内蒙古包头市东河区中考数学模拟试卷（4月份）

一．选择题（共12小题，满分30分）

1．计算10+（﹣24）÷8+2×（﹣6）的结果是（　　）

A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5

2．一个正常人的心跳平均每分钟70次，一天大约跳的次数用科学记数法表示这个结果是（　　）

A．1.008×105 B．100.8×103 C．5.04×104 D．504×102

3．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．x6÷x2=x3 B．2x﹣1= C．（﹣2x3）2=4x6 D．﹣2a2•a3=﹣2a6

4．（3分）﹣sin60°的倒数为（　　）

A．﹣2 B． C．﹣ D．﹣

5．（3分）某青年排球队12名队员的年龄情况如表：

则这个队队员年龄的众数和中位数是（　　）

A．19，20 B．19，19 C．19，20.5 D．20，19

6．（3分）不等式组的解集在数轴上可以表示为（（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）下列事件中，属于确定事件的个数是（　　）

（1）打开电视，正在播广告；

（2）投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于10；

（3）射击运动员射击一次，命中10环；

（4）在一个只装有红球的袋中摸出白球．

A．0 B．1 C．2 D．3

8．（3分）关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根只有整数根的一切有理数r的值有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．不能确定

9．（3分）O为线段AB上一动点，且AB=2，绕O点将AB旋转半周，则线段AB所扫过的面积的最小值为（　　）

A．4π B．3π C．2π D．π

10．（3分）下列命题中正确的个数是（　　）

①直角三角形的两条直角边长分别是6和8，那么它的外接圆半径为；

②如果两个直径为10厘米和6厘米的圆，圆心距为16厘米，那么两圆外切；

③过三点可以确定一个圆；

④两圆的公共弦垂直平分连心线．

A．0个 B．4个 C．2个 D．3个

11．（3分）如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°．四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（　　）

①△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合，

②△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合，

③沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合，

④沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合，

⑤△ACE的面积等于△ABE的面积．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的图象在x轴下方，且对称轴在y轴左侧，则（　　）

A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＞0，c＜0

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

13．（3分）已知a为实数，且与都是整数，则a的值是　 　．

14．（3分）化简分式（x+2﹣）•=　 　．

15．（3分）为了知道一块不规则的封闭图形的面积，小聪在封闭的图形内画了一个边长为1m的正方形，在不远处向封闭图形内任意投掷石子，且记录如下，则封闭图形的面积为　 　m2．

16．（3分）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为　 　．

17．（3分）若x=时，关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为倒数，则a﹣2b=　 　．

18．（3分）已知三角形三边长分别为5，12，13．它的内切圆面积为　 　．

19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为　 　．

20．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是　 　．

三．解答题（共6小题，满分60分）

21．（8分）为提高三亚市初级中学教师业务水平，相关单位举办了首届“三亚市敏特杯数学命题大赛”，在众多自命题题目中共有5道题目进入专家组评审，将前5天的投票数据整理成如下不完整的统计图表：

票数条形统计图

请根据图表提供的信息，解答下面问题：

（1）票数统计表中的a=　 　，m=　 　．

（2）请把票数统计图补充完整；

（3）若绘制“票数扇形统计图”编号是“4”的题目所对应扇形的圆心角是　 　度；

（4）至本次投票结束，总票数共有1200票，请估计编号是“3”的题目约获得　 　票．

22．（8分）随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．

23．（10分）郑州市雾霾天气趋于严重，丹尼斯商场根据民众健康需要，代理销售每台进价分别为600元、560元的A、B两种型号的空气净化器，如表是近两周的销售情况：

（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）

商场准备用不多于17200元的金额再采购这两种型号的空气净化器共30台．

（1）请分析以上的信息，提出一个用二元一次方程组或一元一次方程解决的问题，并解决这个问题；

（2）分析题目中各个量之间的关系，请写出一个函数关系式，并说明是什么函数关系；

（3）超市销售完这30台空气净化器能否实现利润为6200元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）连接BC，若AB=5，BC=3，求线段AE的长．

25．（12分）如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）若以AD为直径的圆经过点C．

①求抛物线的函数关系式；

②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF=1：2，求点M、N的坐标；

③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．

26．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD=CD=2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB=45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE=x．

（1）用含x的代数式表示线段CF的长；

（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当∠ABE的正切值是时，求AB的长．

内蒙古包头市东河区中考数学模拟试卷（4月份）

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分30分）

1．

【解答】解：原式=10﹣3﹣12=10﹣15=﹣5，

故选：A．

2．

【解答】解：∵一个正常人的平均心跳速率约为每分钟70次，

∴一天24小时大约跳：24×60×70=10080=1.008×105（次）．

故选：A．

3．

【解答】解：A、原式=x4，不符合题意；

B、原式=，不符合题意；

C、原式=4x6，符合题意；

D、原式=﹣2a5，不符合意义，

故选：C．

4．

【解答】解：﹣sin60°=﹣，

则﹣sin60°的倒数=﹣=﹣，

故选：D．

5．

【解答】解：数据19出现了四次最多为众数；20和20处在第6位和第7位，其平均数是20，所以中位数是20．

所以本题这组数据的中位数是20，众数是19．

故选：A．

6．

【解答】解：

∵由不等式①得：x≥﹣1，

由不等式②得：x＜1，

∴不等式组的解集为﹣1≤x＜1，

∴不等式组的解集在数轴上可以表示为：

故选：B．

7．

【解答】解：（1）（3）属于随机事件；

（4）是不可能事件，属于确定事件；

（2）是必然事件，属于确定事件；

故属于确定事件的个数是2，

故选：C．

8．

【解答】解：（1）若r=0，x=，原方程无整数根；

（2）当r≠0时，x1+x2=﹣，x1x2=；

消去r得：4x1x2﹣2（x1+x2）+1=7，

即（2x1﹣1）（2x2﹣1）=7，

∵7=1×7=（﹣1）×（﹣7），

∴①，解得，

∴1×4=，解得r=﹣；

②，解得；

同理得：r=﹣，

③，解得，r=1，

④，解得，r=1．

∴使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根的r值是﹣或1，

故选：B．

9．

【解答】解：当O是AB中点时，线段AB所扫过的面积的最小，

最小面积=π•12=π，

故选：D．

10．

【解答】解：①直角三角形的两条直角边长分别是6和8，那么它的外接圆半径为5，①是假命题；

如果两个直径为10厘米和6厘米的圆，圆心距为16厘米，那么两圆外离，②是假命题；

过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，③是假命题；

两圆的连心线垂直平分公共弦，④是假命题，

故选：A．

11．

【解答】解：①∵△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，

∴AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD，

在△ACE和△ADB中，

∵，

∴△ACE≌△ADB（SAS），

∴△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°（旋转角为∠EAB=90°）后与△ADB重合；

故①正确；

②∵平行四边形是中心对称图形，

∴要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，

故②错误；

③∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD=45°，

∴∠EAC=∠BAC+∠CAD=135°，

∴∠EAD=360°﹣∠EAC﹣∠CAD=135°，

∴∠EAC=∠EAD，

在△EAC和△EAD中，

∵，

∴△EAC≌△EAD（SAS），

∴沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合；

故③正确；

④∵由①③，可得△ADB≌△ADE，

∴沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合，

故④正确；

⑤过B作BH⊥AD，交DA的延长线于H，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BH=AC，

∵△ACE≌△ADB，

∴S△ACE=S△ADB=AD×BH=AD•AC=AC2，

∵S△ABE=AE•AB=AB2，AB＞AC，

∴S△ABE＞S△ACE；

故⑤错误．

故选：B．

12．

【解答】解：∵二次函数图象在x轴下方，

∴二次函数开口方向向下，即a＜0，

∴c＜0

∵对称轴在y轴左侧，即﹣＜0，

∴b＜0，

故选：B．

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

13．

【解答】解：∵是正整数，

∴a是含﹣2的代数式；

∵是整数，

∴化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，

∴a=或．

故答案为：或．

14．

【解答】解：原式=（﹣）•

=•

=﹣2（x+3）

=﹣2x﹣6，

故答案为：﹣2x﹣6．

15．

【解答】解：根据统计表，可得石子落在正方形内的概率约为0.593，

设封闭图形的面积为x，

则有=0.593，

解得x≈1.7．

∴封闭图形的面积为1.7，

故答案为：1.7．

16．

【解答】解：设半径为r，

2，

解得：r=6，

故答案为：6

17．

【解答】解：由于x、y互为倒数，x=，则y=2，

代入二元一次方程组，

得，

解得a=10，b=﹣，

则a﹣2b=11．

故本题答案为：11．

18．

【解答】解：AC2+BC2=52+122=169，

AB2=132=169，

∴AC2+BC2=AB2，

∴∠C=90°，

连接OD、OF，

设圆O的半径是r，

∵圆O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，

∴CD=CF，AE=AD，BE=BF，OD=OF，∠ODC=∠C=∠OFC=90°，

∴四边形ODCF是正方形，

∴OD=OF=CF=CD=r，

∴AC﹣OD+BC﹣OD=AB，

5﹣r+12﹣r=13，

r=2，

∴它的内切圆面积为π×22=4π．

故答案为：4π．

19．

【解答】解：如图所示，过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，

则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，

∴∠AOM+∠OAM=90°，

∵∠AOB=∠OBA=45°，

∴OA=BA，∠OAB=90°，

∴∠OAM+∠BAN=90°，

∴∠AOM=∠BAN，

∴△AOM≌△BAN，

∴AM=BN=1，OM=AN=k，

∴OD=1+k，BD=OM﹣BN=k﹣1

∴B（1+k，k﹣1），

∵双曲线y=（x＞0）经过点B，

∴（1+k）•（k﹣1）=k，

整理得：k2﹣k﹣1=0，

解得：k=（负值已舍去），

故答案为：．

20．

【解答】解：连接DF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AD=BC=2，

∴△BFN∽△DAN，

∴==，

∵F是BC的中点，

∴BF=BC=AD=，

∴AN=2NF，

∴AN=AF，

在Rt△ABF中，AF==5，

∴cos∠BAF===，

∵E，F分别是AB，BC的中点，AD=AB=BC，

∴AE=BF=，

∵∠DAE=∠ABF=90°，

在△ADE与△BAF中，

，

∴△ADE≌△BAF（SAS），

∴∠AED=∠AFB，

∴∠AME=180°﹣∠BAF﹣∠AED=180°﹣∠BAF﹣∠AFB=90°．

∴AM=AE•cos∠BAF=×=2，

∴MN=AN﹣AM=AF﹣AM=×5﹣2=，

∴．

又∵S△AFD=AD•CD=×2×2=30，

∴S△MND=S△AFD=×30=8．

故答案为：8．

三．解答题（共6小题，满分60分）

21．

【解答】解：（1）a=400×20%=80，m%=×100%=30%，即m=30，

故答案为：80、30；

（2）补全统计图如下：

（3）扇形统计图”编号是“4”的题目所对应扇形的圆心角是360°×20%=72°，

故答案为：72；

（4）估计编号是“3”的题目约获得1200×22%=264条，

故答案为：264．

22．

【解答】解：∵AC∥ME，∴∠CAB=∠AEM，

在Rt△ABC中，∠CAB=28°，AC=9m，

∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77（m），

∴BD=BC﹣CD=4.77﹣0.5=4.27（m），

在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD=90°，

在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC=90°，

∴∠BDF=∠CAB=28°，

∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8 （m），

答：坡道口的限高DF的长是3.8m．

23．

【解答】解：（1）问题：A、B两种型号的空气净化器的销售单价是多少？

设A、B两种型号的空气净化器的销售单价分别是x元、y元，

，

解得，，

答：A、B两种型号的空气净化器的销售单价分别是800元、780元；

（2）设新购进的两种净化器的销售利润为w元，购进A种型号的空气净化器a台，

则w=（800﹣600）a+（780﹣560）（30﹣a）=﹣20a+6600，

w与x的函数关系式一次函数；

（3）超市销售完这30台空气净化器能实现利润为6200元的目标，

理由：由题意可得，

600a+560（30﹣a）≤17200，

解得，a≤10，

∵w=﹣20a+6600，

∴当a=0时，w取得最大值，此时w=6600，当a=10时，w取得最小值，此时w=6400，

∵6600＞6200，6400＞6200，

∴能够实现利润为6200元的目标，

∴有11种购买方案，

方案一：购买A、B两种型号的空气净化器分别为0台、30台；

方案二：A、B两种型号的空气净化器分别为1台、29台；

方案三：A、B两种型号的空气净化器分别为2台、28台；

方案四：A、B两种型号的空气净化器分别为3台、27台；

方案五：A、B两种型号的空气净化器分别为4台、26台；

方案六：A、B两种型号的空气净化器分别为5台、25台；

方案七：A、B两种型号的空气净化器分别为6台、24台；

方案八：A、B两种型号的空气净化器分别为7台、23台；

方案九：A、B两种型号的空气净化器分别为8台、22台；

方案十：A、B两种型号的空气净化器分别为9台、21台；

方案十一：A、B两种型号的空气净化器分别为10台、20台．

24．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠BAC，

∵点C是的中点，

∴∠EAC=∠BAC，

∴∠EAC=∠OCA，

∴OC∥AE，

∵AE⊥EF，

∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，

∴AC==4，

∵∠EAC=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，

∴△AEC∽△ACB，

∴=，

∴AE==．

25．

【解答】解：（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，

∴D（1，﹣4a）．

（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，

∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；

由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：

AC2=（0﹣3）2+（﹣3a﹣0）2=9a2+9、CD2=（0﹣1）2+（﹣3a+4a）2=a2+1、AD2=（3﹣1）2+（0+4a）2=16a2+4

由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，

化简，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1

即，抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3．

②∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，

∴PM∥x轴，且PM=OB=1；

设M（x，﹣x2+2x+3），则OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；

∵MF：BF=1：2，即BF=2MF，

∴2（﹣x2+2x+3）=x+1，化简，得：2x2﹣3x﹣5=0

解得：x1=﹣1、x2=

∴M（，）、N（，）．

③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如右图；

设Q（1，b），则QD=4﹣b，QB2=QG2=（1+1）2+（b﹣0）2=b2+4；

∵C（0，3）、D（1，4），

∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，

∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；

代入数据，得：

（4﹣b）2=2（b2+4），化简，得：b2+8b﹣8=0，

解得：b=﹣4±2；

即点Q的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．

26．

【解答】解：（1）∵AD=CD．

∴∠DAC=∠ACD=45°，

∵∠CEB=45°，

∴∠DAC=∠CEB，

∵∠ECA=∠ECA，

∴△CEF∽△CAE，

∴，

在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE=，

∵CA=2，

∴，

∴CF=；

（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，

∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，

∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，

∴∠ECA=∠ABF，

∵∠CAE=∠BAF=45°，

∴△CEA∽△BFA，

∴y====（0＜x＜2），

（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，

∴，

∴，

∴AB=x+2，

∵∠ABE的正切值是，

∴tan∠ABE===，

∴x=，

∴AB=x+2=．

2020届4月内蒙古包头市东河区中考数学模拟试卷(（有答案）)