任意角的概念与弧度制

角的概念的推广

.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角.

.理解象限角的概念.

.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置.(重点)

[基础·初探]

教材整理　角的概念

阅读教材～“例”以上内容，完成下列问题.

.角的概念

()角的形成：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

()角的分类：

按旋转方向可将角分为如下三类：

①正角：按照逆时针方向旋转而成的角；

②负角：按照顺时针方向旋转而成的角；

③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角.

.角的加减法运算

()射线绕端点旋转到位置所成的角，记作∠，其中叫做∠的始边，叫做∠的终边.

()引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β).这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和.

时钟经过小时，时针转动的角的大小是.　

【解析】时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过个小时时针转动一个周角，故经过个小时时针转动周角的，所以转动的角的大小是－×°＝－°.

【答案】－°

教材整理　终边相同的角

阅读教材“例”以下～“第行”以上内容，完成下列问题.

.前提：α表示任意角.

.表示：所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为＝{ββ＝α＋·°，∈}.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

()终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.(　　)

()终边相同的角有无数个，它们相差°的整数倍.(　　)

()终边相同的角的表示不唯一.(　　)

【解析】由终边相同角的定义可知()()()正确.

【答案】()√　()√　()√

教材整理　象限角

阅读教材“第行”～“例”以上内容，完成下列问题.

.象限角：平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴正半轴重合.这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.

.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.

下列说法：

①第一象限角一定不是负角；

②第二象限角大于第一象限角；

③第二象限角是钝角；

④小于°的角是钝角、直角或锐角.

其中错误的序号为.(把错误的序号都写上)

【解析】由象限角定义可知①②③④都不正确.

【答案】①②③④

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问：

解惑：

疑问：

解惑：

疑问：

解惑：

[小组合作型]

　()已知集合＝{第一象限角}，＝{锐角}，＝{小于°的角}，则下面关系正确的是(　　)　　　　　　　　　

＝＝ ⊆

∩＝ ∪⊆

()下面与－°′终边相同的角是(　　)

°′ °′

°′ °′

【精彩点拨】正确理解第一象限角、锐角、小于°的角的概念.

【自主解答】()第一象限角可表示为·°<α<·°＋°，∈；锐角可表示为°<β<°；小于°的角可表示为γ<°；由三者之间的关系可知，选.

()与－°′终边相同的角可表示为α＝－°′＋·°(∈)，当＝时，α＝－°′＋ °＝°′.

【答案】()　()

.判断角的概念问题的关键与技巧：

()关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.

()技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.

.在°到°范围内找与给定角终边相同的角的方法：

()一般地，可以将所给的角α化成·°＋β的形式(其中°≤β<°，∈)，其中的β就是所求的角.

()如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加°的方式；当所给角是正角时，采用连续减°的方式，直到所得结果达到要求为止.常见°的倍数如下：

×°＝°，

×°＝°，

×°＝ °，

×°＝ °，

×°＝ °.

[再练一题]

.有下列说法：

①相差°整数倍的两个角，其终边不一定相同；

②终边相同的角一定相等；

③终边关于轴对称的两个角α，β之和为·°，(∈).

其中正确说法的序号是.

【导学号：】

【解析】①不正确.终边相同的两个角一定相差°的整数倍，反之也成立；

②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差·°，(∈)；

③正确.因为终边关于轴对称的两个角，当α∈(－°，°)，且β∈(－°，°)时α＋β＝°，当α，β为任意角时，α＋β＝·°(∈).

【答案】③

　()如图­­，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(　　)

图­­

.{α·°＋°<α<·°＋°，∈}

.{α·°＋°<α<·°＋°，∈}

.{α·°＋°<α<·°＋°，∈}

.{α·°＋°<α<·°＋°，∈}

()已知角β的终边在如图­­所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.

图­­

【精彩点拨】

【自主解答】()在°～°内落在阴影部分角的范围为大于°而小于°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α·°＋°<α<·°＋°，∈}.

【答案】

()阴影在轴上方部分的角的集合为：

＝{β·°＋°≤β<·°＋°，<}.

阴影在轴下方部分的角的集合为：＝{β·°＋°≤β<·°＋°，∈}.

所以阴影部分内角β的取值范围是∪，即{β·°＋°≤β<·°＋°，∈}∪{β·°＋°≤β<·＋°，∈)，其中可以化为：{β·°＋°＋°≤β<·°＋°＋°，∈}.

即{β(＋)×°＋°≤β<(＋)×°＋°，∈}.

集合可以化为

{β2m×°＋°≤β<2m×°＋°，∈}.

故∪可化为{β·°＋°≤β<·°＋°，∈}.

表示区间角的三个步骤：

第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－°～°范围内的角α和β，写出最简区间{α<<β}，其中β－α<°；

第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上°的整数倍，即得区间角集合.

[再练一题]

.写出图­­中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.

图­­

【解】在－°～°内落在阴影部分角集合为大于－°小于°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α－°＋·°<α<°＋·°，∈}.

[探究共研型]

探究　由α所在象限如何求(∈*)所在象限？

【提示】()画图法：将各象限等分，从轴正半轴开始逆时针方向依次标注，循环下去，直到填满为止，则当α在第象限时，就在号区域.例如：当角α在第二象限时，在图＝时的号区域，在图＝时的号区域.

但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法.

()代数推导法：运用代数式一步一步推理.如：当角α在第二象限时，＋·°<α<°＋·°，∈，则°＋·°<<°＋·°，∈，所以在第一、二、四象限.

探究　若角α与β的终边关于轴、轴、原点、直线＝对称，则角α与β分别具有怎样的关系？

【提示】()关于轴对称：若角α与β的终边关于轴对称，则角α与β的关系是β＝°－α＋·°，∈.

()关于轴对称：若角α与β的终边关于轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋·°，∈.

()关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝°＋α＋·°，∈.

()关于直线＝对称：若角α与β的终边关于直线＝对称，则角α与β的关系是β＝－α＋°＋·°，∈.

　()(·北京高一检测)若α是第四象限角，则°－α是(　　)

.第一象限角 .第二象限角

.第三象限角 .第四象限角

()已知α为第二象限角，则α，分别是第几象限角？

【精彩点拨】()可通过写出α的取值范围，逐步求得°－α范围来求解；()可由α范围写出α，的范围后，直接求得α的范围，然后分为奇数或偶数两种情况确定的位置.

【自主解答】()因为α是第四象限角，则角α应满足：

·°－°<α<·°，∈，

所以－·°<－α<－·°＋°，

则－·°＋°<°－α<－·°＋°＋°，∈，

当＝时，°<°－α<°，

故°－α为第三象限角.

【答案】

()∵α是第二象限角，

∴°＋·°<α<°＋·°，

∴°＋·°<α<°＋·°，∈，

∴α是第三或第四象限角，或是终边落在轴的非正半轴上的角.

同理°＋·°<<°＋·°.

当为偶数时，

不妨令＝，∈，

则°＋·°<<°＋·°，

此时，为第一象限角；

当为奇数时，令＝＋，∈，

则°＋·°<<°＋·°，

此时，为第三象限角.

∴为第一或第三象限角.

解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出α或的范围，再根据与的关系进行讨论.

[再练一题]

.本例()中条件不变，试判断是第几象限角？

【解】∵α是第二象限角，

∴°＋·°<α<°＋·°，∈，

∴°＋·°<<°＋·°，∈.

当＝，∈时，

°＋·°<<°＋·°，∈此时为第一象限角，当＝＋，∈时，

°＋·°<<°＋·°，∈，

此时为第二象限角，当＝＋，∈时，

°＋·°<<°＋·°，∈，此时为第四象限角.

∴为第一、第二或第四象限角.

.若α是第一象限角，则－是(　　)

.第一象限角　　　　　.第一、四象限角

.第二象限角 .第二、四象限角

【解析】因为α是第一象限角，所以为第一、三象限角，所以－是第二、四象限角.

【答案】

.与－°角终边相同的角的集合是(　　)

.{αα＝·°＋°，∈}

.{αα＝·°＋°，∈}

.{αα＝·°＋°，∈}

.{αα＝·°－°，∈}

【解析】当选项的集合中＝－时，α＝－°.

【答案】

.下列各角中，与°角的终边相同的角是(　　)

° °

.－° .－°

【解析】与°终边相同的角的集合为＝{ββ＝°＋·°，∈}，

当＝－时，β＝°－°＝－°，故选.

【答案】

.若角α与角β终边相同，则α－β＝.

【解析】根据终边相同角的定义可知：

α－β＝·°(∈).

【答案】　·°(∈)

.在°到°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：

()－°；()°.

【导学号：】

【解】()与－°终边相同的角的集合为＝{ββ＝－°＋·°，∈}.

当＝时，β＝－°＋×°＝°，

∴在°到°范围内，与－°终边相同的角是°，它是第三象限的角.

()与°终边相同的角的集合为＝{ββ＝°＋·°，∈}.

当＝－时，β＝°－°＝°，

∴在°到°范围内，与°终边相同的角为°，它是第四象限的角.

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[学业达标]

一、选择题

.已知＝{第二象限角}，＝{钝角}，＝{大于°的角}，那么，，关系是(　　)

＝∩∪＝

＝＝

【解析】钝角大于°，小于°，故，选项正确.

【答案】

.下列是第三象限角的是(　　)

.－° .－°

° .－°

【解析】－°是第三象限角，－°是第二象限角，°是第一象限角，－°是第四象限角.故选.

【答案】

.终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　)

.{αα＝·°，∈}

.{αα＝·°＋°，∈}

.{αα＝·°，∈}

.{αα＝·°，∈}

【解析】终边在坐标轴上的角为°或°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{αα＝·°，∈}.故选.

【答案】

.若α是第一象限的角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　)

°－α °＋α

°－α °＋α

【解析】因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以°－α为第四象限角.

【答案】

.在平面直角坐标系中，若角α与角β的终边互为反向延长线，则必有(　　)

.α＝－β

.α＝·°＋β(∈)

.α＝°＋β

.α＝·°＋°＋β(∈)

【解析】因为角α与角β的终边互为反向延长线，所以角α与角β的终边关于原点对称，所以α＝·°＋°＋β(∈).

【答案】

二、填空题

.在°～°范围内，与角－°的终边在同一条直线上的角为.

【解析】根据终边相同角定义知，与－°终边相同角可表示为β＝－°＋·°(∈)，当＝时β＝°与－°终边相同，终边在其反向延长线上且在°～°范围内角为°.故填°，°.

【答案】　°，°

.设集合＝{·°＋°<<·°＋°，∈}，＝{·°－°<<·°，∈}，则∩＝.

【导学号：】

【解析】∩＝{·°＋°<<·°＋°，∈}∩{·°－°＋°<<·°－°＋°，∈}＝{·°＋°<<·°＋°，∈}∩{(－)·°＋°<<(－)·°＋°，∈}＝{·°＋°<<·°＋°，∈}

【答案】{·°＋°<<·°＋°，∈}

三、解答题

.在与°终边相同的角中，求满足下列条件的角.

()最大的负角；

()最小的正角；

()－°到－°的角.

【解】与°终边相同的角为·°＋°，∈.

()由－°＜·°＋°＜°，且∈可得＝－，故所求的最大负角为－°.

()由°＜·°＋°＜°且∈可得＝－，

故所求的最小正角为°.

()由－°≤·°＋°≤－°且∈得＝－，故所求的角为－°.

.若角β的终边落在直线＝－上，写出角β的集合；当－°＜β＜°时，求角β.

【解】∵角β的终边落在直线＝－上，

∴在°到°范围内的角为°和°，

∴角β的集合为{＝·°＋°，∈}.

当－°＜β＜°时，

角β为－°，－°，°，°.

[能力提升]

.如图­­，终边落在直线＝±上的角α的集合是(　　)

图­­

.{αα＝·°＋°，∈}

.{αα＝·°＋°，∈}

.{αα＝·°－°，∈}

.{αα＝·°＋°，∈}

【解析】终边落在直线＝±在[°，°)内角有°，°，°和°共四个角，相邻两角之间均相差°，故终边落在直线＝±上的角的集合为{αα＝·°＋°，∈}.

【答案】

.已知，如图­­所示.

图­­

()分别写出终边落在，位置上的角的集合；

()写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.

【解】()终边落在位置上的角的集合为{αα＝°＋°＋·°，∈}＝{αα＝°＋·°，∈}，

终边落在位置上的角的集合为{ββ＝－°＋·°，∈}.

()由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于[－°，°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α－°＋·°≤α≤°＋·°，∈}.

虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事，但古人说得好——吃一堑，长一智。多了一次失败，就多了一次教训；多了一次挫折，就多了一次经验。没有失败和挫折的人，是永远不会成功的。 快乐学习并不是说一味的笑，而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的，人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和坚持会撑起你的整个世界，愿你做自己生命中的船长，在属于你的海洋中一帆风顺，珍惜生命并感受生活的真谛！ 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的，对吗,智者千虑，必有一失；愚者千虑，必有一得,学习必须与实干相结合,学习，就要有灵魂，有精神和有热情，它们支持着你的全部！灵魂，认识到自我存在，认识到你该做的是什么；精神，让你不倒下，让你坚强，让你不畏困难强敌；热情，就是时刻提醒你，终点就在不远方，只要努力便会成功的声音，他是灵魂与精神的养料，它是力量的源泉。

2017-2018学年高中数学必修4学案（29份） 人教课标版（新教案）