gif，则动点word/media/image37.gif所形成平面区域的面积为 .

12.已知关于word/media/image38.gif的不等式word/media/image39.gif（word/media/image40.gif恰好有一解，则word/media/image41.gif的最小值为 ．

13.设函数word/media/image42.gif在R上存在导数word/media/image43.gif，对任意的word/media/image44.gif有word/media/image45.gif，且在word/media/image46.gif上，word/media/image47.gif，若word/media/image48.gif则实数word/media/image49.gif的取值范围为 ；

14. 已知word/media/image50.gif为word/media/image51.gif的三个内角, 向量word/media/image52.gif,word/media/image53.gif.如果当word/media/image33.gif最大时,存在动点word/media/image54.gif, 使得word/media/image55.gif成等差数列, 则word/media/image56.gif最大值是 ；

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．(本小题满分14分)

已知函数.

(1) 求函数的最小正周期； (2) 求函数在区间上的函数值的取值范围.

16．(本小题满分14分)

如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.

word/media/image65.gif (1)求证:面；

(2)求证:平面平面.

17．(本小题满分14分)

在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形的三边、、由长6分米的材料弯折而成,边的长为分米()；曲线拟从以下两种曲线中选择一种:曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为),此时记门的最高点到边的距离为；曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高点到边的距离为.

(1)试分别求出函数、的表达式；

(2)要使得点到边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?

word/media/image89.gif

18.（本小题满分16分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为4。

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ），是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点。

1 若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；

2 当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由。

word/media/image96.gif

19. （本小题满分16分）

已知函数（是自然对数的底数）.

（1）当word/media/image99.gif时，曲线word/media/image100.gif在处取得极值，求实数的值；

（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与 在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.

⒛（本小题满分16分）

设等差数列word/media/image112.gif的前word/media/image113.gif项和为word/media/image114.gif，已知word/media/image115.gif，word/media/image116.gif。

⑴求word/media/image114.gif；

⑵若从word/media/image112.gif中抽取一个公比为word/media/image117.gif的等比数列word/media/image118.gif，其中word/media/image119.gif，且word/media/image120.gif，word/media/image121.gif。

①当word/media/image117.gif取最小值时，求word/media/image122.gif的通项公式；

②若关于word/media/image113.gif（word/media/image123.gif）的不等式word/media/image124.gif有解，试求word/media/image117.gif的值。

参考答案：

一、填空题：

1.3 2. 2 3. －4 4. 5.120 6. 7.21 8.充分不必要

9. ；10. 2； 11. 4； 12. 2 13. word/media/image128.gif 14. word/media/image129.gif

二、解答题：

15．解: (1)因为……………………………………………………………4分

……………………………………………………………………………………………6分

故的最小正周期为………………………………………………………………………………8分

(2)当时,…………………………………………………………………10分

故所求的值域为………………………………………………………………………………14分

16．（1）证明:设,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以…………4分

而,所以面…………………………………………………7分

(2)连接PO,因为,所以,又四边形是菱形,所以…………10分

而面,面,,所以面……………………………13分

又面,所以面面……………………………………………………………14分

17．解:(1)对于曲线,因为曲线的解析式为,所以点D的坐标为……2分

所以点到的距离为,而,

则…………………………………………………4分

对于曲线,因为抛物线的方程为,即,所以点D的坐标为………2分

所以点到的距离为,而,所以……………7分

(2)因为,所以在上单调递减,所以当时,取得最大值

为…………………………………………………………………………………………………9分

又,而,所以当时,取得最大值为……………………11分

因为,所以,

故选用曲线,当时,点到边的距离最大,最大值为分米……………………………14分

18. 解：（Ⅰ）设C方程为

由已知b= 离心率 得

所以，椭圆C的方程为

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得占P、Q的坐标为 ，，则，

设AB(),直线AB的方程为，代人

得 由△>0,解得，由根与系数的关系得

四边形APBQ的面积

故，当

②∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为，

则PB的斜率为，

PA的直线方程为与联立解得

，

同理PB的直线方程，可得

所以

所以直线AB的斜率为定值

19. 解：（1），word/media/image207.gif，由word/media/image100.gif在处取得极值得：word/media/image208.gif =0，

word/media/image209.gif，经检验word/media/image209.gif是word/media/image42.gif的极小值点；

（2）

①当时，在上单调递增，且当时，，

，故不恒成立，所以不合题意 ；……………6分

②当时，对恒成立，所以符合题意；

③当时令，得， 当时，，

当时，，故在上是单调递减，在上是单调递增, 所以又，，

综上：. ………10分

(3)当时，由（2）知，

设，则，

假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，………………………13分

令得：，因为， 所以.

令，则 ，

当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程 有唯一解为1，

所以存在符合条件的，且仅有一个. ………16分

20．解：（1）设等差数列的公差为word/media/image258.gif，则word/media/image259.gif，解得word/media/image260.gif， …………2分

所以word/media/image261.gif. …………4分

（2）因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，

若，则由，得，此时，由，

解得，所以，同理； …………6分

若，则由，得，此时，

另一方面，word/media/image277.gif，所以word/media/image278.gif，即word/media/image279.gif， …………8分

所以对任何正整数，是数列的第项．所以最小的公比．

所以． …………10分

（3）因为word/media/image285.gif，得word/media/image286.gif，而word/media/image287.gif，

所以当word/media/image287.gif且word/media/image288.gif时，所有的word/media/image286.gif均为正整数，适合题意；

当word/media/image289.gif且word/media/image290.gif时，word/media/image291.gif不全是正整数，不合题意.

而word/media/image292.gif有解，所以word/media/image293.gif有解，经检验，当word/media/image294.gif，word/media/image295.gif，word/media/image296.gif时，word/media/image297.gif都是word/media/image293.gif的解，适合题意； ……………12分

下证当word/media/image298.gif时，word/media/image293.gif无解, 设word/media/image299.gif，

则word/media/image300.gif，

因为word/media/image301.gif，所以word/media/image302.gif在word/media/image303.gif上递减，

又因为word/media/image304.gif，所以word/media/image305.gif恒成立，所以word/media/image306.gif，所以word/media/image307.gif恒成立，

又因为当word/media/image298.gif时，word/media/image308.gif，所以当word/media/image298.gif时，word/media/image292.gif无解. ………………15分

综上所述，word/media/image117.gif的取值为word/media/image309.gif ………………16分

2013-2014苏锡常镇高三数学一模模拟卷