人教版高中数学必修一

————各章节知识点与重难点

第一章 集合与函数概念

1.1 集合

1.1.1集合的含义与表示

【知识要点】

1、集合的含义

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

2、集合的中元素的三个特性

（1）元素的确定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性

2、“属于”的概念

我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素

如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A，如果a不属于集合A 记作 aword/media/image1_1.pngA

3、常用数集及其记法

非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N*或 N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R

4、集合的表示法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}

（3）图示法（Venn图）

【重点】集合的基本概念和表示方法

【难点】运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合

1.1.2 集合间的基本关系

【知识要点】

1、“包含”关系——子集

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作Aword/media/image2_1.pngB

2、“相等”关系

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=Bword/media/image3_1.png

3、真子集

如果Aword/media/image4_1.pngB,且Aword/media/image5_1.pngB那就说集合A是集合B的真子集，记作Aword/media/image6_1.pngB(或Bword/media/image7_1.pngA)

4、空集

不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集.

【重点】子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系

【难点】弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

1.1.3 集合的基本运算

【知识要点】

1、交集的定义

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B={x| x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作“A并B”)，即A∪B={x | x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质

A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A.

4、全集与补集

（1）全集

如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

（2）补集

设U是一个集合，A是U的一个子集（即Aword/media/image8_1.pngU），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）。记作： CUA ，即 CSA ={x | xword/media/image9_1.pngU且 xword/media/image10_1.pngA}

（3）性质

CU(C UA)=A，(C UA)∩A=Φ，(C UA)∪A=U；

(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B)，(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B).

【重点】集合的交集、并集、补集的概念

【难点】集合的交集、并集、补集的概念与应用

1.2 函数及其表示

1.2.1函数的概念

【知识要点】

1、函数的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

【注意】

（1）如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

（2）函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

【定义域补充】

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零;

（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)

2、构成函数的三要素

定义域、对应关系和值域

【注意】

（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

3、相同函数的判断方法

（1）定义域一致；

（2）表达式相同 (两点必须同时具备)

【值域补充】

（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.

（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

4、区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示．

【重点】理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数

【难点】符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示

1.2.2函数的表示法

【知识要点】

1、常用的函数表示法及各自的优点

（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。

（2）函数的表示法

解析法：必须注明函数的定义域；

图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

【注意】

解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

2、分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

3、复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f是g的复合函数.

4、函数图象知识归纳

（1）定义

在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.

（2）画法

A、描点法

根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法

常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换

（Ⅰ）对称变换

①将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5

②y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如word/media/image11_1.png

③y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如word/media/image12_1.png

（Ⅱ）平移变换

由f(x)得到f(xword/media/image13_1.pnga) 左加右减；

由f(x)得到f(x)word/media/image14_1.pnga 上加下减

（3）作用

A、直观的看出函数的性质；

B、利用数形结合的方法分析解题的思路；

C、提高解题的速度；发现解题中的错误。

5、映射

定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：Aword/media/image15_1.pngB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：Aword/media/image16_1.pngB”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

【说明】

函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应

（1）集合A、B及对应法则f是确定的；

（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；

（3）对于映射f：A→B来说，则应满足：

（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6、函数的解析式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等

A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；

B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；

C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

【重点】函数的三种表示法，分段函数的概念，映射的概念

【难点】根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象，映射的概念

1.3函数的基本性质

1.3.1函数单调性与最大（小）值

【知识要点】

1、函数的单调性定义

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f(x1)2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间；

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

【注意】

（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x12时，总有f(x1)2)

（或f(x1)＞f(x2)）。

2、图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

3、函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法

①任取x1，x2∈D，且x12；

②作差f(x1)－f(x2)；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：同增异减

【注意】

函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

4、判断函数的单调性常用的结论

①函数word/media/image17_1.png与word/media/image18_1.png的单调性相反；

②当函数word/media/image18_1.png恒为正或恒有负时，word/media/image19_1.png与函数word/media/image18_1.png的单调性相反；

③函数word/media/image18_1.png与函数word/media/image20_1.png（C为常数）的单调性相同；

④当C > 0（C为常数）时，word/media/image18_1.png与word/media/image21_1.png的单调性相同；

当C < 0（C为常数）时，word/media/image18_1.png与word/media/image22_1.png的单调性相反；

⑤函数word/media/image23_1.png、word/media/image24_1.png都是增（减）函数，则word/media/image25_1.png仍是增（减）函数；

⑥若word/media/image26_1.png且word/media/image23_1.png与word/media/image24_1.png都是增（减）函数，则word/media/image27_1.png也是增（减）函数；

若word/media/image28_1.png且word/media/image23_1.png与word/media/image24_1.png都是增（减）函数，则word/media/image29_1.png也是减（增）函数；

⑦设word/media/image30_1.png，若word/media/image23_1.png在定义域上是增函数，则word/media/image31_1.png、word/media/image32_1.png、word/media/image33_1.png 都是增函数，而word/media/image34_1.png是减函数.

5、函数的最大（小）值定义

（ⅰ）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值．

（ⅱ）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥ M；

（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值.

【注意】

函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

6、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

利用图象求函数的最大（小）值

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

【重点】函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义

【难点】利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值.

1.3.2 函数的奇偶性

【知识要点】

1、偶函数定义

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

2、奇函数定义

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

【注意】

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

5、函数奇偶性的性质

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于word/media/image38_1.png轴对称.

③若word/media/image39_1.png为偶函数，则word/media/image40_1.png.

④若奇函数word/media/image39_1.png定义域中含有0，则必有word/media/image41_1.png.

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数word/media/image42_1.png与一个偶函数word/media/image43_1.png的和（或差）”.如设word/media/image44_1.png是定义域为R的任一函数， 则word/media/image45_1.png，word/media/image46_1.png.

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个（word/media/image47_1.png，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

【重点】函数的奇偶性的定义及其几何意义

【难点】判断函数的奇偶性的方法与格式

第二章 基本初等函数

2.1 指数函数

2.1.1指数与指数幂的运算

【知识要点】

1、根式的概念：

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作word/media/image48_1.png=0.

【注意】

(1)word/media/image49_1.png

(2)当 n是奇数时，word/media/image50_1.png ，当 n是偶数时，word/media/image51_1.png

2、分数指数幂

（1）正数的正分数指数幂的意义，规定：word/media/image52_1.png

（2）正数的正分数指数幂的意义：word/media/image53_1.png

（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3、实数指数幂的运算性质

（1）word/media/image54_1.png

（2）word/media/image55_1.png

（3）word/media/image56_1.png

【注意】

在化简过程中，偶数不能轻易约分；如word/media/image57_1.png

【重点】分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质

【难点】根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．

2.1.2指数函数及其性质

【知识要点】

1、指数函数的概念

一般地，函数word/media/image58_1.png 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

2、指数函数的图象和性质

【重点】指数函数的的概念和性质．

【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．

2.2 对数函数

2.2.1对数与对数运算

【知识要点】

1、对数的概念

一般地，如果word/media/image59_1.png ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：word/media/image60_1.png

（ a— 底数， N— 真数，word/media/image61_1.png— 对数式）

【注意】

（1）注意底数的限制，a>0且a≠1；

（2）真数N>0；

（3）注意对数的书写格式．

2、两个重要对数

（1）常用对数：以10为底的对数, word/media/image62_1.png ；

（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , word/media/image63_1.png．

3、对数式与指数式的互化

word/media/image64_1.png

对数式 指数式

对数底数← a → 幂底数

对数← x → 指数

真数← N → 幂

【结论】

（1）负数和零没有对数

（2）logaa=1, loga1=0，特别地，lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0

（3）对数恒等式：word/media/image65_1.png

4、如果a > 0，a 1，M > 0，N > 0 有

（1）word/media/image66_1.png

两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和

（1）word/media/image67_1.png

两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差

（3）word/media/image68_1.png

一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍

【说明】

（1）简易语言表达:”积的对数=对数的和”……

（2）有时可逆向运用公式

（3）真数的取值必须是(0,＋∞)

（4）特别注意：word/media/image69_1.png

word/media/image70_1.png

5、换底公式

word/media/image71_1.png

利用换底公式推导下面的结论

①word/media/image72_1.png ②word/media/image73_1.png③word/media/image74_1.png

【重点】对数的概念，对数式与指数式的相互转化

【难点】对数概念的理解，换底公式的应用

2.2.2 对数函数及其性质

【知识要点】

1、 对数函数的概念

函数word/media/image75_1.png (a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

【注意】

（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：word/media/image76_1.png，word/media/image77_1.png 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

（2）对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1

2、对数函数的图像与性质

对数函数word/media/image75_1.png(a>0，且a≠1)

【重要结论】

在logab中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时，有logab>0;

当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有logab<0.

【口诀】底真同大于0（底真不同小于0）.

（其中，底指底数，真指真数，大于0指logab的值） 3、如图，底数 a对函数word/media/image79_1.png 的影响.

规律：底大枝头低, 头低尾巴翘

4考点

Ⅰ、logab, 当a,b在1的同侧时, logab >0；当a,b在1的异侧时, logab <0

Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=logaa)进行传递.

Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性.

Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa ，用y=1去截图象得到对应的底数。

Ⅴ、y=ax(a>0且a ≠1) 与y=logax(a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。

5 比较两个幂的形式的数大小的方法

(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.

(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.

(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.

6 比较大小的方法

(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较

【重点】掌握对数函数的图象与性质

【难点】对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用

2.3幂函数

【知识要点】

1、幂函数定义

一般地，形如word/media/image81_1.png的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

2、幂函数性质归纳

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；

（3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

【重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质

【难点】画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律

第三章 函数的应用

3.1函数与方程

3.1方程的根与函数的零点

【知识要点】

1、函数零点的概念

对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点.（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标）

2、函数零点的意义

方程f(x)=0 有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.

3、零点定理

函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根.

4、函数零点的求法

求函数y=f(x)的零点：

（1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

5、二次函数的零点

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

（1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

【重点】零点的概念及存在性的判定

【难点】零点的确定

3.1.2用二分法求方程的近似解

【知识要点】

1、概念

对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

2、用二分法求方程近似解的步骤

⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；

⑵求区间(a,b)的中点c;

⑶计算f(c),

①若f(c)=0,则c就是函数的零点；

②若f(a)f(c)<0,则令b=c（此时零点x0∈(a,c)）

③若f(c)f(b)<0,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)）

(4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷

【重点】通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识

【难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解

3.2几类不同增长的函数模型

【知识要点】

1、评价模型

给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况

2、几个增长函数模型

一次函数：y=ax+b(a>0)

指数函数：y=ax(a>1) 指数型函数： y=kax(k>0,a>1)

幂函数： y=xn（ n∊N*) 对数函数：y=logax(a>1)

二次函数：y=ax2+bx+c(a>0)

增长快慢：V(ax)>V(xn)>V(logax)

解不等式 (1) log2x< 2x < x2 (2) log2x< x2 < 2x

3、分段函数的应用

注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间.

4、二次函数模型

y=ax2+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值.

5、一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布

【重点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义

【难点】怎样选择数学模型分析解决实际问题．

人教版高中数学必修一知识点与重难点