题1 已知的大小关系是 .

（第十一届高二第一试第11题）

解法1 ,.

.

解法2 ,.

解法3

=.

解法4 原问题等价于比较与的大小.由得,.

.

解法5 如图1,在函数的图象上取三个不同的点A（,）、B（,）、C（,）.

由图象,显然有,即,

即,亦即.

解法6 令,单调递减,而,,即,.

解法7 考虑等轴双曲线.

如图2,其渐近线为.在双曲线上取两点

A（,）、B（,）.

由图形,显然有,即,从而.

解法8 如图3.在Rt△ABC中,∠C为直角,BC=,AC=,BD=,则AB=,DC=.

在△ABD中,AB-ADAD,

从而AD-DC<DC,

即,故.

评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小,顺理成章,也很简洁.要注意的是：时,；时,.此题直接作差难以确定差与0的大小,解法3对的倒数作差再与0比较大小,使得问题顺利获解,反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题,构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得恰为其两个函数值,且该函数还应是单调的（最起码在包含对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型,将的大小关系问题转化成斜率问题加以解决,充分沟通了代数与几何之间的内在联系,可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景,构造平面图形,直观地使问题得到解决,这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.

有人对此题作出如下解答：

取则,

,可再取两组特殊值验证,都有.故答案为.

从逻辑上讲,取,得.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证,都得,也只能说明或作为答案是错误的,而不能说明一定是正确的,因为这不能排除的可能性.因此答案虽然正确,但解法是没有根据的.当然,如果将题目改为选择题：

已知的大小关系是 （ ）

A、 B、 C、 D、

此时用上述解法,且不用再取特殊值验证就可选D,并且方法简单,答案一定正确.

总而言之,特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷,那是因为选择支中的正确答案是唯一的,从而通过特殊值排除干扰支,进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论,而不能直接肯定正确答案,因此,用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然,利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.

题2 设,且恒成立,则的最大值为 （ ）

A、2 B、3 C、4 D、5

（第十一届高二第一试第7题）

解法1 原式．．而

+,且当,即时取等号．．．故选．

解法2 ,,已知不等式化为

．由,即,故由已知得,选．

解法3 由,知,有．又,

即,由题意,．故选．

解法4 ,．已知不等式可变形为

．记,

则．由题意,．故选．

解法5 于是

．比较得．故选．

评析 由已知,可得恒成立．根据常识“若恒成立,则；若恒成立,则,”的最小值就是所求n的最大值,故问题转化为求的最小值,上述各种解法都是围绕这一中心的,不过采用了不同的变形技巧,使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了；解法2运用了；解法3运用了；解法4运用了；解法5运用了．虽解法异彩纷呈,但却殊途同归．

此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P第8题：

已知,求证：．

证：令,则．

．,

．

此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式,使得推证更简单了．运用这一思路,又可得本赛题如下解法：

设,则．恒成立,就是恒成立．也就是恒成立．恒成立,

由题意得．故选．

再看一个运用这一思想解题的例子．

例 设,求证：．

（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）

证明 设则．

, ①,

,即

,．

本赛题还可直接由下面的命题得解．

命题 若,则．

证明 ,都大于．反复运用①式,可得: “若,则,当且仅当时取等号”.故有．

也可以这样证明：

,．故由柯西不等式,得

,即．,

．

由此可得本赛题的如下解法：

,,．由 题意,．故选．

由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设,并且,,则与的大小关系是 ( )

A、 B、 C、 D、

解 ,．故选．

题3 设实数满足,,则的最大值为 ( )

A、 B、 C、 D、

（第十一届高二培训题第5题）

解法1 设

则

即max=.故选D．

解法2 ,又,

当且仅当且即时取等号,

解法3

当且仅当时取等号,故.

解法4 设则

当且仅当共线,即时取等号,故.

解法5 若设,则直线与圆有公共点,于是

,即.

解法6　设,则

当且仅当时取等号,故．

解法7 构造函数,

则故

即

解法8 由还可构造图形（如图）,其中

为圆的直径,由托勒密定理,得,从而得,当且仅当且时取等号．．

评析 解法1抓住已知条件式的结构特征,运用三角代换法,合情合理,自然流畅,也是解决此类型问题的通法之一．

解法2运用基本不等式将放大为关于与的式子,再利用条件求出最大值．值得注意的是,稍不注意,就会得出下面的错误解法：

．故选A．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是①且②,而若①,②式同时取得,则,即这与题设矛盾！即当时,取不到．解法2是避免这种错误的有效方法．

由于向量与复数的模的平方是平方和形式,与已知形式一致,故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法,新颖而简洁．

解法5设后,将其看作动直线,利用该直线与定圆有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径,得,充分体现了等价转化的解题功能．

解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数

呢？主要基于两点：①为非负式（值大于等于0）,②由于,故有,而沟通了已知与未知的关系,故使问题得到解决．

解法8抓住已知两条件式的特征,构造了两个有公共边的直角三角形,利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解,充分揭示了这一代数问题的几何背景．

拓展 此题可作如下

推广 若则

（当且仅当时取得最大值）.

证明

当且仅当

本推广实际就是由著名的（柯西）不等式

（当且仅当时取等号）直接得到的一个结论．

推广有十分广泛的应用,现举一例：

例 已知求最大值．

解

＝8．由推广知当且仅当即时取等号．

题4 对于的一切实数,使不等式都成立的实数的取值范围是＿＿＿＿

（第十三届高二培训题第63题）

解法1 题设等价于或或,即或或,所以或或,即.

解法2 已知不等式即,令,则

当,即时,是的一次函数,因为,即时不等式恒成立,所以在上的图象恒在轴的下方,故有,即,解得 .

又当时,,适合题意,当时,不合题意.

故的取值范围是.

评析 解决本题的关键是如何根据条件构建关于的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法,为了达到分离参数的目的,又对分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于的不等式组,从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度,把已知不等式看成关于的不等式,从而将原问题转化为函数在上的图象恒在轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法,使得此题的解决显得既简捷,又直观易懂.

题5 当时,不等式恒成立,则的最大值是________.

(第十一届高二培训题第45题)

解法1 当时, ①,又有 ②, ②+①×2,得,,,即.由,得,.

解法2 , 又

, , 即, 当且仅当 且 , 即 时取等号. 恒成立,

. 于是.

解法3 原不等式等价于 ,由 ,可知. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需, 即即可, 故, 于是.

解法4 即 ①成立,又恒成立, 只要满足②就能使①恒成立.由②式,得,,③.由于对称轴,由二次函数的性质,当时,要③式恒成立,则 .

解法5 设（）,则=+

=.－1）,即2－,则,于是,由已知,得.

解法6 设则

表示在坐标系第一象限内以原点为圆心,为半径的圆及其外部.由得又它表示双曲线位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意,双曲线相切或相离,从而,即 .

解法7 运用结论“如果,则

当且仅当（常数）时取等号.”,由柯西不等式,有①,由得②.故得,当且仅当时取等号,由,得 .

解法8 运用结论“当且仅当成等差数列时取等号.”

.,当且仅当,即时取等号.令,得 .

评析 恒成立,.故问题的实质就是求的最小值（关于的式子）大于等于2的解.因而在的条件下,如何求的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换,解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（）一元二次不等式恒成立,求参数的范围问题,从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明）,各种解法异彩纷呈,都值得细细品味.

拓展 此题可作如下推广：

推广1 若,则,当且仅当成等差数列时取等号.

证明 由已知,,则,,.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（）,有

故.

当且仅当成等差数列时取等号.

推广2 若,则

,当且仅当时取等号.

证明 不妨设 , 由已知得

令,则=.由均值不等式,

即,则,即,

,当且仅当时取等号.

.

题6 已知,设,

,,那么的大小关系是 （ ）

A、 B、 C、 D、

（第八届高二第一试第10题）

解法1 设,.,而是减函数,

,即.,,

.,即.故.选D.

解法2 由题意,令,则,, ,,,,是减函数,又,,即.故选D.

评析 这是一个比较函数值大小的问题,通常利用函数的单调性.若函数单调递增（减）,则当时,,当时,

.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性,二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.

因为正确答案应对一切都正确,故又可以运用特殊值法.对内的某个角不正确的选择支都是错误的,由正确选择支的唯一性,也可选出正确答案.解法2便是取特殊值,排除了A、B、C、而选D的.

当然,此题也可用作差比较法来解：,,是单调减函数,,.

,.又

,即

,.选D.

题7 已知,不等式的解是 .

（第三届高二第二试第13题）

解 原不等式即.指数函数是减函数,,原不等式化为,即.又对数函数是减函数,,即,解得.对数函数的定义域是的实数,原不等式的解是或.

评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法,即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式,然后根据底数所属区间是或,确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性,再去掉底数或对数符号,转化成别的不等式.主要依据如下：

⑴若,则；

⑵若,则；

⑶若,则；

⑷若,则.

有时需要将常数化为指数式或对数式,其化法如下：

⑴（且）；（化为指数式）

⑵（且）.（化为对数式）

例如,将常数2化为3为底的指数式,将常数2化为3为底的对数式.

解指数不等式不需检验,但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义,这点常被忽略.

若一个指数不等式的指数部分是对数式,常常采用取对数法求解.

例 不等式的解集是 .

（第十一届高二培训题第40题）

解 两边取常用对数,得,即

或或.故所求解集是.

应当指出,两边取对数后,不等号的方向变不变,关键看取的是什么底数.如果底数大于1,则不等号方向不变,如果底数大于0且小于1,则不等号方向改变.

关于绝对值不等式,主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（为常数）.

⑴的解集是；

⑵的解集是；

⑶的解集是R；

⑷的解集是.

下列题目供练习：

⑴已知常数,则不等式的解集是 .

（第八届高二第一试第16题）

⑵若函数的定义域是不等式的解集,则的最小值= ；最大值= .

（第十届高二第一试第23题）

⑶不等式的解集是 .

（第九届高二培训题第23题）

⑷不等式的解是 （ ）

（A）或 （B）或

（C） （D）

答案 ⑴ ⑵ ；2 ⑶ ⑷A

题8 不等式 的解集是 ,实数的取值范围(用区间形式)是 .

(第一届高二第一试第18题)

解法1 由两边平方并整理得,此方程无实根,故,.又,.故填.

解法2 作出函数的图象(即图中的半圆)及函数的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,直线应在半圆的上方,由图象可知直线在轴上的截距.故填.

解法3 由,得.故设,,则已知不等式就是,即.

,又,.由题意得. 故填.

评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式 的解集是等价于不等式恒成立.有人认为不等式 的解集是等价于不等式有解,这种观点是错误的.事实上,时,不等式就有解(比如就是其一个解),而时,不等式即的解集却不是 (比如0就是它的一个解).

拓展 通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的

结论 已知为参数, 的值域是.

(1)若恒成立,则.

(2)若恒成立,则.

(3)若的解集是,则.

(4)若的解集是,则.

(5)若有解,则.

(6)若有解,则.

若将的值域改为、、等,也会有相应的结论,限于篇幅,不再一一列出．

根据这一结论,请回答下列问题：

1.不等式的解集是,则实数的取值范围是　　　．

2.不等式的解集是,则实数的取值范围是　　　．

3.不等式有解,则实数的取值范围是　　　．

4.不等式有解,则实数的取值范围是　　　．

5.不等式恒成立,则实数的取值范围是　　　．

6.不等式恒成立,则实数的取值范围是　　　．

答案　1. 2. 3. 4. 5. 6.

题9 不等式的解集是 （ ）

A、 B、

C、 D、

（第十三届高二第二试第8题）

解法1 当,即或时,原不等式就是即,解得.

当时,原不等式就是即解得或.

综上,所求解集为即.故选A.

解法2 如图,作函数和的图象.要求的解集就是,即在上方时的区间,即图中线段AB上的点所对应的横坐标所组成的区间.

又当时,由可解得.当时,由可解得,所求不等式的解集为,故选A.

解法3 同解法2画出图形后,可知解集为一个闭区间,且,对照 选择支.可知选A.

解法4 当时,时,故1.5不是原不等式的解,从而排除含1.5的B、C、D,故选A.

评析 解含绝对值的不等式,一般是先去掉绝对值符号,然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的,也是一种通法.

我们知道,方程的解就是函数与的图象交点的横坐标；若图象无交点,则方程无解.而不等式的解集则是函数的图象在的图象上方部分的点的横坐标的集合；若的图象都不在的图象的上方,则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决.

选择题的正确答案就在选择支中,只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此,解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支,进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解,而且十分方便.值得注意的是,特殊值只能否定错误结论,根据正确选择支的唯一性才能肯定正确答案.另外,如何选取特殊值也是很有讲究的,读者可在解题实践中体会并加以总结.

题10 不等式的解集是 .

（第十一届高二培训题第41题）

解 设y= ,由,得定义域为[,3].

即原不等式在定义域内恒成立,故所求解集为[,3].

评析 解无理不等式,通常是通过乘方去掉根号,化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想象该有多么复杂,若将题目改为“的解集是 ”,还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢？显然,常规方法已难以解决问题,怎么办呢？考虑到不等式中的x∈[,3],从而左边,故解集就是定义域,这就启示我们,当常规思维受阻或难以奏效时,就应积极开展非常规思维,另辟蹊径,寻求解决问题的新方法.

拓展 根据上面的分析,并加以拓广,我们可得

结论 设a,b,c是常数,若,则

当时,不等式的解集是的解集是；

当时, 不等式的解集是,的解集是;

当时, 不等式的解集是, 的解集是;

当时,不等式的解集是,的解集是.

根据这一结论,不难求得下列不等式的解集：

1、2sinx+3cosx>4;

2、;

3、;

4、sinx-cosx<.

答案：1、 2、[2,+∞ 3、 4、R

高中数学：希望杯竞赛试题详解（1-10题）