知识点五、直线和圆的位置关系:相交、相切、相离
发布时间:2020-05-28 13:33:19
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知识点五、直线和圆的位置关系:相交、相切、相离
重点:,直线和圆的位置关系的性质和判定
难点:直线和圆三种位置关系的性质及判定。
当直线和圆相交时,d<r;反过来,当d<r时,直线和圆相交。[来源:Zxxk.Com]
当直线和圆相切时,d=r;反过来,当d=r时,直线和圆相切。
当直线和圆相离时,d>r;反过来,当d>r时,直线和圆相离。
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的直径
切线的判定定理:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。
例1、 在中,BC=6cm,∠B=30°,∠C=45°,以A为圆心,当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切?相交?相离?
解题思路:作AD⊥BC于D
在中,∠B=30° ∴
在中,∠C=45°
∴ CD=AD
∵ BC=6cm ∴
∴
∴ 当时,⊙A与BC相切;当时,⊙A与BC相交;当时,⊙A与BC相离。
例2.如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,且∠DCB=∠A.
(1)CD与⊙O相切吗?如果相切,请你加以证明,如果不相切,请说明理由.
(2)若CD与⊙O相切,且∠D=30°,BD=10,求⊙O的半径.
解题思路:(1)要说明CD是否是⊙O的切线,只要说明OC是否垂直于CD,垂足为C,因为C点已在圆上.
由已知易得:∠A=30°,又由∠DCB=∠A=30°得:BC=BD=10
解:(1)CD与⊙O相切
理由:①C点在⊙O上(已知)
②∵AB是直径
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°
∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A
∴∠OCA=∠DCB
∴∠OCD=90°
综上:CD是⊙O的切线.
(2)在Rt△OCD中,∠D=30°
∴∠COD=60°
∴∠A=30°
∴∠BCD=30°
∴BC=BD=10
∴AB=20,∴r=10
答:(1)CD是⊙O的切线,(2)⊙O的半径是10.
练习:1.如图,AB为⊙O直径,BD切⊙O于B点,弦AC的延长线与BD交于D点,若AB=10,AC=8,则DC长为________.
2.如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A、B为切点,弦AB与PO交于C,⊙O半径为1,PO=2,则PA_______,PB=________,PC=_______AC=______,BC=______∠AOB=________.
3.如图,P为⊙O外一点,PA切⊙O于点A,过点P的任一直线交⊙O于B、C,连结AB、AC,连PO交⊙O于D、E.
(1)求证:∠PAB=∠C.
(2)如果PA2=PD·PE,那么当PA=2,PD=1时,求⊙O的半径.
答案: 1.A 2.B 3. (1)提示:作直径AF,连BF,如右图所示.
(2)由已知PA2=PD·PE,可得⊙O的半径为.