（参考）2019年八年级数学上学期期中试题（实验A班，含解析）新人教版

一、仔细选一选（本题有10小题，每小题4分，共40分）

1．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )

A．假设a、b、c都是偶数

B．假设a、b、c至多有一个是偶数

C．假设a、b、c都不是偶数

D．假设a、b、c至多有两个是偶数

2．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是( )

A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0

3．下列命题：①在函数：y=﹣2x﹣1；y=3x；y=；y=﹣；y=（x＜0）中，y随x增大而减小的有3个函数；②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它只是中心对称图形；④已知数据x1、x2、x3的方差为s2，则数据x1+2，x3+2，x3+2的方差为s3+2．其中是真命题的个数是( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是( )

A． B． C． D．

5．如图，矩形纸片ABCD，AB=3，AD=5，折叠纸片，使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E在BC边上可移动的最大距离为( )

A．1 B．2 C．4 D．5

6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）图象上两点，给出下列判断：①若x1+x2=0，则y1+y2=0；②若当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k＜0；③若x1=x2+2，=+，则k=4，其中正确的是( )

A．①②③ B．①② C．②③ D．①③

7．如图，在正方形ABCD中，BD=BE，CE∥BD，BE交CD于F点，则∠DFE的度数为( )

A．45° B．60° C．75° D．90°

8．把反比例函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移一个单位后所得函数解析式为( )

A．y=+1 B．y=+1 C．y=+1 D．y=+1

9．已知函数y=3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是( )

A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b

10．已知抛物线y=x2﹣3mx+m+n，要达到对所有的实数m，抛物线都与x轴有交点，则n必须满足( )

A．n≤ B．n≥ C．n≤ D．n≤﹣1

二、认真填一填（本题有6个小题，每题5分，共30分）

11．二次根式的最小值为__________．

12．已知3x2+6（a+1）x+12a是一个关于x的完全平方式，则a的值是__________．

13．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为__________米．

14．若反比例函数的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于A（﹣2，m），B（5，n）两点，则3a+b=__________．

15．已知在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标依次为（﹣1，0），（m，n），（﹣1，10），（﹣7，p），且p≤n．若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形，则n的值是__________．

16．在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别是O（0，0），B（1，1），A（x，y）（﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2，x，y均为整数），则所作△OAB为直角三角形的概率是__________．

三、全面答一答（本题有5个小题，共50分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤

17．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．

（1）求二、三这两个月的月平均增长率；

（2）从四月份起，商场巨鼎采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？

18．甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数．

（1）求满足关于x的方程x2+px+q=0有实数解的概率；

（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率．

19．如图，菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），作∠EDF交BC于点F，且∠EDF=60°．

（1）直接写出菱形ABCD的面积；

（2）当点E在边AB上运动时，

①连结EF，求证：△DEF是等边三角形；

②探究四边形DEBF的面积的变化规律，写出这个规律，并说明理由；

③直接写出四边形DEBF周长的最小值．

20．如图，正方形OABC的两顶点A，B恰好在反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上，已知点A坐标为（a，b）．

（1）试用含a，b的代数式表示点B坐标；

（2）①若a=2，求k的值；

②试求b关于a的函数表达式；

（3）若k=4（），试求正方形OABC的面积．

21．（14分）如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B、已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设M（m，n）是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是否总成立？请说明理由．

2015-2016学年××市××市育英寄宿学校八年级（上）期中数学试卷（实验A班）

一、仔细选一选（本题有10小题，每小题4分，共40分）

1．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )

A．假设a、b、c都是偶数

B．假设a、b、c至多有一个是偶数

C．假设a、b、c都不是偶数

D．假设a、b、c至多有两个是偶数

【考点】反证法．

【分析】利用反证法证明的步骤，从问题的结论的反面出发否定即可．

【解答】解：∵用反证法证明：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数，

∴假设a、b、c都不是偶数．

故选：C．

【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

2．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是( )

A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则△=b2﹣4ac≥0．

【解答】解：∵a=k，b=﹣2，c=1，

∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×1=4﹣4k≥0，k≤1，

∵k是二次项系数不能为0，k≠0，

即k≤1且k≠0．

故选D．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

3．下列命题：①在函数：y=﹣2x﹣1；y=3x；y=；y=﹣；y=（x＜0）中，y随x增大而减小的有3个函数；②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它只是中心对称图形；④已知数据x1、x2、x3的方差为s2，则数据x1+2，x3+2，x3+2的方差为s3+2．其中是真命题的个数是( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】命题与定理．

【分析】根据一次函数与反比例函数的性质对①进行判断；根据正方形的判定方法对②进行判断；根据反比例函数图象的对称性对③进行判断；根据方差的意义对④进行判断．

【解答】解：在函数：y=﹣2x﹣1；y=3x；y=；y=﹣；y=（x＜0）中，y随x增大而减小的有2个函数，所以①错误；

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以②正确；

反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它是中心对称图形，也是轴对称图形，所以③错误；

已知数据x1、x2、x3的方差为s2，则数据x1+2，x3+2，x3+2的方差也为s2，所以④错误．

故选A．

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

4．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是( )

A． B． C． D．

【考点】概率公式；抛物线与x轴的交点．

【分析】本题可先列出出现的点数的情况，因为二次图象开口向上，要使图象与x轴有两个不同的交点，则最低点要小于0，即4n﹣m2＜0，再把m、n的值一一代入检验，看是否满足．最后把满足的个数除以掷骰子可能出现的点数的总个数即可．

【解答】解：掷骰子有6×6=36种情况．

根据题意有：4n﹣m2＜0，

因此满足的点有：n=1，m=3，4，5，6，

n=2，m=3，4，5，6，

n=3，m=4，5，6，

n=4，m=5，6，

n=5，m=5，6，

n=6，m=5，6，

共有17种，

故概率为：17÷36=．

故选C．

【点评】本题考查的是概率的公式和二次函数的图象问题．要注意画出图形再进行判断，找出满足条件的点．

5．如图，矩形纸片ABCD，AB=3，AD=5，折叠纸片，使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E在BC边上可移动的最大距离为( )

A．1 B．2 C．4 D．5

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点A′到达最左边，当点P与点B重合时，点A′到达最右边，所以点A′就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时A′B的长度，然后两数相减就是最大距离．

【解答】解：如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得

ED=AD=5，

在Rt△ECD中，ED2=EC2+CD2，

即52=（5﹣EB）2+32，

解得EB=1，

如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，

∵3﹣1=2，

∴点E在BC边上可移动的最大距离为2．

故选B．

【点评】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．

6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）图象上两点，给出下列判断：①若x1+x2=0，则y1+y2=0；②若当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k＜0；③若x1=x2+2，=+，则k=4，其中正确的是( )

A．①②③ B．①② C．②③ D．①③

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【专题】计算题．

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=，y2=，则x1=﹣x2，则y1+y2=0，于是可对①进行判断；当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k＜0，则可对②进行判断；由x1=x2+2，=+得到=+=+，可解出k=﹣4，则可对③进行判断．

【解答】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）图象上两点，

∴y1=，y2=，

∴y1+y2=+，

∴x1+x2=0，则y1+y2=0，所以①正确；

当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k＜0，所以②正确；

∵x1=x2+2，=+，

∴=+=+，

∴k=﹣4，所以③错误．

故选B．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

7．如图，在正方形ABCD中，BD=BE，CE∥BD，BE交CD于F点，则∠DFE的度数为( )

A．45° B．60° C．75° D．90°

【考点】正方形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．

【分析】把△BCE逆时针旋转90°得到△BAG，连接DG、AC、AG；则∠BAG=∠BCE，BG=BE，∠GBE=90°，先证出C、A、G三点共线，得出∠DAG135°，∠BAG=∠DAG，由SAS证明△BAG≌△DAG，得出BG=DG，证出BG=DG=BE，即△BDG是等边三角形，得出∠GBD=60°，∠DBE=30°，再由三角形的外角性质求出∠DFE即可．

【解答】解：把△BCE逆时针旋转90°得到△BAG，连接DG、AC、AG；如图所示：

则∠BAG=∠BCE，BG=BE，∠GBE=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，∠BAC=∠DAC=∠BDC=45°，AB=AD，

∵CE∥BD，

∴∠DCE=∠BDC=45°，

∴∠BCE=90°+45°=135°，

∴∠BAG=135°，

∴∠BAG=135°，

∴∠BAG+∠BAC=135°+45°=180°，

∴点C、A、G三点共线，

∴∠DAG=180°﹣45°=135°，

∴∠BAG=∠DAG，

在△BAG和△DAG中，

，

∴△BAG≌△DAG（SAS），

∴BG=DG，

∵BD=BE，

∴BG=DG=BE，

即△BDG是等边三角形，

∴∠GBD=60°，

∴∠DBE=90°﹣60°=30°，

∴∠DFE=∠DBE+∠BDC=°+45°=75°．

故选：C．

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．

8．把反比例函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移一个单位后所得函数解析式为( )

A．y=+1 B．y=+1 C．y=+1 D．y=+1

【考点】反比例函数的性质；平移的性质．

【分析】首先图象先向左平移1个单位可得解析式为y=，再向上平移一个单位后得y=+1，从而得到答案．

【解答】解：反比例函数的图象先向左平移1个单位，可得：y=，

再向上平移一个单位后所得函数解析式为：y=+1，

∴y=，

故选：C．

【点评】本题考查指数函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的平移变换的应用．

9．已知函数y=3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是( )

A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b

【考点】抛物线与x轴的交点．

【专题】应用题；压轴题．

【分析】首先把方程化为一般形式，由于a，b是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m，n，a，b之间的关系，然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断．

【解答】解：由3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0变形得（x﹣m）（x﹣n）=3，

∴x﹣m＞0 x﹣n＞0或x﹣m＜0 x﹣n＜0，

∴x＞m x＞n或x＜m x＜n

∵a b是方程的两个根，将a b代入，得：a＞m a＞n，b＜m b＜n或a＜m a＜n，b＞m b＞n，

综合一下，只有D可能成立．

故选D．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，难度较大，关键是对m，n，a，b大小关系的讨论是此题的难点．

10．已知抛物线y=x2﹣3mx+m+n，要达到对所有的实数m，抛物线都与x轴有交点，则n必须满足( )

A．n≤ B．n≥ C．n≤ D．n≤﹣1

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】抛物线开口向上，要它对所有的实数m与x轴都有交点，则无论m取何值，△≥0．

【解答】解：要使抛物线y=x2﹣3mx+m+n，要达到对所有的实数m，抛物线都与x轴有交点，即无论m取何值，都有

△=（﹣3m）2﹣4×1×（m+n）≥0成立，则

9m2﹣4m﹣4n=9（m﹣）2﹣﹣4n≥0，

∴﹣﹣4n≥0．

解可得：n≤，

故选A．

【点评】主要考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意二次函数的性质与一元二次方程之间的关系：与x轴有交点，那么根的判别式不小于0．

二、认真填一填（本题有6个小题，每题5分，共30分）

11．二次根式的最小值为2．

【考点】二次根式的性质与化简．

【分析】根据偶次方的性质得出a﹣2=0时，原式=化简求出即可．

【解答】解：二次根式的最小值为：a﹣2=0时，

原式==2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，利用偶次方的性质得出是解题关键．

12．已知3x2+6（a+1）x+12a是一个关于x的完全平方式，则a的值是1．

【考点】完全平方式．

【分析】利用3x2+6（a+1）x+12a是一个关于x的完全平方式，则3x2+6（a+1）x+12a=0的判别式等于0，据此即可求得a的值．

【解答】解：根据题意得：[6（a+1）]2﹣4×3×12a=0，

解得：a=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了完全平方式的定义以及根的判别式，得出判别式等于0是关键．

13．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为1米．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．

【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）=532，

整理，得x2﹣35x+34=0．

解得，x1=1，x2=34．

∵34＞30（不合题意，舍去），

∴x=1．

答：小道进出口的宽度应为1米．

故答案为：1．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为532m2找到正确的等量关系并列出方程．

14．若反比例函数的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于A（﹣2，m），B（5，n）两点，则3a+b=0．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】根据A（﹣2，m），B（5，n）两点在反比例函数的图象上，求出m、n的值，用待定系数法求出a、b的值，计算得到答案．

【解答】解：∵A（﹣2，m），B（5，n）两点在反比例函数的图象上，

∴m=﹣，n=，

，

解得，，

3a+b=0，

故答案为：0．

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据运用待定系数法求出一次函数的系数是解题的关键，注意含有参数的二元一次方程组的解法．

15．已知在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标依次为（﹣1，0），（m，n），（﹣1，10），（﹣7，p），且p≤n．若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形，则n的值是2，5，18．

【考点】菱形的判定；坐标与图形性质．

【分析】利用菱形的性质结合A，C点坐标进而得出符合题意的n的值．

【解答】解：如图所示：当C（﹣7，2），C′（﹣7，5）时，都可以得到以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形，

同理可得：当D（﹣7，8）则对应点C的坐标为；（﹣7，18）可以得到以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形，

故n的值为：2，5，18．

故答案为：2，5，18．

【点评】此题主要考查了菱形的判定以及坐标与图形的性质，利用菱形的性质得出C点坐标是解题关键．

16．在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别是O（0，0），B（1，1），A（x，y）（﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2，x，y均为整数），则所作△OAB为直角三角形的概率是．

【考点】概率公式．

【分析】根据已知得出A点坐标，进而得出△OAB为直角三角形时A点坐标个数，进而利用概率公式求出即可．

【解答】解：∵A（x，y）（﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2，x，y均为整数），

∴A点坐标可以为：

（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），

（﹣1，﹣2），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），

（0，﹣2），（0，﹣1），（0，1），（0，2），

（1，﹣2），（1，﹣1），（1，0），（1，2），

（2，﹣2），（2，﹣1），（2，0），（2，1）；

只有A点坐标为：（0，2）（0，1），（1，0），（2，0），（1，﹣1），（﹣1，1），（2，﹣2），（﹣2，2），

一共8种情况时△OAB为直角三角形，

∴所作△OAB为直角三角形的概率是=．

故答案为：．

【点评】此题考查了直角三角形的性质和判定以及概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

三、全面答一答（本题有5个小题，共50分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤

17．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．

（1）求二、三这两个月的月平均增长率；

（2）从四月份起，商场巨鼎采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率问题；销售问题．

【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x）；三月份的销售量为：256（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；

（2）利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．

【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：

256（1+x）2=400，

解得：x1=，x2=﹣（不合题意舍去）．

答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；

（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：

（40﹣25﹣m）（400+5m）=4250，

解得：m1=5，m2=﹣70（不合题意舍去）．

答：当商品降价5元时，商品获利4250元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

18．甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数．

（1）求满足关于x的方程x2+px+q=0有实数解的概率；

（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率．

【考点】根的判别式；概率公式．

【分析】（1）方程x2+px+q=0有实数解，则p2﹣4q≥0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数；

（2）方程x2+px+q=0有相同实数解，则p2﹣4q=0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数．

【解答】解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，

（1）其中使方程有实数解共有19种情况：

p=6时，q=6、5、4、3、2、1；

p=5时，q=6、5、4、3、2、1；

p=4时，q=4、3、2、1；

p=3时，q=2、1；

p=2时，q=1；故其概率为．

（2）使方程有相等实数解共有2种情况：

p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率为．

【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和概率关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一元二次方程有实数根，判别式为非负数．

19．如图，菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），作∠EDF交BC于点F，且∠EDF=60°．

（1）直接写出菱形ABCD的面积；

（2）当点E在边AB上运动时，

①连结EF，求证：△DEF是等边三角形；

②探究四边形DEBF的面积的变化规律，写出这个规律，并说明理由；

③直接写出四边形DEBF周长的最小值．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）先求得菱形的两条对角线的长度，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求解即可；

（2）①连接BD，证明△ADE≌△BDF，从而可得到ED=DF，由因为∠EDF=60°，所以三角形DEF为等边三角形；

②由△ADE≌△BDF可知：S△ADE=S△BDF，所以四边形的面积=△EDB的面积+△DBF的面积=△EDB的面积+△DAE的面积=菱形面积的一半；

③由△ADE≌△BDF可知：BF=AE，所以BF+BE=AE+BE=6，所以当ED和DF最短时，四边形的周长最小，然后由垂线段最短可知当DE⊥AB时，DE最短，然后在Rt△ADE中即可求得DE的长，从而可求得四边形周长的最小值．

【解答】解：（1）连接BD、AC．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，AC⊥BD，∠DAO=∠A=30°．

∵AD=AB，∠A=60°，

∴△ABD为等边三角形．

∴BD=AD=AB=6．

∵在Rt△ADO中，∠DAO=30°，

∴OD=AD=3，AO==3．

∴AC=6．

∴菱形ABCD的面积===18．

（2）①由（1）可知：△ABD为等边三角形．

∴AD=BD，∠ADB=60°．

∵∠ADE+∠EDB=60°，∠FBD+∠EDB=60°，

∴∠AED=∠FDB．

∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，

∴∠DBF=∠ABC=．

∴∠DAE=∠DBF．

在△DAE和△DBF中，

，

∴△DAE≌△DBF．

∴DE=DF．

又∵∠EDF=60°

∴△EDF为等边三角形．

②四边形DEBF的面积=9．

理由：∵△DAE≌△DBF．

∴S△ADE=S△BDF，

∴四边形DEBF的面积=△EDB的面积+△DBF的面积=△EDB的面积+△DAE的面积=×菱形ABCD的面积=．

③∵△DAE≌△DBF．

∴BF=AE．

∴BF+BE=AE+BE=AB=6．

∴当ED、DF有最小值时，四边形的周长最短．

由垂线最短，可知当DE⊥AB时，ED、DF最短．

在Et△ADE中，∠DAE=60°，

∴sin60°=．

∴DE==3．

∴四边形DEBF的周长的最小值=DE+DF+BE+BF=DE+DF+AB=3+3+6=6+6．

【点评】本题主要考查的是菱形的性质，解答本题需要同学们熟练掌握菱形的性质和全等三角形的性质和判定，证得△DAE≌△DBF是解题的关键．

20．如图，正方形OABC的两顶点A，B恰好在反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上，已知点A坐标为（a，b）．

（1）试用含a，b的代数式表示点B坐标；

（2）①若a=2，求k的值；

②试求b关于a的函数表达式；

（3）若k=4（），试求正方形OABC的面积．

【考点】反比例函数综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）过A作DE∥x轴，作BE∥y轴，如图所示，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，正方形边长相等，利用AAS得到三角形OAD与三角形ABE全等，利用全等三角形对应边相等得到AD=BE=a，OD=AE=b，表示出B坐标即可；

（2）①根据A与B都在反比例函数图象上，利用反比例函数性质列出关系式，把a=2代入求出b的值，即可确定出k的值；②根据得出关系式整理表示出b即可；

（3）根据k的值求出ab的值，与（2）中结论结合求出a与b的值，利用勾股定理表示出正方形OABC的边长，即可求出面积．

【解答】解：（1）过A作DE∥x轴，作BE∥y轴，如图所示，

∵∠1+∠2=∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

在△OAD和△ABE中，

，

∴△OAD≌△ABE（AAS），

∴BE=AD=a，AE=OD=b，

∴B（a+b，b﹣a）；

（2）①∵A（a，b），B（a+b，b﹣a），且A，B在反比例函数图象上，

∴ab=（b+a）（b﹣a），

把a=2代入得：2b=b2﹣4，

解得：b=1±，

∵k＞0，∴k=ab=2（+1）；

②由ab=（b+a）（b﹣a）=b2﹣a2，整理得：b2﹣ab﹣a2=0，

解得：b==，

∵b＞0，

∴b=；

（3）根据题意得：k=ab=4（+1），

联立得：，

解得：，

则S正方形OABC=a2+b2=8+2（6+2）=20+4．

【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

21．（14分）如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B、已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设M（m，n）是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是否总成立？请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题；分类讨论．

【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将B点坐标代入求解即可；

（2）由于M在抛物线的图象上，根据（1）所得抛物线的解析式即可得到关于m、n的关系式：n=（m﹣3）2，由于m、n同为正整数，因此m﹣3应该是3的倍数，即m应该取3的倍数，可据此求出m、n的值，再根据“以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数”将不合题意的解舍去，即可得到M点的坐标；

（3）设出P点的坐标，然后分别表示出PA2、PB2、PM2的长，进而可求出关于PA2+PB2+PM2与P点纵坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PA2+PB2+PM2的最大（小）值，进而可判断出所求的结论是否恒成立．

【解答】解：（1）设y=a（x﹣3）2，

把B（0，4）代入，

得a=，

∴y=（x﹣3）2；

（2）解法一：

∵四边形OAMB的四边长是四个连续的正整数，其中有3、4，

∴可能的情况有三种：1、2、3、4；2、3、4、5；3、4、5、6，

∵M点位于对称轴右侧，且m，n为正整数，

∴m是大于或等于4的正整数，

∴MB≥4，

∵AO=3，OB=4，

∴MB只有两种可能，∴MB=5或MB=6，

当m=4时，n=（4﹣3）2=（不是整数，舍去）；

当m=5时，n=（不是整数，舍去）；

当m=6时，n=4，MB=6；

当m≥7时，MB＞6；

因此，只有一种可能，即当点M的坐标为（6，4）时，MB=6，MA=5，

四边形OAMB的四条边长分别为3、4、5、6．

解法二：

∵m，n为正整数，n=（m﹣3）2，

∴（m﹣3）2应该是9的倍数，

∴m是3的倍数，

又∵m＞3，

∴m=6，9，12，

当m=6时，n=4，

此时，MA=5，MB=6，

∴当m≥9时，MB＞6，

∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数，

∴点M的坐标只有一种可能（6，4）．

（3）设P（3，t），MB与对称轴交点为D，

则PA=|t|，PD=|4﹣t|，PM2=PB2=（4﹣t）2+9，

∴PA2+PB2+PM2=t2+2[（4﹣t）2+9]

=3t2﹣16t+50

=3（t﹣）2+，

∴当t=时，PA2+PB2+PM2有最小值；

∴PA2+PB2+PM2＞28总是成立．

【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定以及二次函数最值的应用，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．

（参考）2019年八年级数学上学期期中试题（实验A班，含解析）新人教版