2017年全国研究生考试

数学（三）试题及答案

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1．若函数62f33ed9eb13898b89ab51d21b0df11f.png在e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png处连续，则

（A）ebd124191c1f68c32b9a10afa0dcf06a.png（B）917b52228ac0b91a10960882b4825e27.png（C）57afd198eda1a8bf641270d95a62e86b.png（D）0e6b379bcff3870897d9b4e34a273808.png

2．二元函数de417fa1046c7d48f47330d86a4a8b8a.png的极值点是（ ）

（A）5c16f757233856dcf311176b7410d2d5.png （B）3a65da281bf256a8a600d46e0c99625f.png （C）833261f1aad3efb93f207f21747f3ad0.png （D）fb0ce7c2864d45cd277575f863f6af1c.png

3．设函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是可导函数，且满足6e08fa1e174beb411e0ddbcd16a9a13b.png，则

（A）94770e14ba1ee8eb20b86b2783aca0a1.png （B）d314065c652eabc95229e926495074c9.png （C）520519d91bbf97f86bb1d084855c122f.png （D）15676dd6e31fd421fb687d07a273123b.png

4． 若级数021c345dad7d9882edbc2124d974953d.png收敛，则7de211558c5b2e4d2d6d255f028a1e1a.png（ ）

（A）c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png （B）c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png （C）768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png （D）02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png

5．设ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png单位列向量，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶单位矩阵，则

（A）767ec085adf0da86f6f3bb0dbea2fc91.png不可逆 （B）ed6202d8ccdeb376c3d69d9fa64c405b.png不可逆

（C）c33b0832f0ce960395b79afb992113f0.png不可逆 （D）e3a06894faeaea0b70d3ebea2e49d617.png不可逆

6．已知矩阵b26c87c5982ce389266ffd75e61f41dc.png，b03ecb5d022c980bfff2711064665b3b.png，131a3f1aa41c761ad9af408e41428a14.png，则

（A）01ccb16a998f5414dbd06c2f193ddf33.png相似，4b9bca0a86aa323765b1ca6e05d18856.png相似 （B）01ccb16a998f5414dbd06c2f193ddf33.png相似，4b9bca0a86aa323765b1ca6e05d18856.png不相似

（C）01ccb16a998f5414dbd06c2f193ddf33.png不相似，4b9bca0a86aa323765b1ca6e05d18856.png相似 （D）01ccb16a998f5414dbd06c2f193ddf33.png不相似，4b9bca0a86aa323765b1ca6e05d18856.png不相似

7．设6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png，0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png是三个随机事件，且01ccb16a998f5414dbd06c2f193ddf33.png相互独立，4b9bca0a86aa323765b1ca6e05d18856.png相互独立，则9b20fdf8efdd80e7d6ea1a67ca1c612d.png与0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png相互独立的充分必要条件是（ ）

（A）6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png相互独立 （B）6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png互不相容

（C）14e4803fea95406f641b92c0cc285b1a.png 相互独立 （D）14e4803fea95406f641b92c0cc285b1a.png互不相容

8．设1b84d5b2999531f89dfb90b0129f7310.png为来自正态总体c23227c78970277a748051a1bffec381.png的简单随机样本，若54dc6baf2177e6f1407e90369ecb4c6a.png，则下列结论中不正确的是（ ）

（A）86bc98e8a13d772aa0799f024471b596.png服从a20d5c2fbded80e02a601b75b6053b09.png分布 （B）92166197042dad7e23e36f58faa565fc.png服从a20d5c2fbded80e02a601b75b6053b09.png分布

（C）61c05c77707850076498a4094de8c1d4.png服从a20d5c2fbded80e02a601b75b6053b09.png分布 （D）3c9ff32a7edced5e052a8bb823f5c4a8.png服从a20d5c2fbded80e02a601b75b6053b09.png分布

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．f1bea47e81172aec4693f05ddb4b8e50.png ．

．

10．差分方程e2d5140fb93f17924b77f2b66a15a7d0.png的通解为 ．

11．设生产某产品的平均成本304c64386fed7fc30386923fdc8e6c12.png，其中产量为f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，则边际成本为 .

12．设函数3baf1600ae50930a155f58ae172b51bd.png具有一阶连续的偏导数，且已知ca13960a82f93f8b4b82d0e9b911233d.png，5f016edb975be55400ad115e27b32b33.png，则0d750bd7f42568b7927a2621bd0c8760.png

．

13．设矩阵95eaaa2a51a28c8213495f7c4f5ea58e.png，391ba748878db1fd12717e89244469d4.png为线性无关的三维列向量，则向量组d651301447e71fccdf2c6b6efae7f8e6.png的秩为 ．

14．设随机变量02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的概率分布为290377e5311901332b54e6412463a6c7.png，35e02eb0b7fdd8c63a70f513f69ce3f4.png，0ce9f4a3419007a8f4b12a0d29b04223.png，若d9b6fbe3d997e8d9aebc42b4820112d8.png，则fb7cc251a728740d05f486f70d7a8630.png ．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限359a799767684518e29d6013e80ed9b5.png

16．（本题满分10分）

计算积分091877242a542601c56a5b8dab45445e.png，其中f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png是第一象限中以曲线570201776491d89a9559514065e192fe.png与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴为边界的无界区域．

17．（本题满分10分）

求750ec5c0282730d29a3a9fdf303b7810.png

18．（本题满分10分）

已知方程8661e4e44eb7f6652df4b27d0fe80bfc.png在区间b6dbc33006b907f2db1855810abfce98.png内有实根，确定常数8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的取值范围．

19．（本题满分10分）

设d72410323deea29fa5e8f8ef9510ca90.png，34999b3844747f7ae0be7ab5675e633a.png为幂级数c5c3c6f8a7f0633658cbe5304463f9ce.png的和函数

（1）证明c5c3c6f8a7f0633658cbe5304463f9ce.png的收敛半径不小于c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png．

（2）证明ea769f2ac94c5abc2998417eb0d56f73.png，并求出和函数的表达式．

20．（本题满分11分）

设三阶矩阵4ac270067ce3b4e9b2a29860f0e79ad8.png有三个不同的特征值，且71883df23823513cb197529b66d78f76.png

（1）证明：8acafcff86299c0a7a8f7f13eefcf9c5.png；

（2）若7255f406a6122b6b5a8a7e52678361d6.png，求方程组7efa01a9efa5e8d0a9d24d907b41a5f2.png的通解．

21．（本题满分11分）

设二次型c4466a8400a1ec0add2695257e1262dc.png在正交变换03be54d959339477e35e8e5aab278d36.png下的标准形为04d81e8beec1d481d5134667d88450b5.png，求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值及一个正交矩阵f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png．

22．（本题满分11分）

设随机变量d23a4ce8bca0f4891e037439a79b45a6.png相互独立，且02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的概率分布为4c3abc4eb049f07a09826a46be09dba4.png，57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png的概率密度为86b347ab203a9eb588d1c40057770d64.png．

（1）求概率018f254a7a811c87defe9040894c51d3.png；

（2）求89643973bd6f1e58ba188c8b932000f4.png的概率密度．

23．（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次测量，该物体的质量a1155692e3f69913320174f980c7eaf1.png是已知的，设7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次测量结果57dc5e29b8ba3d9138cc5909983d3ca8.png相互独立且均服从正态分布3e3d9e3470d59bffc3eb3446f951e2f6.png该工程师记录的是7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次测量的绝对误差51bc09d297d9c14c07bf61d1d274b950.png，利用485e679f857c7ef7b8998268b47ae980.png估计参数3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png．

（1）求9d27043dd55e80b1c6a5568749275d60.png的概率密度；

（2）利用一阶矩求3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png的矩估计量；

（3）求参数3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png最大似然估计量．

答案及解析

1.【详解】7c83ea2a940aa7a2e9c83ac191fdf908.png，d08937b0146d6dfca64278bf88ed1df2.png，要使函数在e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png处连续，必须满足eb5ca3c183873a3a02d005e517bfbe79.png．所以应该选（A）

2. 【详解】100bea348b16aa6626080bf9eec58627.png，bdddb55663c56da2c25559eb82207d7e.png，

f265006e6e8b1474a876d1aeb0094564.png

解方程组fe278aec70b843f19c5e6e26413dcb2d.png，得四个驻点．对每个驻点验证79491d4381be03c48aba5edab1b1e94b.png，发现只有在点fb0ce7c2864d45cd277575f863f6af1c.png处满足751980298ad0eef7423efb4c69af5836.png，且bb8c1ba0c269fadf4f91623120a17eeb.png，所以fb0ce7c2864d45cd277575f863f6af1c.png为函数的极大值点，所以应该选（D）

3. 【详解】设9fcafe8fe0a818b766a213e3ff7347ea.png，则778fc23b217f1f9f348daf22deda38fe.png，也就是d5f0aefe1e8bedb87d60458b3d8af19a.png是单调增加函数．也就得到204d5f4686cb76c5fdfb59b299c89572.png，所以应该选（C）

4.【详解】iv34bd4b4ef2ae3d9cc8b5d42616bdf070.png时18883b209d9f8dfbf84f95e3648dddb4.png

显然当且仅当4ae7ac8fe6ed12b455318a3678dfabdf.png，也就是316e9e8d56f48e2888bc8ba9f9c4321d.png时，级数的一般项是关于9ba22ee6c5f55c74af52949dd103f942.png的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C）．

5.【详解】矩阵9978537c554f33ce9dd9c1bdbcd27250.png的特征值为c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png和47425da90092a0727c15c009fac9f866.png个cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png，从而b006ba48be0c824d6af0096328cb7b85.png的特征值分别为d41f92cd216f47671f8529b86dc6b001.png；4d46d56201a35410b55f68ce30300f93.png；34bc0208ef84efc19c1a5b871625029b.png；f1087a9d716e350df41664537fc705a9.png．显然只有767ec085adf0da86f6f3bb0dbea2fc91.png存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）．

6.【详解】矩阵6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png的特征值都是f56a35bcfeab2692542f7be2cac00a2b.png．是否可对解化，只需要关心7e4fc2871978cefa05cbfe3054da5cdd.png的情况．

对于矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，07902fdbada030c370ef04042cdb02ce.png，秩等于1 ，也就是矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png属于特征值7e4fc2871978cefa05cbfe3054da5cdd.png存在两个线性无关的

特征向量，也就是可以对角化，也就是76267125bc59f7261e099a1756c6abcd.png．

对于矩阵9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，1a5de64e75e6659b5b47e4943f12232e.png，秩等于2 ，也就是矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png属于特征值7e4fc2871978cefa05cbfe3054da5cdd.png只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然4b9bca0a86aa323765b1ca6e05d18856.png不相似故选择（B）．

7.【详解】

c32a97d3f8ce22535df232de3b7adac2.png

cb31aafbf5b672a2391efe214af2af6a.png

显然，9b20fdf8efdd80e7d6ea1a67ca1c612d.png与0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png相互独立的充分必要条件是186adfd73816424fe05f3e616efdfd78.png，所以选择（C ）．

8.【详解】

解：（1）显然468cc6f62d1644273c90dd4143cf5fa2.png且相互独立，所以86bc98e8a13d772aa0799f024471b596.png服从e53a2daf62185b266e9874d2bd8379fd.png分布，也就是（A）结论是正确的；

（2）f49b7a3b3671704c4e8d0528703ea8d2.png，所以（C）结论也是正确的；

（3）注意b94eb68b22cc5902bf4371d4cd73ef03.png，所以（D）结论也是正确的；

（4）对于选项（B）：c273d4c7da29abc512a56a848d23e637.png，所以（B）结论是错误的，应该选择（B）

9.解：由对称性知b62d768c7b491018229a15f76ff324fb.png

10.【详解】齐次差分方程78f6378eff39e03261753d0f16b5ffc8.png的通解为ab7da712eefd528cf703cf6999ddbae3.png；

设e2d5140fb93f17924b77f2b66a15a7d0.png的特解为2f197dbbd60c6616497f10ebd2289ae1.png，代入方程，得a726d057f869a8a7dd4d67e2a02e606d.png；

所以差分方程e2d5140fb93f17924b77f2b66a15a7d0.png的通解为3a1aca4a2770cab9c7dc4fa25d6b69e9.png

11.【详解】答案为340abbefba826021fba5ef88edda621b.png．

平均成本304c64386fed7fc30386923fdc8e6c12.png，则总成本为bbf662c5d6dfd508ca630a572bc51c62.png，从而边际成本为

4a4cd8703a6c45c45b411eb4964242f0.png

12.【详解】6aadf95a1903a13316b3ad987073d3cc.png，所以dedb7e2ae66fae057c07edfa86bc6119.png，由5f016edb975be55400ad115e27b32b33.png，得8df0070301d2c858f745526ae74f58df.png，所以d9f330fc1f20858f461b492818ed99f1.png

13.【详解】对矩阵进行初等变换93c7c2a47528acc89507a16266587bc4.png，知矩阵A的秩为2，由于391ba748878db1fd12717e89244469d4.png为线性无关，所以向量组d651301447e71fccdf2c6b6efae7f8e6.png的秩为2．

14.【详解】显然由概率分布的性质，知57b710c110c5c9d5cbb2ab285091c23c.png

40efc033ee9e4c33f5829338700e26a0.png，解得91687b26ada91475bff48a52492f5097.png

f59565be723c9f1bf50b1ca3419bc837.png，af492ac165691c74d3b08e80e9f9d382.png．

15.【详解】令a7a5e1377b8f49cea11c966210563bc0.png，则9130a7cc861e1fedf882ebd1ced38a88.png，9fd7b9d4b8b0d085c00f2e381c872f2e.png

3ed3a300c91937b3cfb5bc134df01206.png

16.【详解】

b89a510f66293b4adfc4ee6db9c87a54.png

17.【详解】由定积分的定义

1b12e47c70468698454795edd21e8d1a.png

18.【详解】设3c36debf47e7a6ccaa4d83d0f3e3803d.png，则

3aa3463094ef375d77522cac1c51789a.png

令daf849d7d3aba5302f1e168dd6e9bac5.png，则8b4fe458af7cae9138d9926867d93c43.png

a83549efb67694edf5d1c1b0501c44f9.png

51430068d1a3250d217e9050328a278d.png，所以620d7872524e44a56669d72441609ab4.png在b6dbc33006b907f2db1855810abfce98.png上单调减少，

由于f3afe8eac4be496506ec88186fa10278.png，所以当54cdc91a376b36571d8cabd0d7ee441f.png时，412a9ed3ccbb73c6ad4f86fac0af11fe.png，也就是e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png620d7872524e44a56669d72441609ab4.png在b6dbc33006b907f2db1855810abfce98.png上单调减少，当54cdc91a376b36571d8cabd0d7ee441f.png时，a24d0e8fc10943487a48fc50b1e59b21.png，进一步得到当54cdc91a376b36571d8cabd0d7ee441f.png时，99300cb144197ff8dc44e17568431c8f.png，也就是50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在b6dbc33006b907f2db1855810abfce98.png上单调减少．

898fc289ef590795c1a7533a16749d89.png，4810c81e42063be9c11820898072a242.png，也就是得到c67e01d69cb90885b3fd8aa72bc03eba.png．

19.【详解】（1）由条件7d6b2afc144505011211c2ddcf0a1a6a.png

也就得到5069d20ba6c216277d53a6afdb9b7b7d.png，也就得到2542de1bba83b34bde5e122273cfb440.png

bb721f208776d3f57dd9ee65d687b313.png

也就得到f507cfaeedd84f274c7980a8a3721e36.png

03a043083b8da9f6c858c25d50466d0f.png

441e7f5115f7488be7464883e30bb3c8.png，所以收敛半径d122556de2dcf68f5b5043c4106f6377.png

（2）所以对于幂级数c5c3c6f8a7f0633658cbe5304463f9ce.png， 由和函数的性质，可得067b4f10d2da6d8c13b0db1bb17f6fb1.png，所以

43460afe2f08730e06f5a213e2680ea7.png

也就是有ea769f2ac94c5abc2998417eb0d56f73.png．

解微分方程fed9ec15b82b3d26363f080604fa2379.png，得56c94979111fdbfb4b2d97bf48a4d1fb.png，由于57ec44340d891a7483d1347bc54fff3a.png，得38737fe6ddc121bb5607acf06eb65159.png

所以2fbc68033e61c25c80d327d4e56e052d.png．

20.【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png是非零矩阵，也就是77c72787d7b90647a23fa1ec5466e11a.png．

假若d6e21da93ddf6b61d6ea8de32ac8440a.png时，则2c3db681686c1b080e21688bf57b256a.png是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有fa3505854df613770cd1be1aa677175f.png，又因为84be0dc3110a69bd3a247a7197638835.png，也就是391ba748878db1fd12717e89244469d4.png线性相关，3ea0154ad02c7d41d0d606d8d6a6bc77.png，也就只有8acafcff86299c0a7a8f7f13eefcf9c5.png．

（2）因为8acafcff86299c0a7a8f7f13eefcf9c5.png，所以6fccd772924a8615ffb42b3356566114.png的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于84be0dc3110a69bd3a247a7197638835.png，所以基础解系为cc7cdf08176af63f356cd1494160b31b.png；

又由7255f406a6122b6b5a8a7e52678361d6.png，得非齐次方程组7efa01a9efa5e8d0a9d24d907b41a5f2.png的特解可取为4184a0027bbb6d60a1872020172b0400.png；

方程组7efa01a9efa5e8d0a9d24d907b41a5f2.png的通解为6041340ff3f9e1d919dda33f063f4e51.png，其中8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为任意常数．

21.【详解】二次型矩阵637a28ffd6e40b0cd260c9d35e706812.png

因为二次型的标准形为04d81e8beec1d481d5134667d88450b5.png．也就说明矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png有零特征值，所以70c4d4967045da64493638fe53c7b5db.png，故622a095dc9edee90d21fc439afb1ab02.png

4ab0f3b444ac2f7298e2f0efa21d6367.png

令5d9c68cca5353155d8b1137a32911652.png得矩阵的特征值为74a28e89b08ae13f222049d8b00f9f5b.png．

通过分别解方程组133ceb194480ede35c200ecb4e1fd726.png得矩阵的属于特征值b577d1b212fd657084fca53cdfd71059.png的特征向量e1969f655cb2a6a198dd9f85c77dcd54.png，属于特征值特征值540deb4c6774048be6ea0b1b8e9f7964.png的特征向量1db7ddf34b22f963d1186132b9129ad8.png，4ad5a6fb740bfbdc2aa6d593648fb2dc.png的特征向量271181c6e4e63ebdb25cd101f8e98ece.png，

所以1f79e5ef57170a57765b000ffa4c8038.png为所求正交矩阵．

22.【详解】（1）e5cca28159bf8db701098081d52b812b.png

所以8c652ca6e271e201c828828386d5f686.png

（2）89643973bd6f1e58ba188c8b932000f4.png的分布函数为

77f799376d2447417c5160d30c7e3990.png

故89643973bd6f1e58ba188c8b932000f4.png的概率密度为

6a5b94c9b17cce0f06b2b3f459604688.png

23.【详解】（1）先求9d27043dd55e80b1c6a5568749275d60.png的分布函数为

c41534730c2d5623785e5774a2fbdfeb.png

当e96ee77a37283dd1f1e6b6b61bd1901b.png时，显然8e0a4f9556cce6e1009d5b125f867326.png；

当a215ef04f45b349dfc7c83eb59f5b4a9.png时，795ce4b5600d705cfa7f0936556a7461.png；

所以9d27043dd55e80b1c6a5568749275d60.png的概率密度为a80f17cdba86fefbc41125e77c768683.png．

（2）数学期望274ca5c916ec47e70ce3e59205840aa6.png，

令ae43041345e62339a7735179f7a687cb.png，解得3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png的矩估计量776bc6cb393827ffda83045b0566f058.png．

（3）设485e679f857c7ef7b8998268b47ae980.png的观测值为7837f461164eae34b590ebb41e1ad674.png．当e9672390ca7b0fca55ab90a9a68cc118.png时

似然函数为f62bf525cd2d70e7012acae40eb843df.png，

取对数得：444f384ee78bd48b4901d6be6e740afc.png

令5316550ce1cd6c30896f0fac4bfee9b7.png，得参数3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png最大似然估计量为6f92252864775b0475a05991709dcc0f.png．

2017年研究生考试数学三试题及答案