第2课时　正、余弦定理在三角形中的

应用

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双基达标　 限时20分钟

1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝ea39a4b84c4c6d7c1657d5d311e2aa59.png，则边BC的长为 (　　)．

A.9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png B．3 C.3023d9f96ff17fb9696d6aa5075be5be.png D．7

解析　∵S△ABC＝fbec2606359bbf700bc78536aa8d00f4.pngAB·ACsin A＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png，∴AC＝1.

由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3.即BC＝69923b5304d1b62fe1d8ccab96d9e03d.png.

答案　A

2．已知锐角△ABC的面积为39097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 (　　)．

A．75° B．60° C．45° D．30°

解析　由△ABC的面积为39097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，且BC＝4，CA＝3可知

df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngBC·CAsin C＝39097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，∴sin C＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png，

又△ABC为锐角三角形，∴C＝60°.

答案　B

3．一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为(　　)．

A.4960b64d5f33b50edfb49b4518ece123.png B.1bc51480bb5fcd826bc6df1f04c052d0.png C．±320038c07b7d941e9011e7cf815a59b1.png D．±1bc51480bb5fcd826bc6df1f04c052d0.png

解析　如图所示．设梯形ABCD中，AD∥BC.

由题意可知C＝60°.

过D作AB的平行线DB′与BC交于B′.

在△B′CD中，B′D＝AB＝6，CD＝2，C＝60°，∠DB′C＝∠B，

于是sin∠DB′C＝a19625be777c130d6b842272588ed989.png·sin C＝4960b64d5f33b50edfb49b4518ece123.png，

∴cos∠DB′C＝830caedf6c2da175494f0f3d58986287.png＝1bc51480bb5fcd826bc6df1f04c052d0.png.故选B.

答案　B

4．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．

解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，

即c2＋5c－24＝0，

解得c＝3.

∴S△ABC＝fbec2606359bbf700bc78536aa8d00f4.pngacsin B＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×5×3sin 120°＝a64869f3d76890e6cbc71b9dd2467210.png.

答案　a64869f3d76890e6cbc71b9dd2467210.png

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png，b＝1，三角形ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积S＝________.

解析　由正弦定理32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png＝2R，∴a＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，sin B＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，∴a>b，∴A>B，∴B＝b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png，C＝cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png.∴S△ABC＝ea39a4b84c4c6d7c1657d5d311e2aa59.png.

答案　b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png

6．(2011·海口高一月考)在△ABC中，A＝120°，c>b，a＝88110d82cb7cf8609b027808d058fbe4.png，S△ABC＝27d20b09c2e7c517a8a1a74348656b95.png，求b，c.

解　∵S△ABC＝fbec2606359bbf700bc78536aa8d00f4.pngbcsin A＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，∴bc＝4.①

又a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴b＋c＝5，②

又c>b，由①②得b＝1，c＝4.

综合提高　 限时25分钟

7．在△ABC中，c＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为 (　　)．

A.b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png或9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png B.b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png或9633213ca76a0993e59a41f924a4ff3d.png

C.9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png或9633213ca76a0993e59a41f924a4ff3d.png D.9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

解析　根据正弦定理：sin C＝7563e82e133e0f3087e2955bead341c9.png＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngsin 30°＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png.

∵c>b，∴C>B＝30°，∴C＝60°或120°.

当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，

∴△ABC的面积S＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngbc＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png；

当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，

∴△ABC的面积S＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngbcsin A＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×1×9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngsin 30°＝9633213ca76a0993e59a41f924a4ff3d.png.

答案　B

8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，则32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png等于 (　　)．

A.36c2db6bdaf8a5afc0e3c438a965452b.png B.1bbd05ab6677e99cb16fcc7fc3c17586.png C.579d0f91433983e0bbab939c0df97cd7.png D．39097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

解析　由S△ABC＝fbec2606359bbf700bc78536aa8d00f4.pngbcsin A＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png可知c＝4.

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8cos 60°＝13，

∴a＝65c81bf9533f2a58ce6d5ac7e95e2b8a.png.∴32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝0210aea6fc373ae526fa04f04bece30a.png＝36c2db6bdaf8a5afc0e3c438a965452b.png.

答案　A

9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．

解析　不妨设三角形三边为a，b，c，且a＝6，b＝c＝12，

由余弦定理得：

cos A＝cce5d6d2b11ddf7a9f8ff4ff01fdb7e0.png＝cecf991c2f6fefdc6f47a77aad79230d.png＝d80dee887b88cc2e849f29df6db3e5a0.png，

∴sin A＝ d0596216edd9d37d9b97f3cf8097866e.png＝d61011c84a5446b57ac3f32d51fd8e81.png.

由df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(a＋b＋c)·r＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngbcsin A得r＝221429b9eaa99a111f9737f0ef25987d.png.

∴S内切圆＝πr2＝6b41b8f141c7a56c38ffbbeef6e49731.png.

答案　ccef2daf24a0eb3797811250c0637569.png

10．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠BAD＝60°，则▱ABCD的对角线AC长为________，面积为________．

解析　在▱ABCD中，连接AC，则CD＝AB＝6，

∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－60°＝120°.

根据余弦定理得，

AC＝5fbc64201a378921da47af37012c00e5.png

＝ 35ece07e63ccf61fefff4e49956c5d84.png

＝33023d9f96ff17fb9696d6aa5075be5be.png.

S▱ABCD＝2S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD

＝6×3sin 60°＝99097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

答案　33023d9f96ff17fb9696d6aa5075be5be.png　99097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

11．在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png.

(1)若△ABC的面积等于9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，求a，b；

(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．

解　(1)∵S＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngabsin C＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngab·b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，

∴ab＝4. ①

∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝

(a＋b)2－2ab－2abcos C＝(a＋b)2－12＝4.

∴a＋b＝4. ②

由①②可得a＝2，b＝2.

(2)∵sin B＝2sin A，∴b＝2a.

又∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝4.

∴a＝0270009ecf9fc9b97319a936185615ec.png，b＝7d4cb1c8f86088667a7701fcb8a485f8.png.

∴S＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngabsin C＝0270009ecf9fc9b97319a936185615ec.png.

12．(创新拓展)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos C＝126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png，

(1)求sin53306e7bbf4c0467147397b2aa9e6d27.png的值；

(2)若40664d01569b04fe9b8300347cf14537.png·961f05332828d2afc4daf77fa42a602e.png＝1，a＋b＝b054fc4a48360670d275bc331b6f0133.png，求边c的值及△ABC的面积．

解　(1)由sin2C＋cos2C＝1，得sin C＝13c56dd2fb5a44ee3208bda53fab2d05.png.

则sin53306e7bbf4c0467147397b2aa9e6d27.png＝sin Ccos 6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png＋cos Csin 6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png＝7162f09e020b1cc51b44ecab7049c3c3.png×193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png＋126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png×193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png＝3a66b139b1f91e6001d79acf183c4c7e.png.

(2)因为40664d01569b04fe9b8300347cf14537.png·Ce2553ef4384acc2d0b898b912ad29f31.png＝|40664d01569b04fe9b8300347cf14537.png||961f05332828d2afc4daf77fa42a602e.png|cos C＝1，则ab＝5.

又a＋b＝b054fc4a48360670d275bc331b6f0133.png，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝27.

所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝25，则c＝5.

所以S△ABC＝fbec2606359bbf700bc78536aa8d00f4.pngabsin C＝fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png.

山东省高中数学《1.2.2 正、余弦定理在三角形中的》评估训练 新人教A版必修5