2020年中国高中数学奥林匹克试题与解答 精品

发布时间：2023-04-10 15:12:31

2020年中国数学奥林匹克试题与解答(2020年1月11日一、给定锐角三角形PBC，PBPC．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O.过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD的中点分别为M，N．（1）若A，B，C，D四点共圆，求证：EMFNENFM；（2）若EMFNENFM，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论．解（1）设Q，R分别是OB，OC的中点，连接EQ，MQ，FR，MR，则11EQOBRM,MQOCRF，22又OQMR是平行四边形，所以OQMORM，由题设A，B，C，D四点共圆，所以ABDACD，于是EQO2ABD2ACDFRO，PAEQNORDFBMC所以EQMEQOOQMFROORMFRM，故EQMMRF，所以EM＝FM，同理可得EN＝FN，所以EMFNENFM．（2）答案是否定的．当AD∥BC时，由于BC，所以A，B，C，D四点不共圆，但此时仍然有EMFNENFM，证明如下：如图2所示，设S，Q分别是OA，OB的中点，连接ES，EQ，MQ，NS，则11NSOD,EQOB，22所以NSOD．①EQOB又ES11OA,MQOC，22
所以ESOA．②MQOC而AD∥BC，所以OAOD，③OCOBNSES．EQMQ由①，②，③得因为NSENSAASEAOD2AOE，EQMMQOOQEAOEEOB(1802EOBAOE(180EOBAOD2AOE，即NSEEQM，所以NSE～EQM，P故ENSEOA（由②）．EMQMOCAEQFNOA同理可得，，FMOCENFN所以，EMFM从而EMFNENFM．二、求所有的素数对（p，q），使得pq5p5q．NSDFROMCB解：若2|pq，不妨设p2，则2q|55，故q|525．由Fermat小定理，q|55，得q|30，即q2,3,5．易验证素数对(2,2不合要求，(2,3，(2,5合乎要求．若pq为奇数且5|pq，不妨设p5，则5q|55，故q|55qq1q2qq625．q1当q5时素数对(5,5合乎要求，当q5时，由Fermat小定理有q|51，故q|626．由于q为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以q313．经检验素数对(5,313合乎要求．若p,q都不等于2和5，则有pq|5p15q1，故

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