2013年重庆市中考数学试卷(B)及答案(Word解析版)

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重庆市2013年中考数学试卷（B卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑（或将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内）．1．（4分）（2013•重庆）在﹣2，0，1，﹣4这四个数中，最大的数是（）A．﹣4
B．﹣2
C．0
D．1
考点：有理数大小比较
分析：根据正数大于0，负数小于0，负数绝对值越大越小即可求解．
解答：解：在﹣2、0、1，﹣4这四个数中，
大小顺序为：﹣4＜﹣2＜0＜1，所以最大的数是1．故选D．点评：此题主要考查了有理数的大小的比较，解题的关键利用正负数的性质及数轴可以解决
问题．2．（4分）（2013•重庆）如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2等于（）

60°50°40°30°A．B．C．D．
考点：平行线的判定与性质分析：先根据对顶角相等得出∠3，然后判断a∥b，再由平行线的性质，可得出∠2的度数．解答：解：∵∠1和∠3是对顶角，
∴∠1=∠3=50°，∵c⊥a，c⊥b，∴a∥b，
∵∠2=∠3=50°．故选B．

点评：本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是掌握两直线平行内错角相等，对
顶角相等．3．（4分）（2013•重庆）计算3x3÷x2的结果是（）A．B．C．3x2x23x2
D．3



考点：整式的除法分析：单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有
的字母直接作为商的一个因式．
﹣
解答：解：原式=3x32=3x．
故选C．点评：本题考查了整式的除法运算，属于基础题，掌握整式的除法运算法则是关键．4．（4分）（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：3
考点：相似三角形的性质．
分析：已知相似三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出答
案．解答：解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，
∴△DEF与△ABC的面积比为32：42，即△ABC与△DEF的面积比为9：16．故选D．点评：此题考查了相似三角形的性质，掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解答
本题的关键．5．（4分）（2013•重庆）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣2），则这个正比例函数的解析式为（）A．y=2x
B．y=﹣2x
C．

D．

B．3：4
C．16：9
D．9：16

考点：待定系数法求正比例函数解析式分析：利用待定系数法把（﹣1，2）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式．解答：解：∵正比例函数y=kx经过点（﹣1，2），
∴2=﹣1•k，解得：k=﹣2，
∴这个正比例函数的解析式为：y=﹣2x．故选B．
点评：此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，题目比较简单，关键是能正确代入
即可．6．（4分）（2013•重庆）为了比较甲乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取50株，分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙的方差分别是3.5、10.9，则下列说法正确的是（）A．甲秧苗出苗更整齐B．乙秧苗出苗更整齐C．甲、乙出苗一样整齐D．无法确定甲、乙出苗谁更整齐
考点：方差．分析：方差反映一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即可得出答案．


解答：解：∵甲、乙方差分别是3.5、10.9，
∴S2甲＜S2乙，
∴甲秧苗出苗更整齐；故选A．点评：本题考查方差的意义，它表示一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也
成立．7．（4分）（2013•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）

A．6cm
B．4cm
C．2cm
D．1cm

考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，
再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC﹣BE，代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，
∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，
∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm．故选C．点评：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1
是正方形是解题的关键．8．（4分）（2013•重庆）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）

40°50°65°75°A．B．C．D．
考点：切线的性质．专题：数形结合．分析：根据切线的性质可判断∠OBA=90°，再由∠BAO=40°可得出∠O=50°，在等腰△OBC


中求出∠OCB即可．
解答：解：∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，∵∠BAO=40°，∴∠O=50°，
∵OB=OC（都是半径），
∴∠OCB=（180°﹣∠O）=65°．
故选C．点评：本题考查了切线的性质，解答本题的关键在判断出∠OBA为直角，△OBC是等腰三
角形，难度一般．9．（4分）（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）

A．2
考点：含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形分析：在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB．解答：解：在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=1，
则AD=CD=1，
在Rt△CDB中，∠B=30°，CD=1，
则BD=，
故AB=AD+BD=+1．故选D．点评：本题考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两
种特殊直角三角形的性质．10．（4分）（2013•重庆）2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家．其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．
B．

C．

D．





考点：函数的图象分析：童童的行程分为5段，①离家至轻轨站；②在轻轨站等一会；③搭乘轻轨去奥体中心，
④观看比赛，⑤乘车回家，对照各函数图象即可作出判断．解答：解：①离家至轻轨站，y由0缓慢增加；
②在轻轨站等一会，y不变；
③搭乘轻轨去奥体中心，y快速增加；④观看比赛，y不变；
⑤乘车回家，y快速减小．
结合选项可判断A选项的函数图象符合童童的行程．故选A．点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要我们能将函数图象和实际对应起来，结合当前
的一档娱乐节目出题，立意新颖，是一道不错的题目．11．（4分）（2013•重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（）

A．51
B．70
C．76
D．81

考点：规律型：图形的变化类专题：压轴题．
分析：通过观察图形得到第①个图形中棋子的个数为1=1+5×0；
第②个图形中棋子的个数为1+5=6；
第③个图形中棋子的个数为1+5+10=1+5×3=16；…
所以第n个图形中棋子的个数为1+
，然后把n=6代入计算即可．
解答：解：观察图形得到第①个图形中棋子的个数为1=1+5×0；
第②个图形中棋子的个数为1+5=6；
第③个图形中棋子的个数为1+5+10=1+5×3=16；…
所以第n个图形中棋子的个数为1+当n=6时，1+
=76
，
故选C．点评：本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或
按规律变化的因素，然后推广到一般情况．


12．（4分）（2013•重庆）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数
（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、
BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：
①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，其中正确结论的个数是（）
）．

A．1

B．2
C．3
D．4
考点：反比例函数综合题
专题：压轴题；探究型．
分析：
根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S△ONC=S△OAM=k，即
OC•NC=OA•AM，而OC=OA，则NC=AM，在根据“SAS”可判断△OCN≌△OAM；根据全等的性质得到ON=OM，由于k的值不能确定，则∠MON的值不能确定，所以确定△ONM为等边三角形，则ON≠MN；根据S△OND=S△OAM=k和S△OND+S四边形即可得到DAMN=S△OAM+S△OMN，
S四边形DAMN=S△OMN；作NE⊥OM于E点，则△ONE为等腰直角三角形，设NE=x，则OM=ON=x，EM=x﹣x=（﹣1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x2=2+，所以ON2=（x）2=4+2，易得△BMN为等腰直角三角形，得到BN=
MN=
，设正方形ABCO的边长为a，在Rt+1，从而得到C点坐标为（0，
+1）．
△OCN中，利用勾股定理可求出a的值为
解答：
解：∵点M、N都在y=的图象上，
∴S△ONC=S△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠ONC=∠OAM=90°，∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，所以①正确；∴ON=OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，


∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，∴ON≠MN，所以②错误；∵S△OND=S△OAM=k，
而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，
∴四边形DAMN与△MON面积相等，所以③正确；作NE⊥OM于E点，如图，∵∠MON=45°，
∴△ONE为等腰直角三角形，∴NE=OE，
设NE=x，则ON=x，∴OM=x，
∴EM=x﹣x=（﹣1）x，在Rt△NEM中，MN=2，∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（∴x2=2+，
∴ON2=（x）2=4+2，∵CN=AM，CB=AB，∴BN=BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，∴BN=
MN=
，
﹣1）x]2，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a﹣，在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a﹣）2=4+2，解得a1=+1，a2=﹣1（舍去），∴OC=+1，
∴C点坐标为（0，+1），所以④正确．故选C．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的
几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡（卷）中对应的横线上．
13．（4分）（2013•重庆）实数“﹣3”的倒数是﹣．



考点：倒数分析：
根据倒数的定义，a的倒数是（a≠0），据此即可求解．解答：
解：﹣3的倒数是：﹣．
故答案是：﹣．
点评：本题考查了倒数的定义，理解定义是关键．
14．（4分）（2013•重庆）分式方程
考点：解分式方程
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．解答：解：去分母得：x﹣2=1，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．故答案为：x=3．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整
式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15．（4分）（2013•重庆）某届青年歌手大奖赛上，七位评委为甲选手打出的分数分别是：96.5，97.1，97.5，98.1，98.1，98.3，98.5．则这组数据的众数是98.1．
考点：众数分析：根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可．解答：解：这一组数据中98.1是出现次数最多的，故众数是98.1，
故答案为：98.1．
点评：本题考查了众数的知识，属于基础题，熟练掌握众数的定义是解题的关键．16．（4分）（2013•重庆）如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留π）π﹣2．
的解为x=3．


考点：扇形面积的计算．分析：先根据扇形面积公式计算出扇形面积，然后计算出三角形AOB的面积，继而用扇形
面积﹣三角形面积可得出阴影的面积．


解答：
解：S扇形=
==π，
S△AOB=×2×2=2，
则S阴影=S扇形﹣S△AOB=π﹣2．故答案为：π﹣2．点评：本题考查了扇形面积的计算，难度一般，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算
公式．17．（4分）（2013•重庆）在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别是O（0，0），B（1，1），A（x，y）（﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2，x，y均为整数），则所作△OAB为直角三角形的概率是
．

考点：概率公式
专题：压轴题．分析：根据已知得出A点坐标，进而得出△OAB为直角三角形时A点坐标个数，进而利用
概率公式求出即可．解答：解：∵A（x，y）（﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2，x，y均为整数），
∴A点坐标可以为：（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，﹣2），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，﹣2），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2）；只有A点坐标为：（0，2）（0，1），（1，0），（2，0），（0．﹣1），（0．﹣2），（1，﹣1），（﹣1，1），（2，﹣2），（﹣2.2）一共10种情况时△OAB为直角三角形，
∴所作△OAB为直角三角形的概率是：故答案为：．
点评：此题考查了直角三角形的性质和判定以及概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）
=．
18．（4分）（2013•重庆）如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为（，）．
=．




考点：一次函数综合题专题：压轴题．
分析：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠
CMP=∠DNP=∠CPD=90°，求出∠MCP=∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN=PM，PN=CM，设AD=x，求出DN=2x﹣1，得出2x﹣1=1，求出x=1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC=PD=，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM=2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．解答：
解：
过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，
∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，∴∠MCP=∠DPN，∵P（1，1），
∴OM=BN=1，PM=1，在△MCP和△NPD中

∴△MCP≌△NPD，∴DN=PM，PN=CM，∵BD=2AD，
∴设AD=x，BD=2x，∵P（1，1），∴DN=2x﹣1，则2x﹣1=1，x=1，
即BD=2，C的坐标是（0，3），


∵直线y=x，∴AB=OB=3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD=在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM=则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入得：k=﹣，即直线CD的解析式是y=﹣x+3，
=2，
=
，
即方程组得：，
即Q的坐标是（，），故答案为：（，）．
点评：本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．19．（7分）（2013•重庆）计算：

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
专题：压轴题．分析：分别进行乘方、绝对值、零指数幂、开立方等运算，然后按照实数的运算法则计算即
可．解答：解：原式=﹣1﹣2+1×2+4=3．点评：本题考查了实数的运算，涉及了乘方、绝对值、零指数幂、开立方等知识，属于基础
题．20．（7分）（2013•重庆）如图，在边长为1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A、B、C、D分别在网格的格点上．
（1）请你在所给的网格中画出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于直线l对称，其中点A′、B′、C′、D′分别是点A、B、C、D的对称点；（2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出线段A′B′的长度．
．




考点：作图-轴对称变换
专题：压轴题．分析：（1）根据轴对称的性质，找到各点的对称点，顺次连接即可；
（2）结合图形即可得出线段A′B′的长度．解答：解：（1）所作图形如下：
．
（2）A'B'=
=
．
点评：本题考查了轴对称变换的知识，要求同学们掌握轴对称的性质，能用格点三角形求线
段的长度．
四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．21．（10分）（2013•重庆）先化简，再求值：等式3x+7＞1的负整数解．
考点：分式的化简求值；一元一次不等式的整数解分析：首先把分式进行化简，再解出不等式，确定出x的值，然后再代入化简后的分式即可．
，其中x是不


解答：
解：原式=[
﹣
]×
，
=×，
==
，
×，
3x+7＞1，
3x＞﹣6，x＞﹣2，
∵x是不等式3x+7＞1的负整数解，∴x=﹣1，把x=﹣1代入
中得：
=3．
点评：此题主要考查了分式的化简求值，以及不等式的整数解，关键是正确把分式进行化简．22．（10分）（2013•重庆）为了贯彻落实国家关于增强青少年体质的计划，重庆市全面实施了义务教育学段中小学学生“饮用奶计划”的营养工程．某牛奶供应商似提供A（原味）、B（草莓味）、C（核桃味）、D（菠萝味）、E（香橙味）等五种口味的学生奶供学生选择（所有学生奶盒形状、大小相同），为了了解对学生奶口味的喜好情况，某初级中学九年级（1）班张老师对全班同学进行了调查统计，制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）该班五种口味的学生奶喜好人数组成一组统计数据，直接写出这组数据的平均数，并将折线统计图补充完整；
（2）在进行调查统计的第二天，张老师为班上每位同学发放一盒学生奶，喜好B味的小明和喜好C味的小刚等四位同学最后领取，剩余的学生奶放在同一纸箱里，分别有B味2盒，C味和D味各1盒，张老师从该纸箱里随机取出两盒学生奶．请你用列表法或画树状图的方法，求出这两盒牛奶恰好同时是小明和小刚喜好的学生奶的概率．



考点：折线统计图；扇形统计图；列表法与树状图法分析：（1）根据喜欢B类型的人数及所占比例可得出学生总数，然后求出A类型的人数、
E类型的人数，从而求出平均数，补全统计图即可；
（2）画出树状图，即可求出这两盒牛奶恰好同时是小明和小刚喜好的学生奶的概率．解答：解：（1）总人数=12÷30%=40人，
则喜欢E类型的人数=40×15%=6人，喜欢A类型的人数=40﹣12﹣8﹣10﹣6=4，补全统计图如下：

这组数据的平均数=
（2）设所剩学生奶分别为B1、B2、C、D，画出树状图如下：
=8；

或列表如下：

由树状图或列表可知，一共有12种等可能的情况，其中恰好同时是小明和小刚喜好的有2种，
所以这两盒牛奶同时是小明和小刚喜好的学生奶的概率为：P=
=．
点评：本题考查了折线统和扇形统计图的知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键，注意画出树状图或列表求概率．


23．（10分）（2013•重庆）“4•20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？
（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300m顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑
次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．

考点：一元二次方程的应用；一元一次方程的应用专题：压轴题．
分析：（1）设小货车每次运送x顶，则大货车每次运送（x+200）顶，根据两种类型的车辆
共运送16800顶帐篷为等量关系建立方程求出其解即可；
（2）根据（1）的结论表示出大小货车每次运输的数量，根据条件可以表示出大货车
现在每天运输次数为（1+m）次，小货车现在每天的运输次数为（1+m）次，根据一天恰好运送了帐篷14400顶建立方程求出其解就可以了
解答：解：（1）设小货车每次运送x顶，则大货车每次运送（x+200）顶，
根据题意得：2[2（x+200）+8x]=16800，解得：x=800．
∴大货车原计划每次运：800+200=1000顶
答：小货车每次运送800顶，大货车每小时运送1000顶；
（2）由题意，得2×（1000﹣200m）（1+m）+8（800﹣300m）（1+m）=14400，解得：m=2或m=21（舍去）．答：m的值为2．
点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时
根据各部分工作量之和=工作总量建立方程是关键．24．（10分）（2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；（2）求证：∠CEG=∠AGE．


考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．


专题：压轴题．
分析：（1）求出DC=CE=2CF=4，求出AB，根据勾股定理求出BE即可；
（2）过G作GM⊥AE于M，证△DCF≌△ECG，推出CG=CF，求出M为AE中点，得出等于三角形AGE，根据性质得出GM是∠AGE的角平分线，即可得出答案．解答：（1）解：∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2，
∴DC=CE=2CF=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=
（2）证明：过G作GM⊥AE于M，∵AE⊥BE，
∴GM∥BC∥AD，
∵在△DCF和△ECG中，
，
∴△DCF≌△ECG（AAS），∴CG=CF，
∵CE=CD，CE=2CF，∴CD=2CG
即G为CD中点，∵AD∥GM∥BC，∴M为AE中点，∵GM⊥AE，∴AM=EM，
∴∠AGE=2∠MGE，∵GM∥BC，
∴∠EGM=∠CEG，∴∠CEG=∠AGE．
=
；

点评：本题考查了平行四边形性质，等于三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，
全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．


五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．25．（12分）（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．


考点：二次函数综合题专题：压轴题．
分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运
用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；
（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组
，即可求出点P的坐标．
解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，
得
，解得
，
所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，


得，解得，
所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；
（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+∴当x=时，MN有最大值
；
，

（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，
∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，
∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．
设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，
∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），
设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，
将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组
，得
，
，
∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．



点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析
式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P与Q的位置是关键．26．（12分）（2013•重庆）已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
考相似形综合题点：
分（1）如答图1所示，证明QEMG为平行四边形，则运动路程QG=EM=10，t值可求；


析：（2）△APQ是等腰三角形，分为三种情形，需要分类讨论，避免漏解．如答图2、答
图3、答图4所示；
（3）整个运动过程分为四个阶段，每个阶段重叠图形的形状各不相同，如答图5﹣答图8所示，分别求出其面积的表达式．解解：（1）在Rt△GMN中，GN=6，GM=8，∴MN=10．答：由题意，易知点G的运动线路平行于BC．
如答图1所示，过点G作BC的平行线，分别交AE、AF于点Q、R．

∵∠AED=∠EGM=90°，∴AE∥GM．∴四边形QEMG为平行四边形，∴QG=EM=10．∴t=
=10秒．

（2）存在符合条件的点P．
在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20．设∠AEB=θ，则sinθ=，cosθ=．
∵NE=t，∴QE=NE•cosθ=t，AQ=AE﹣QE=20﹣t．△APQ是等腰三角形，有三种可能的情形：
①AP=PQ．如答图2所示：
过点P作PK⊥AE于点K，则AK=AP•cosθ=t．∵AQ=2AK，∴20﹣t=2×t，解得：t=
；
②AP=AQ．如答图3所示：


有t=20﹣t，解得：t=
；
③AQ=PQ．如答图4所示：
过点Q作QK⊥AP于点K，则AK=AQ•cosθ=（20﹣t）×=16﹣∵AP=2AK，∴t=2（16﹣解得：t=
．
，
或
秒时，存在点P，使△APQ是等腰三角形．t），
t．
综上所述，当t=

（3）如答图1所示，点N到达点F的时间为t=7；由（1）知，点G到达点G的时间为t=10；QE=10×=8，AQ=20﹣8=12，∵GR∥BC，∴
，即
，∴QR==
；
．
∴点G到达点R的时间为t=10+点E到达终点B的时间为t=16．则在△GMN运动的过程中：①当0≤t＜7时，如答图5所示：
QE=NE•cosθ=t，QN=NE•sinθ=t，S=QE•QN=•t•t=
t2；

②当7≤t＜10时，如答图6所示：设QN与AF交于点I，∵tan∠INF=
=，tan∠IFN=
=，
∴∠INF=∠IFN，△INF为等腰三角形．
底边NF上的高h=NF•tan∠INF=×（t﹣7）×=（t﹣7）．


S△INF=NF•h=×（t﹣7）×（t﹣7）=（t﹣7）2，∴S=S△QNE﹣S△INF=③当10≤t＜
t2﹣（t﹣7）2=
t2+
t﹣
；
时，如答图7所示：
由②得：S△INF=（t﹣7）2，
∴S=S△GMN﹣S△INF=24﹣（t﹣7）2=﹣t2+
t+
；

④当
＜t≤16时，如答图8所示：
FM=FE﹣ME=FE﹣（NE﹣MN）=17﹣t．
设GM与AF交于点I，过点I作IK⊥MN于点K．∵tan∠IFK=∵tan∠IMF=∴IK=4x=
=，∴可设IK=4x，FK=3x，则FM=3x+17﹣t．=
=，解得：x=（17﹣t）．
（17﹣t）．
∴S=FM•IK=（t﹣17）2．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=
点本题是运动型综合题，难度较大，解题关键是清楚理解图形的运动过程．计算过程较为
评：复杂，需要仔细认真；第（2）（3）问中，注意均需要分情况讨论，分别计算，避免漏
解．

2013年重庆市中考数学试卷(B)及答案(Word解析版)

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