正六边形中平行四边形的个数详解

把正六边形的各边n等分，用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样，正六边形就变成了由许多相同的小正三角形组成的网格状图形。通过仔细观察可以发现，网格中不仅有小正三角形，还有许多大小不同的平行四边形、平行四边形和正六边形。那么网格中一共有多少个大小不同的正三角形、平行四边形、平行四边形和正六边形呢？

这是一个有趣又有一定难度的数数问题，通过分析解答该题可以锻炼我们的观察分析能力和归纳推理能力。由于受篇幅限制，本文只对网格中一共有多少个大小不同的平行四边形给予解答。

我们可以从研究分析简单的情形入手，最后归纳出一般的公式。

如图，把正六边形的各边2等分，用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样，正六边形就变成了由有限个相同的小正三角形组成的网格状图形。图中一共有多少个大小不同的平行四边形呢？

通过观察分析可以发现，正六边形中有三组不同方向的平行线段，会产生三种不同方向的平行四边形。由于正六边形的对称性，三种不同方向的平行四边形的个数相等。因此，我们只要数出水平左斜方向上平行四边形的个数，再乘3就可得出图中一共有多少个大小不同的平行四边形。

细看图中在水平左斜方向上既有斜边长为1，（图中小正三角形的边长规定为1个单位长度）底长为1～2的平行四边形，又有斜边长为2，底长为1～2的平行四边形，还有斜边长为3底长为1的平行四边形。

下面我们从上到下逐行数出水平左斜方向上平行四边形的个数。

第一行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2+1=3个。

第二行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3+2+1=6个。

为便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形，以下各行类同第二行。因此第二行还包括斜边长为2，底长为1～2的平行四边形，共有2+1=3个。所以第二行共有6+3=9个平行四边形。

第三行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3+2+1=6个。还有斜边长为2，底长为1～2的平行四边形，共有2+1=3个。还有1个斜边长为3，底长为1的平行四边形，所以第三行共有6+3+1=10个平行四边形。

第四行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2+1=3个。还有斜边长为2，底长为1～2的平行四边形，共有2+1=3个，还有1个斜边长为3，底长为1的平行四边形。所以第三行共有3+3+1=7个平行四边形。

因此，水平左斜方向上平行四边形共有３+9+10+7=29个。

29×3=87，所以图中一共有87个大小不同的平行四边形。

通过分析可以发现，第一行到最后一行（第2n行）中每一行平行四边形的个数有三种情况。第一行到第n行是一种情况，每行平行四边形的个数的表达式（第i行，1≤i≤n)是：

［（n-１+ i）+（n-２+ i）+…+１］+［（n-２+i）+（n-３+ i）+…+１］+…+［n+（n-１）+…+１］

说明：其中第一个中括号内的各项是斜边长为1，底长分别为1～n-1+ i的平行四边形的个数，第二个中括号内的各项是斜边长为2，底长分别为1～n-2+i的平行四边形的个数，……，最后一个中括号内的各项是斜边长为i，底长分别为1～n的平行四边形的个数。

第n+１行到第2n-１行是一种情况，每行平行四边形的个数的表达式（第n+j行，1≤j≤n-１)是：

［（2n-j）+（2n-1-j ）+…+１］×j+［（2n-1-j）+（2n-2-j）+…+１］+［（2n-2-j）+（2n-3-j）+…+１］+…+［（n-j）+（n-１-j）+…+１］

说明：其中第一个中括号内的各项是斜边长为1，底长分别为1～2n-j的平行四边形的个数，由于在第n+j行中，斜边长为1～j，底长分别为1～2n-j的平行四边形的个数是相等的，所以斜边长为1～j，底长分别为1～2n-j的平行四边形的个数和是［（2n-j）+（2n-1-j ）+…+１］×j。第二个中括号内的各项是斜边长为j+1，底长分别为1～2n-1-j的平行四边形的个数，……，最后一个中括号内的各项是斜边长为n+j，底长分别为1～n-j的平行四边形的个数。

第2n行是一种情况,平行四边形的个数的表达式是：

［n+（n-1）+…+1］×n+［（n-1）+（n-2）…+1］+［（n-2）+（n-3）…+1］+…+1

说明：其中第一个中括号内的各项是斜边长为1，底长分别为1～n的平行四边形的个数，由于在该行中，斜边长为1～n，底长分别为1～n的平行四边形的个数是相等的，所以斜边长为1～n，底长分别为1～n的平行四边形的个数和是［n+（n-1）+…+1］×n。第二个中括号内的各项是斜边长为n +1，底长分别为1～n-1的平行四边形的个数，……，最后的1是斜边长为2n-1，底长为1的平行四边形的个数。

下面把三种情况的表达式整理化简如下：

1、［（n-１+ i）+（n-２+ i）+…+１］+［（n-２+i）+（n-３+ i）+…+１］+…+［n+（n-１）+…+１］

=［n+（n-１）+…+１］×i+（n+1）（i-1）+（n+2）（i-2）+…+（n-１+ i）×1

=i［n+（n-１）+…+１］+［（n+r）（i-r）］（1≤r≤i-１)

=in（n+１）+［ni+(i-n)r-r］

=in（n+１）+ni（i-１）+(i-n)［1+2+…+(i-1)］-［1+2+…+ (i-1)］

=in（n+１）+ni（i-１）+i（i-１）(i-n)- i（i-１）（2i-１）

=ni+ni+ni-ni+ni-ni-i+ni-i+i-i

=ni-i+ni+i

2、［（2n-j）+（2n-1-j ）+…+１］×j+［（2n-1-j）+（2n-2-j）+…+１］+［（2n-2-j）+（2n-3-j）+…+１］+…+［（n-j）+（n-１-j）+…+１］

=j（2n-j）（2n+1-j）+［（n-j）+（n-１-j）+…+１］×n+（n+1-j）×（n-１）+（n+2-j）×（n-2）+…+（2n-1-j）×1

=j（2n-j）（2n+1-j）+n（n-j）（n+1-j）+［（n+s-j）（n-s）］（1≤s≤n-1)

=j（2n-j）（2n+1-j）+n（n-j）（n+1-j）+（n-nj+js- s）

=j（2n-j）（2n+1-j）+n（n-j）（n+1-j）+（n-nj）（n-1）+j［1+2+…+（n-1）］-［1+2+…+（n-1）］

=j（2n-j）（2n+1-j）+n（n-j）（n+1-j）+（n-nj）（n-1）+jn（n-1）-n（n-1）（2n-1）

=2nj-2nj+nj-j+j+n+n-nj-nj+nj+n-n- nj+nj+nj-nj-n+n-n

=n-n+nj+nj-nj-j+j

3、［n+（n-1）+…+1］×n+［（n-1）+（n-2）…+1］+［（n-2）+（n-3）…+1］+…+1

=n（n+1）×n+1×（n-1）+2×（n-2）+…+（n-1）×1

=n（n+1）+［t（n-t）］（1≤t≤n-1)

=n（n+1）+ (nt-t）

=n（n+1）+n［1+2+…+（n-1）］-［1+2+…+（n-1）］

=n（n+1）+n（n-1）×n-n（n-1）（2n-1）

=n+n+n-n-n+n-n

=n+n-n

由此可得，第一行到第n行水平左斜方向上的平行四边形的个数是：

(ni-i+ni+i)

=（n-）（1+2+…+n）+n(1+2+…+n)+×(1+ 2+…+n)

=（n-）n（n+1）+n×n（n+1）（2n +1）+×［×n（n+1）］

=n+n-n-n+n+n+n+n+n+n =n+n+n-n

第n+1行到第2n-1行水平左斜方向上的平行四边形的个数是：

(n-n+nj+nj-nj-j+j)

=(n-n)(n-1)+( n+n)［1+2+…+(n-1）］-(n+) ［1+2+…+(n-1）］+［1+ 2+…+(n-1)］

=(n-n)(n-1)+ n(n-1)( n+n)- n(n-1)(2n-1) (n+)+［×n（n-1）］

=n-n-n+n+n+n-n-n+n-n+n-n+n

=n-n-n+n

所以，正六边形中平行四边形的个数是：

（n+n+n-n+n-n-n+n+n+n-n）×3=（n+n-n）×3=n+2n-n

有了公式，正六边形中平行四边形的个数就不需要再费心费力地去数了，只要用公式进行简单的计算就行了。

注：在以上整理化简和求和过程中，多次用到了以下三个求和公式：

1、1+2+…+n=n(n+1)/2

2、1+2+…+n=n(n+1)(2n+1)/6

3、1+ 2+ …+n=［n(n+1)/2］

下表是正六边形各边等分数n为1～6时正六边形中大小不同的平行四边形的个数：

有兴趣的读者可以亲自画图数一数，分析验证一下。

二〇一二年十月三十日

正六边形中平行四边形的个数详解