第7讲　抛物线

板块一　知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1　抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．

考点2　抛物线的标准方程与几何性质

[必会结论]

抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：

(1)x1x2＝word/media/image5.gif，y1y2＝－p2.

(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝word/media/image6.gif (α为弦AB的倾斜角)．

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．

(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p.

[考点自测]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)

(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)

(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是word/media/image7.gif，准线方程是x＝－word/media/image8.gif.(　　)

(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)

(5)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点Fword/media/image9.gif的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝word/media/image5.gif，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

2．[2018·江西八校联考]已知抛物线y＝ax2(a>0)的焦点到准线的距离为2，则a＝(　　)

A．4 B．2 C. word/media/image10.gif D. word/media/image11.gif

答案　C

解析　化为标准方程x2＝word/media/image12.gify，据题意word/media/image12.gif＝2×2，∴a＝word/media/image10.gif.

3．[课本改编]设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)

A．4 B．6 C．8 D．12

答案　B

解析　抛物线准线方程x＝－2，∴点P到准线的距离为6，∴P到焦点的距离也为6，选B.

4．[课本改编]已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)

A．y2＝±2word/media/image13.gifx B．y2＝±2x

C．y2＝±4x D．y2＝±4word/media/image13.gifx

答案　D

解析　由已知知双曲线的焦点为(－word/media/image13.gif，0)，(word/media/image13.gif，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则word/media/image14.gif＝word/media/image13.gif，所以p＝2word/media/image13.gif，所以抛物线方程为y2＝±4word/media/image13.gifx.故选D.

5．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)

A．2 B. word/media/image11.gif C. word/media/image15.gif D. word/media/image16.gif

答案　C

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，∴x1＋x2＝3，∴点C的横坐标是word/media/image17.gif＝word/media/image15.gif.故选C.

6．[2018·唐山模拟]若抛物线x2＝ay过点Aword/media/image18.gif，则点A到此抛物线的焦点的距离为________．

答案　word/media/image19.gif

解析　由题意可知，点A在抛物线x2＝ay上，所以1＝word/media/image10.gifa，解得a＝4，得x2＝4y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线的焦点的距离为yA＋1＝word/media/image10.gif＋1＝word/media/image19.gif.

板块二　典例探究·考向突破

考向　抛物线的方程及几何性质　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　(1)[2016·全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：y2＝4x 的焦点，曲线y＝word/media/image21.gif (k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)

A. word/media/image11.gif B．1 C. word/media/image15.gif D．2

答案　D

解析　易知抛物线的焦点为F(1,0)，设P(xP，yP)，由PF⊥x轴，可得xP＝1，代入抛物线方程，得yP＝2(－2舍去)，把P(1,2)代入曲线y＝word/media/image21.gif (k>0)，得k＝2.

(2)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2word/media/image13.gif的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.

①求该抛物线的方程；

②O为坐标原点，C为抛物线上一点，若word/media/image22.gif＝word/media/image23.gif＋λword/media/image24.gif，求λ的值．

解　①由题意得直线AB的方程为y＝2word/media/image13.gifword/media/image25.gif，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝word/media/image26.gif.

由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝word/media/image26.gif＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.

②由①得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2word/media/image13.gif，y2＝4word/media/image13.gif，从而A(1，－2word/media/image13.gif)，B(4，4word/media/image13.gif)．设C(x3，y3)，则word/media/image22.gif＝(x3，y3)＝(1，－2word/media/image13.gif)＋λ(4,4word/media/image13.gif)＝(4λ＋1,4word/media/image13.gifλ－2word/media/image13.gif)．

又yword/media/image27.gif＝8x3，所以[2word/media/image13.gif (2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.

触类旁通

求抛物线方程的三个注意点

(1)当坐标系已建立时，要注意根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；

(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；

(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．

【变式训练1】　(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1 B．x＝2

C．x＝－1 D．x＝－2

答案　C

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝－word/media/image25.gif，与抛物线方程联立得word/media/image28.gif消去y整理得：x2－3px＋word/media/image5.gif＝0，可得x1＋x2＝3p.根据中点坐标公式，有word/media/image29.gif＝3，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.

(2)过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝________.

答案　word/media/image30.gif

解析　设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

∵y2＝4x，∴抛物线的准线为x＝－1，F(1,0)，

又A到抛物线准线的距离为4，

∴xA＋1＝4，∴xA＝3，

∵xAxB＝word/media/image5.gif＝1，∴xB＝word/media/image31.gif，

∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋word/media/image31.gif＋2＝word/media/image30.gif.

考向　抛物线定义及应用

命题角度1　到焦点与到定点距离之和最小问题　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例2　[2018·赣州模拟]若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为(　　)

A．(0,0) B. word/media/image34.gif

C．(1，word/media/image13.gif) D．(2,2)

答案　D

解析　过M点作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．

命题角度2　到点与准线的距离之和最小问题　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例3　[2018·邢台模拟]已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．

答案　5

解析　依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.

命题角度3　到定直线的距离最小问题

例4　已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)

A. word/media/image35.gif B．2 C. word/media/image36.gif D．3

答案　B

解析　由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是word/media/image37.gif＝2.

命题角度4　焦点弦中距离之和最小问题

例5　已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)

A. word/media/image39.gif B．1 C. word/media/image19.gif D. word/media/image40.gif

答案　C

解析　如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，由抛物线的定义知p＝word/media/image11.gif，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，

则点M到y轴的距离为|MM1|－word/media/image14.gif＝word/media/image11.gif (|AA1|＋|BB1|)－word/media/image10.gif＝word/media/image19.gif.

触类旁通

与抛物线有关的最值问题的两个转化策略

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

考向　抛物线在实际生活中的应用

例6　一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图所示，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由．

解　建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，则A(－3，－3)，B(3，－3)．

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，

将B点坐标代入得9＝－2p·(－3)，所以p＝word/media/image15.gif.

所以抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．

因为车与箱共高4.5 m，

所以集装箱上表面距抛物线隧道拱顶0.5 m.

设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，则xword/media/image45.gif＝word/media/image15.gif，

所以|x0|＝word/media/image46.gif＝word/media/image47.gif，所以2|x0|＝word/media/image48.gif<3.

此车不能通过隧道．

触类旁通

与抛物线有关的桥的跨度、隧道高低等问题，通常建立直角坐标系，利用抛物线的标准方程解决，注意建立直角坐标系后坐标的正负及其实际意义．

考向　直线与抛物线的综合问题

例7　[2017·全国卷Ⅰ]设A，B为曲线C：y＝word/media/image50.gif上两点，A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1≠x2，y1＝word/media/image51.gif，y2＝word/media/image52.gif，x1＋x2＝4，

于是直线AB的斜率k＝word/media/image53.gif＝word/media/image54.gif＝1.

(2)由y＝word/media/image50.gif，得y′＝word/media/image55.gif.

设M(x3，y3)，由题设知word/media/image56.gif＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．

设直线AB的方程为y＝x＋m，

故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.

将y＝x＋m代入y＝word/media/image50.gif得x2－4x－4m＝0.

当Δ＝16(m＋1)>0，

2019届高三数学一轮复习经典学案（文理通用）：第8章 平面解析几何 第7讲抛物线