第一节　一次方程(组)与分式方程

考点1　一次方程(组)的解法

1.[2016内蒙古包头]若2(a+3)的值与4互为相反数,则a的值为(　　)

A.-1　 B.-　 C.-5　 D.

2.[2018北京]方程组 的解为(　　)

A.　　　　 B.

C.　　　　 D.

3.[2018四川乐山]方程组==x+y-4的解是(　　)

A. B.

C. D.

4.[2018内蒙古包头]若a-3b=2,3a-b=6,则b-a的值为　　　　. 

5.[2018山东滨州]若关于x,y的二元一次方程组的解是则关于a,b的二元一次方程组的解是　　　　. 

考点2　一次方程(组)的实际应用

6.[2018黑龙江龙东地区]为奖励消防演练活动中表现优异的同学,某校决定用1 200元购买篮球和排球,其中篮球每个120元,排球每个90元,在购买资金恰好用尽的情况下,购买方案有(　　)

A.4种　 B.3种 C.2种　 D.1种

7.[2018河北]有三种不同质量的物体“”“”“”,其中,同一种物体的质量都相等,现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是(　　)

　　　　A　　　　　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　　　　D

8.(6分)[2017广东]学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书.若男生每人整理30本,女生每人整理20本,共能整理680本;若男生每人整理50本,女生每人整理40本,共能整理1 240本,求男生、女生志愿者各有多少人.

9.(9分)[2018湖南长沙]随着中国传统节日“端午节”的临近,东方红商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌的粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折.已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5 200元.

(1)打折前,每盒甲、乙品牌粽子分别为多少元?

(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,则打折后购买这批粽子比打折前节省了多少钱?

考点3　分式方程的解法和实际应用

10.[2018湖南株洲]关于x的分式方程+=0解为x=4,则常数a的值为(　　)

A.a=1 B.a=2

C.a=4 D.a=10

11.[2018黑龙江龙东地区]已知关于x的分式方程=1的解是负数,则m的取值范围是(　　)

A.m≤3 B.m≤3且m≠2

C.m<3 D.m<3且m≠2

12.(8分)[2018江苏扬州]京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉,全长1 462 km,是我国最繁忙的铁路干线之一.如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍,且客车比货车少用6 h,那么货车的速度是多少?(结果精确到0.1 km/h)

13.(9分)[2018广东]某公司购买了一批A,B型芯片,其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元,已知该公司用3 120元购买A型芯片的条数与用4 200元购买B型芯片的条数相等.

(1)该公司购买的A,B型芯片的单价各是多少元?

(2)若两种芯片共购买了200条,且购买的总费用为6 280元,则购买了多少条A型芯片?

1.[2018郑州一模]一件风衣,按成本价提高50%后标价,后因季节关系按标价的8折出售,每件卖180元,这件风衣的成本价是(　　)

A.150元 B.80元 C.100元 D.120元

2.[2018南阳宛城区模拟]已知是二元一次方程组的解,则a-b的值为(　　)

A.3 B.2 C.1 D.-1

3.[2018商丘地区模拟]解分式方程+=,分以下四步,其中,错误的一步是(　　)

A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)

B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6

C.解这个整式方程,得x=1

D.原方程的解为x=1

4.[2018江苏无锡滨湖区一模]某校春季运动会比赛中,八年级(1)班和(5)班的竞技实力相当.关于比赛结果,甲同学说:(1)班与(5)班得分比为6∶5;乙同学说:(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分.若设(1)班得x分,(5)班得y分,根据题意所列的方程组应为(　　)

A. B.

C. D.

5.[2018安阳二模]九年级学生去距学校10 km的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20 min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x km/h,则下列方程正确的是(　　)

A.-=20 B.-=20

C.-= D.-=

6.(6分)[2018周口二模]某服装店用6 000元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3 800元(毛利润=售价-进价),这两种服装的进价、标价如表所示:

求这两种服装各购进的件数.

7.(10分)[2018平顶山二模]某经销商经销的冰箱二月份的售价比一月份每台降价500元,已知卖出相同数量的冰箱,一月份的销售额为9万元,二月份的销售额只有8万元.

(1)二月份每台冰箱的售价为多少元?

(2)为了提高利润,该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售,已知每台洗衣机的进价为4 000元,每台冰箱的进价为3 500元.若预计用不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台,设购进冰箱y台(y≤12),则有几种进货方案?

(3)为了促销,该经销商三月份决定冰箱的售价不变,但每售出一台冰箱返还顾客现金a元,而洗衣机按每台4 400元销售.在这种情况下,若按(2)中各个方案进货且全部售空后获得的利润相同,则a应取何值?

第二节　一元二次方程

考点1　一元二次方程及其解法

1.[2018贵州铜仁]关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解为(　　)

A.x1=-1,x2=3 B.x1=1,x2=-3

C.x1=1,x2=3 D.x1=-1,x2=-3

2.[2018浙江舟山]欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法:如图,画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=.则该方程的一个正根是(　　)

A.AC的长 B.AD的长

C.BC的长 D.CD的长

3.[2018湖南益阳]规定:a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3)×3=15,若2⊗x=3,则x=　　　　. 

4.[2018江苏扬州]若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2 015的值为　　　　. 

考点2　一元二次方程根的判别式

5.[2018安徽中考改编]关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0(a≠-1)的根的情况是(　　)

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.无实数根 D.无法确定

6.[2018福建A]已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,下列判断正确的是(　　)

A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

7.(9分)[2018北京]关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.

(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;

(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.

考点3　一元二次方程的应用

8.[2018四川眉山]我市某楼盘准备以6 000元/m2的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以4 860元/m2的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是(　　)

A.8% B.9% C.10% D.11%

9.[2018四川绵阳]在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,那么参加酒会的人数为(　　)

A.9人 B.10人 C.11人 D.12人

10.(9分)[2018贵州遵义]在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.

(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量.

(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元?

11.(10分)[2018湖北宜昌]某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理,若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算,第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.

(1)求n的值;

(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量;

(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a.在(2)的情况下,第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等.第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值.

1.[2018郑州外国语三模]若关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(　　)

A.k>-1　　　 B.k<-1

C.k≥-1且k≠0　 D.k>-1且k≠0

2.[2018四川德阳旌阳区模拟]用配方法解方程x2-x-1=0时,应将其变形为(　　)

A.(x-)2= B.(x+)2=

C.(x-)2=0 D.(x-)2=

3.[2018平顶山二模]关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为(　　)

A.1或-1　　 B.1　　　

C.-1　　　 D.0

4.[2018南阳地区模拟]关于x的一元二次方程x2-2x+k+2=0有实数根,则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)

　　　A　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D

5.[2018河南省实验模拟]若矩形的长和宽是方程x2-7x+12=0的两根,则矩形的对角线长度为(　　)

A.5 B.7 C.8 D.10

6.[2018郑州二模]如图,某小区有一块长为30 m,宽为24 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,两块绿地的面积之和为480 m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,设人行通道的宽度为x m,根据题意,下面所列方程正确的是(　　)

A.(30-3x)(24-2x)=480

B.(30-3x)(24-x)=480

C.(30-2x)(24-2x)=480

D.(30-x)(24-2x)=480

7.[2018合肥38中三模]我国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2016年年人均收入为200美元,预计2018年年人均收入将达到1 000美元,设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x,可列方程为(　　)

A.200(1+2x)=1 000

B.200(1+x)2=1 000

C.200(1+x2)=1 000

D.200+2x=1 000

8.[2018天津南开区三模改编]若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,则m+n的值为　　　　. 

9.[2018三门峡二模改编]已知x=2是关于x的方程x2-(m+4)x+4m=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则△ABC的周长为　　　　. 

10.(9分)[2018重庆沙坪坝区模拟]为推进生态文明建设,加快发展新能源汽车,国家对新能源汽车实行补贴政策.一家4S店从事某品牌纯电动汽车和插电式混动汽车两种新能源汽车(以下简称电动车和混动车)的销售,电动车每辆进价16万元,去年国家对该车每辆补贴4.5万元,补贴后每辆售价14万元;混动车每辆进价18万元,去年国家对该车每辆补贴2.8万元,补贴后每辆售价18万元.该4S店去年12月共销售这两种汽车120辆,获得利润324万元.

(1)求该4S店去年12月销售了多少辆混动车;

(2)今年国家对该品牌新能源汽车的补贴有所下降,电动车每辆比去年少补贴0.5万元,混动车每辆比去年少补贴0.8万元,该4S店为减少损失,今年1月把电动车的售价提高了m%,结果销量在去年12月的基础上减少了m%,对混动车的售价没有作调整,而销量在去年12月的基础上增加了2.4m辆,结果该4S店今年1月的利润比去年12月少了14万元,求m的值.

第三节　一次不等式与一次不等式组

考点1　不等式的性质

1.[2018江苏宿迁]若a则下列结论不一定成立的是(　　)

A.a-1 B.2a<2b

C.->- D.a22

2.[2017江苏常州]若3x>-3y,则下列不等式中一定成立的是(　　)

A.x+y>0 B.x-y>0

C.x+y<0 D.x-y<0

考点2　一元一次不等式(组)的解法

3.[2018广东]不等式3x-1≥x+3的解集是(　　)

A.x≤4 B.x≥4

C.x≤2 D.x≥2

4.[2018海南]下列四个不等式组中,解集在数轴上表示如图所示的是(　　)

A. B.

C. D.

5.[2018山东滨州]把不等式组中每个不等式的解集在同一数轴上表示出来,正确的为(　　)

6.[2018湖南娄底]不等式组的最小整数解是(　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2

7.[2018湖北荆门]已知关于x的不等式3x-m+1>0的最小整数解为2,则实数m的取值范围是(　　)

A.4≤m<7 B.4

C.4≤m≤7 D.4≤7

8.[2018广西贵港]若关于x的不等式组无解,则a的取值范围是(　　)

A.a≤-3 B.a<-3

C.a>3 D.a≥3

9.[2017山东烟台]运行程序如图所示,从“输入实数x”到“结果是否<18”为一次程序操作,若输入x后程序操作仅进行了一次就停止,则x的取值范围是　　　　. 

10.(6分)[2018江苏盐城]解不等式:3x-1≥2(x-1),并把它的解集在数轴上表示出来.

11.(6分)[2018湖北荆州]求不等式组的整数解.

12.(8分)[2018山东东营]解不等式组并判断-1,这两个数是否为该不等式组的解.

13.(8分)[2018江苏南京]如图,在数轴上,点A,B分别表示数1,-2x+3.

(1)求x的取值范围.

(2)数轴上表示数-x+2的点应落在(　　)

A.点A的左边　　 　　　　B.线段AB上

C.点B的右边

考点3　一元一次不等式的实际应用

14.[2018山西]2018年国内航空公司规定:旅客乘机时,免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的宽为20 cm,长与高的比为8∶11,则符合此规定的行李箱的高的最大值为　　　　cm. 

15.(9分)[2018四川资阳]为了美化市容市貌,政府决定将城区旁边一块162亩的荒地改建为湿地公园,规划公园分为绿化区和休闲区两部分.

(1)若休闲区面积是绿化区面积的20%,求改建后的绿化区和休闲区各有多少亩.

(2)经预算,绿化区的改建费用平均每亩35 000元,休闲区的改建费用平均每亩25 000元,政府计划投入资金不超过550万元,那么绿化区的面积最多可以达到多少亩?

16.(9分)[2018四川泸州]某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲种图书每本价格是乙种图书每本价格的2.5倍,用800元单独购买甲种图书比用800元单独购买乙种图书要少24本.

(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?

(2)如果该图书馆计划购买乙种图书的本数比购买甲种图书本数的2倍多8本,且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1 060元,那么该图书馆最多可以购买多少本乙种图书?

17.(9分)[2018江苏南通]小明购买A,B两种商品,每次购买同一种商品的单价相同,具体信息如下表:

根据以上信息解答下列问题:

(1)求A,B两种商品的单价;

(2)若第三次购买这两种商品共12件,且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.

1.[2018南阳宛城区模拟]若实数a,b,c在数轴上对应位置如图所示,则下列不等式成立的是(　　)

A.ab>cb B.ac>bc

C.a+c>b+c D.a+b>c+b

2.[2018江苏镇江模拟改编]如果点P(3x+9,x-2)在平面直角坐标系的第四象限内,那么x的取值范围在数轴上可表示为(　　)

3.[2018河南中原名校一模]已知不等式组的解集为-1则(a+1)(b-1)的值为(　　)

A.6 B.-6 C.3 D.-3

4.[2018河南天宏大联考二模]不等式组的整数解的个数为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

5.[2018南阳地区模拟]若不等式组的解集是x>2,则m的取值范围是(　　)

A.m<2 B.m>2

C.m≤2 D.m≥2

6.[2018江西上饶广丰区模拟]写出一个解集为x>1的一元一次不等式组:　　　　. 

7.[2017濮阳模拟]已知关于x的不等式(1-a)x>3的解集为x<,则a的取值范围是　　　　. 

8.[2018黑龙江七台河三模]若关于x的一元一次不等式组无解,则m的取值范围为　　　　. 

9.[2018浙江衢州一模]小菲受《乌鸦喝水》的启发,利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作,根据图中给出的信息,量筒中至少放入　　　　个小球时有水溢出. 

10.(10分)[2018漯河地区模拟]夏季即将来临,某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A,B两种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况:

(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本)

(1)分别求出A,B两种型号电风扇的销售单价.

(2)若超市准备用不超过5 400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台,求A种型号的电风扇最多能采购多少台.

(3)在(2)的条件下,超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1 400元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.

11.(10分)[2018许昌二模]某校为表彰在“书香校园”活动中表现积极的同学,决定购买笔记本和钢笔作为奖品.已知购买5本笔记本、2支钢笔共需要100元;购买4本笔记本、7支钢笔共需要161元.

(1)笔记本和钢笔的单价各是多少元?

(2)恰逢“五一”,商店举行“优惠促销”活动,具体方法如下:笔记本9折优惠;钢笔10支以上,超出部分8折优惠.若买x本笔记本需要y1元,买x支钢笔需要y2元.求y1,y2关于x的函数解析式.

(3)在(2)的条件下,若购买同一种奖品,并且该奖品的数量超过10件,请你分析买哪种奖品省钱.

参考答案

第一节　一次方程(组)与分式方程

真题分点练

1.C　∵2(a+3)的值与4互为相反数,∴2(a+3)+4=0,解得a=-5.故选C.

2.D　①×3-②,得5y=-5,解得y=-1,代入①,得x=2,故该方程组的解为

3.D　由题可得消去x,可得y+y=4,解得y=2,把y=2代入x=y,可得x=3,故方程组的解为故选D.

4.-2　由题意知①+②,得4a-4b=8,则a-b=2,∴b-a=-2.

5.　方法一:将代入方程组可得∴关于a,b的二元一次方程组可整理为解得方法二:由题可知解得

6.B　设购买篮球x个,排球y个,根据题意可得120x+90y=1 200,则y=,∵x,y均为正整数,∴x=1,y=12;x=4,y=8;x=7,y=4,故购买资金恰好用尽的情况下,购买方案有3种,故选B.

7.A　设“”“”“”的质量分别为x,y,z.假设选项A中两盘物体的质量相等,则2x=3y,∴x=y;假设选项B中两盘物体的质量相等,则x+2z=2y+2z,∴x=2y;假设选项C中两盘物体的质量相等,则x+z=2y+z,∴x=2y;假设选项D中两盘物体的质量相等,则2x=4y,∴x=2y.综上可知,只有选项A中的情况与其他不同,故选A.

8.设男生志愿者有x人,女生志愿者有y 人,由题意可得

解得(5分)

答:男生志愿者有12人,女生志愿者有16人.(6分)

9.(1)设打折前,每盒甲品牌粽子x元,每盒乙品牌粽子y元,

由题意得(3分)

解得(5分)

答:打折前,每盒甲品牌粽子70元,每盒乙品牌粽子80元.(6分)

(2)80×70×(1-80%)+100×80×(1-75%)=3 120(元).(8分)

答:打折后购买这批粽子比打折前节省了3 120元.(9分)

10.D　把x=4代入方程+=0,得+=0,解得a=10,经检验,a=10是方程+=0的解.故选D.

11.D　解=1,得x=m-3.∵关于x的分式方程=1的解是负数,∴m-3<0,解得m<3.当x=m-3=-1时,方程无解,∴m≠2,故m的取值范围是m<3且m≠2.故选D.

12.设货车的速度为x km/h,则客车的速度为2x km/h.

由题意,得-=6,

解得x=,

经检验,x=是该分式方程的解,且符合题意.

≈121.8.

答:货车的速度约为121.8 km/h.(8分)

13.(1)设B型芯片的单价是x元,则A型芯片的单价是(x-9)元,

由题意,得=,

解得x=35,

经检验,x=35是原方程的解,且符合题意,

35-9=26(元).

答:A型芯片的单价为26元,B型芯片的单价为35元.(6分)

(2)设购买了a条A型芯片,则购买了(200-a)条B型芯片,

由题意,得26a+35×(200-a)=6 280,

解得a=80.

答:购买了80条A型芯片.(9分)

模拟提升练

1.A　设这件风衣的成本价为x元,则x×(1+50%)×80%=180,解得x=150.故选A.

2.D　把代入方程组得①+②,得4a=8,解得a=2,把a=2代入①,得4+b=7,解得b=3,∴a-b=2-3=-1,故选D.

3.D　该分式方程的最简公分母为(x-1)(x+1),方程两边乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6,解得x=1.检验:当x=1时,(x-1)(x+1)=0,故该分式方程无解.故选D.

4.D　根据“(1)班与(5)班得分比为6∶5”可列方程5x=6y;根据“(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分”可列方程x=2y-40.故选D.

5.C　由题意得,汽车到达博物馆需 h,骑车学生到达博物馆需 h,由“骑车学生提前20 min出发,且他们同时到达”,可得-==.

6.设购进A型服装x件,B型服装y件.

根据题意,得

解得

答:购进A型服装50件,B型服装30件.(6分)

7.(1)设二月份每台冰箱的售价为x元,则一月份每台冰箱的售价为(x+500)元,

根据题意,得=, (3分)

解得x=4 000,

经检验,x=4 000是原方程的解.

答:二月份每台冰箱的售价为4 000元. (4分)

(2)由题意得,购进洗衣机(20-y)台,

则3 500y+4 000(20-y)≤76 000,

解得y≥8,(6分)

∵y≤12,且y为整数,

∴y可取8,9,10,11,12,

故有5种进货方案.(7分)

(3)设售完这两种家电后获得的利润为w元,

则w=(4 000-3 500-a)y +(4 400-4 000)(20-y)=(100-a)y+8 000,(9分)

故当100-a=0,即a=100时,按(2)中各个方案进货且全部售空后获得的利润相同,均为8 000元. (10分)

第二节　一元二次方程

真题分点练

1.C　x2-4x+3=0,(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3.故选C.

2.B　由题意可知AD=AB-,因为∠ACB=90°,所以()2+b2=AB2,整理可得,AD2+a·AD=b2,因为AD>0,所以AD的长是方程x2+ax=b2的一个正根.故选B.

3.1或-3　依题意得2⊗x=(2+x)x=3,整理,得 x2+2x=3,∴(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x=1或x=-3.

4.2 018　由题意可知2m2-3m-1=0,∴2m2-3m=1,故原式=3×(2m2-3m)+2 015=2 018.

5.A　将该方程化为一般形式,为x2+(1+a)x=0.∵Δ=(1+a)2>0,∴该方程有两个不相等的实数根.

6.D　∵关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,∴(2b)2-4(a+1)2=0,即b2-(a+1)2=0,∴1+b+a=0或1-b+a=0,从而1或-1是关于x的方程x2+bx+a=0的根,也就是说1和-1至少有一个是关于x的方程x2+bx+a=0的根.当1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根时,解得这与(a+1)x2+2bx+(a+1)=0是一元二次方程矛盾,所以1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根,即选项A和C中的判断均错误,选项D中的判断正确.当a=0时,0是关于x的方程x2+bx+a=0的根,故选项B中的判断错误.

7.(1)当b=a+2时,原方程可变形为ax2+(a+2)x+1=0,

Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,

故当b=a+2时,关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根.(4分)

(2)若方程有两个相等的实数根,

则Δ=b2-4a=0.

当a=1,b=2时,满足b2-4a=0,(7分)

此时方程为x2+2x+1=0,

方程的根为x1=x2=-1.(9分)

(第(2)问中a,b的值及方程的根均不唯一,符合题意,解答正确即可得分)

8.C　设平均每次下调的百分率为x,由题意,得6 000(1-x)2=4 860,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%.故选C.

9.C　设参加酒会的人数为x人,根据题意,得x(x-1)=55×2,解得x=11或x=-10(不合题意,舍去).故选C.

10.(1)设该4S店去年12月销售了x辆混动车,则销售了(120-x)辆电动车.

由题意,得(14+4.5-16)(120-x)+(18+2.8-18)x=324,

解得x=80.

答:该4S店去年12月销售了80辆混动车. (4分)

(2)由题意,得[14(1+m%)+4-16]×40(1-m%)+(18+2-18)×(80+2.4m)=324-14,

解得m1=10,m2=50,

当m=50时,1-m%=-<0,不符合题意,舍去.

故m=10.

答:m的值为10.(9分)

模拟提升练

1.D　由题意得解得k>-1且k≠0.故选D.

2.D　∵x2-x-1=0,∴x2-x=1,∴x2-x+=1+,∴(x-)2=.故选D.

3.C　由题意得a2-1=0,解得a=±1.由原方程是一元二次方程,可知a-1≠0,即a≠1,故a=-1.

4.C　∵关于x的一元二次方程x2-2x+k+2=0有实数根,∴Δ=(-2)2-4(k+2)≥0,解得k≤-1.故选C.

5.A　∵x2-7x+12=0,∴(x-3)(x-4)=0,∴x1=3,x2=4,故矩形的对角线的长为=5,故选A.

6.A　将左边的矩形绿地向右平移,与右边的矩形绿地合并,形成一个大的矩形绿地,易知大矩形绿地的一组邻边的长分别为(30-3x)cm,(24-2x)cm,故可列方程为(30-3x)(24-2x)=480.故选A.

7.B　由题意可得,200(1+x)2=1 000,故选B.

8.-2　∵n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,∴n2+mn+2n=0,∵n≠0,∴n+m+2=0,∴m+n=-2.

9.10　把x=2代入方程x2-(m+4)x+4m=0,得4-2(m+4)+4m=0,解得m=2,即方程可化为x2-6x+8=0,解得x1=4,x2=2,因为2+2=4,所以△ABC的三边长为4,4,2,所以△ABC的周长为4+4+2=10.

10.(1)设该4S店去年12月销售了x辆混动车,则销售了(120-x)辆电动车.

由题意,得(14+4.5-16)(120-x)+(18+2.8-18)x=324,

解得x=80.

答:该4S店去年12月销售了80辆混动车. (4分)

(2)由题意,得[14(1+m%)+4-16]×40(1-m%)+(18+2-18)×(80+2.4m)=324-14,

解得m1=10,m2=50,

当m=50时,1-m%=-<0,不符合题意,舍去.

故m=10.

答:m的值为10.(9分)

第三节　一次不等式与一次不等式组

真题分点练

1.D　在不等式a的两边同时减去1,不等式仍成立,即a-1故A项中的结论一定成立;在不等式a的两边同时乘以2,不等式仍成立,即2a<2b,故B项中的结论一定成立;在不等式a的两边同时乘以-,不等号的方向改变,即->-,故C项中的结论一定成立;当a=-5,b=1时,不等式a22不成立,故D项中的结论不一定成立.故选D.

2.A　两边都除以3,得x>-y,两边都加y,得x+y>0,故选A.

3.D　移项、合并同类项,得2x≥4;系数化为1,得x≥2.

4.D　由题图可知,解集为-3≤2.故选D.

5.B　解不等式x+1≥3,得x≥2,解不等式-2x-6>-4,得x<-1,将两不等式的解集表示在数轴上如图所示,故选B.

6.B　解不等式2-x≥x-2,得x≤2,解不等式3x-1>-4,得x>-1,则不等式组的解集为-1≤2,所以不等式组的最小整数解为0,故选B.

7.A　解该不等式,得x>.∵该不等式的最小整数解为2,∴1≤<2,解得4≤m<7.

8.A　∵不等式组无解,∴a-4≥3a+2,解得a≤-3,故选A.

9.x<8　根据题中程序图可得3x-6<18,解得x<8.

10.3x-1≥2(x-1),

3x-1≥2x-2,

解得x≥-1.(4分)

在数轴上表示如图所示:

(6分)

11.解不等式2x-1≥x-2,得x≥-1, (2分)

解不等式x+>2(x-),得x<1, (4分)

故原不等式组的解集为-1≤x<1,其中整数解为-1,0. (6分)

12.

解不等式①,得x>-3,(2分)

解不等式②,得x≤1,(4分)

故不等式组的解集为-3≤1,(6分)

则-1是该不等式组的解,不是该不等式组的解.(8分)

13.(1)根据题意,得-2x+3>1,

解得x<1.(4分)

(2)B(8分)

14.55　由题意可知,行李箱的长、高之和不超过95 cm.因行李箱的长与高的比为8∶11,故高的最大值为95÷(8+11)×11=55(cm).

15.(1)设改建后的绿化区面积为x亩.

根据题意,得x+20%x=162,

解得x=135,

162-135=27.

答:改建后的绿化区面积为135亩,休闲区面积为27亩.(4分)

(2)设绿化区的面积为m亩.

根据题意,得35 000m+25 000(162-m)≤5 500 000,

解得m≤145.

答:绿化区的面积最多可以达到145亩.(9分)

16.(1)设乙种图书每本价格为x元,则甲种图书每本价格是2.5x元,

根据题意,得-=24,

解得x=20,

经检验,x=20是原方程的根,

则2.5x=50.

答:甲种图书每本价格为50元,乙种图书每本价格是20元.(4分)

(2)设购买甲种图书x本,则购买乙种图书(2x+8)本,

根据题意,得50x+20(2x+8)≤1 060,

解得x≤10,

故2x+8≤28.

答:该图书馆最多可以购买28本乙种图书.(9分)

17.(1)设A种商品的单价为x元,B种商品的单价为y元,

根据题意可得

解得

答:A种商品的单价为20元,B种商品的单价为15元.(4分)

(2)最省钱的购买方案:购买A种商品4件,B种商品8件.(5分)

理由:设第三次购买A种商品a件,则购买B种商品(12-a)件,

根据题意可得a≥2(12-a),

解得a≥8,

故8≤a≤12.

设总费用为w元,

则w=20a+15(12-a)=5a+180,

当a=8时,w最小.

故当购买A种商品8件,B种商品4件时,总费用最少.(9分)

模拟提升练

1.A　∵a∴ab>bc,故A中不等式成立;∵a0,∴ac故B中不等式不成立;∵a∴a+c故C中不等式不成立;∵a∴a+b故D中不等式不成立.故选A.

2.C　由点P(3x+9,x-2)在平面直角坐标系的第四象限内,得解得-3故选C.

3.B　解不等式组得即2b+3.∵该不等式组的解集为-1∴2b+3=-1,=1,解得a=1,b=-2,∴(a+1)(b-1)=2×(-3)=-6.故选B.

4.B　解不等式3-(3x-2)≥1,得x≤,解不等式2+x<3x+8,得x>-3,故不等式组的解集为-3≤,则整数解为-2,-1,0,1,共4个.故选B.

5.C　解不等式②,得x>2,因为不等式组的解集是x>2,所以m≤2,故选C.

6.(答案不唯一)

7.a>1　因为由(1-a)x>3得到x<,不等号的方向改变了,所以1-a<0,所以a>1.

8.m≥-2　解不等式①,得x>2m,解不等式②,得x∵关于x的一元一次不等式组无解,∴2m≥m-2,解得m≥-2.

9.10　由题意可得每添加一个球,水面上升2 cm,设放入x个小球时有水溢出,则2x+30>49,解得x>9.5,即至少放入10个小球时有水溢出.

10.(1)设A,B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元,

根据题意,得

解得

答:A,B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元.(4分)

(2)设采购A种型号电风扇a台,则采购B种型号电风扇(30-a)台,

根据题意,得200a+170(30-a)≤5 400,

解得a≤10.

答:A种型号的电风扇最多能采购10台.(7分)

(3)不能实现.

理由:根据题意,得(250-200)a+(210-170)(30-a)=1 400,

解得a=20,

由(2)可知,a≤10,

故在(2)的条件下超市不能实现利润为1 400元的目标.(10分)

11.(1)设笔记本的单价为a元,钢笔的单价为b元.

根据题意,得

解得

答:笔记本的单价为14元,钢笔的单价为15元. (3分)

(2)根据题意,得y1=0.9×14x=12.6x.(5分)

当0≤10时,y2=15x,

当x>10时,y2=15×10+(x-10)×15×0.8=150+12x-120=12x+30,

∴y2=(7分)

(3)当y1=y2时,12.6x=12x+30,解得x=50;

当y12时,12.6x<12x+30,解得x<50;

当y1>y2时,12.6x>12x+30,解得x>50.

故当所买奖品超过10件但小于50件时,买笔记本更省钱;当所买奖品等于50件时,买笔记本与钢笔的花费一样;当所买奖品大于50件时,买钢笔更省钱.(10分)

河南省中考数学总复习 第二章 方程（组）与不等式（组）作业帮