专题17 坐标系与参数方程

1．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(2)直线l的参数方程是23533f4761161d981883293dda4ebf20.png(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|＝e3d7922dde6d1771ce9a575632814d61.png，求l的斜率．

解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．

2．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋21553867a52c684e18d473467563ea33b.pngρ·sin447153bd0fe0c7b54339e617d9b94beb.png－4＝0，求圆C的半径．

解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.

圆C的极坐标方程为

ρ2＋21553867a52c684e18d473467563ea33b.pngρ019f89d8f2df080a63dd224dd0fc5f7f.png－4＝0，

化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.

则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，

所以圆C的半径为fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png.

3．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线d64a23f0f2a11722602a3bfcbc14b1ce.png(t为参数)相交于A，B两点，求AB的长．

解　极坐标方程ρcosθ＝4的普通方程为x＝4，

代入b0287d7282fc05f8a1db6efe0ad34898.png

得t＝±2，当t＝2时，y＝8；

当t＝－2时，y＝－8.

两个交点坐标分别为(4,8)，(4，－8)，从而AB＝16.

4．在直角坐标系中圆C的参数方程为b480e5b72819538ffb46c2668ab99fc1.png (α为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程．

解　由参数方程消去α得圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

代入得(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，整理得ρ＝4sinθ.

5．已知曲线C：205774e7d661bb54fc1e6f8f9ea7db26.png(θ为参数)，直线l：ρ(cosθ－9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngsinθ)＝12.

(1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；

(2)设点P在曲线C上，求P点到直线l的距离的最小值．

易错起源1、极坐标与直角坐标的互化

例1、在极坐标系中，曲线C1：ρ(1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngcosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，求a的值．

解　ρ(1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngcosθ＋sinθ)＝1，

即1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngρcosθ＋ρsinθ＝1对应的普通方程为

1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngx＋y－1＝0，

ρ＝a(a>0)对应的普通方程为

x2＋y2＝a2.

在1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngx＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png.

将0462094d84049582e1509d2ea4e48761.png代入x2＋y2＝a2得a＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png.

【变式探究】在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ＋6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png)＝31553867a52c684e18d473467563ea33b.png和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长．

解　∵ρcos(θ＋6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png)＝ρcosθcos6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png－ρsinθsin6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png

＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.pngρcosθ－193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.pngρsinθ＝31553867a52c684e18d473467563ea33b.png，

∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.

又∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ.

∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.

【名师点睛】

(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．

(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．

【锦囊妙计，战胜自我】

直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，

设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则692e51fa514cde55f136e9c7c581f9f2.png，d1ef5a1eea4ca293eacb32e5c16ef815.png.

易错起源2、参数方程与普通方程的互化

例2、在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为707827e31f62361181fbeb0343bfaace.png(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngρsin447153bd0fe0c7b54339e617d9b94beb.png＝m(m∈R)．

(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

【变式探究】已知直线l的参数方程为67efd7cec557f22eb96eef07e6342228.png(t为参数)，P是椭圆2ac4abea1f4558b8a15a91975a9f9acc.png＋y2＝1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．

解　由于直线l的参数方程为67efd7cec557f22eb96eef07e6342228.png(t为参数)，

故直线l的普通方程为x＋2y＝0.

因为P为椭圆2ac4abea1f4558b8a15a91975a9f9acc.png＋y2＝1上的任意一点，

故可设P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈R.

因此点P到直线l的距离是

d＝91c808599bdc1741e7c1dd10d6f1b801.png＝1ec572930834ad9018803efa0792d351.png.

所以当θ＝kπ＋6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png，k∈Z时，d取得最大值60608a305fdfae4276d762e34d82a16f.png.

【名师点睛】

(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．

(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x、y有范围限制，要标出x、y的取值范围．

【锦囊妙计，战胜自我】

1．直线的参数方程

过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为e022272a802acaad32cef858f672a6ab.png(t为参数)．

2．圆的参数方程

圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为b38173b8f0356d1b9f07110d0f79b926.png(θ为参数，0≤θ≤2π)．

3．圆锥曲线的参数方程

(1)椭圆1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png＋5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1的参数方程为d29b353d0272ad2fe557a500c44575a1.png(θ为参数)．

(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为74e89a361708e5d0e8d9b6cba098880e.png(t为参数)．

易错起源3、极坐标、参数方程的综合应用

例3、在直角坐标系xOy中，曲线C1：23533f4761161d981883293dda4ebf20.png(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngcosθ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

解　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngx＝0.

联立e1d57e484b05e9176c2c78081a66591e.png

解得c512b3c37432133ce659ada1dc55ade4.png或6650ff3b78dfcb87db65782c2e7fda6e.png

所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和4640eb0e49c75add98cf1ee57cb82db7.png.

(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.

因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngcosα，α)．

所以|AB|＝|2sinα－29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngcosα|＝40330530779b527843d8660795c5dacef.png.

当α＝40e0e164a635c508463915d501d1f617.png时，|AB|取得最大值，最大值为4.

【变式探究】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2568fef9fafe5408af408a8fd4d49b06.png(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngsinθ.

(1)写出⊙C的直角坐标方程；

(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

【名师点睛】

(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．

(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．

【锦囊妙计，战胜自我】

解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．

1．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为(4，5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png)，求CP的长．

解　由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，即x2＋y2＝4x，

即(x－2)2＋y2＝4，∴圆心C(2,0)，又由点P的极坐标为(4，5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png)可得点P的直角坐标为(2,29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)，

∴CP＝848d17a6830c99c769aa0b40509b88e0.png＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

2．在极坐标系中，求圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png(ρ∈R)距离的最大值．

解　圆ρ＝8sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png(ρ∈R)化为直角坐

3．在极坐标系中，已知三点M(2，－5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png)、N(2,0)、P(29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png)．

(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；

(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．

解　(1)由公式d6bbd971f5562e2cb4a4813ef99b081d.png得M的直角坐标为(1，－9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)；

N的直角坐标为(2,0)；P的直角坐标为(3，9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)．

(2)∵kMN＝32d7c43e2389bad2c80c0a8372478f15.png＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，kNP＝a02dbd2aab74b7c1fa2881830695cb45.png＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

∴kMN＝kNP，∴M、N、P三点在一条直线上．

4．已知直线l的参数方程为e45374fa883a62b6e0717e79a18f297c.png (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4ac9df63eec03060d0f5b0f3e2fda2fd8.png，求直线l与曲线C的交点的极坐标．

解　直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2,0)，其极坐标为(2，π)．

5．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是6a0a2699f69c175e2939d0029115a8b9.png(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l被圆C截得的弦长．

解　直线l的参数方程6a0a2699f69c175e2939d0029115a8b9.png(t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－4，圆C的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0.圆C的圆心(2,0)到直线x－y－4＝0的距离为d＝139e0be3d4b89f567f615507fe3a8ea1.png＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png.又圆C的半径r＝2，因此直线l被圆C截得的弦长为28af684924a1e207253f91c937731ecd3.png＝21553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

6．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为ba064a39f98bb6b43e9937cdb507567c.png(t为参数)，椭圆C的参数方程为034901e183d760f9b5958b22bf80304f.png(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．

7．已知直线l：7d6280d1f0096c00e91031344cf72cdc.png(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5，9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．

解　(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①

将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②

(2)将7d6280d1f0096c00e91031344cf72cdc.png代入②式，得t2＋59097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngt＋18＝0.

设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.

8．已知直线l的参数方程是180f1b0e1053d2fc28be94094eb0a152.png(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝41553867a52c684e18d473467563ea33b.pngcosc61c1e8442e7a73317433d8b0c3cabbd.png.

(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，求实数a的值．

解　(1)由ρ＝41553867a52c684e18d473467563ea33b.pngcosc61c1e8442e7a73317433d8b0c3cabbd.png，

得ρ＝4cosθ－4sinθ.

即ρ2＝4ρcosθ－4ρsinθ.

由d6bbd971f5562e2cb4a4813ef99b081d.png得x2＋y2－4x＋4y＝0，

高考数学（四海八荒易错集）专题17 坐标系与参数方程 文