上海市奉贤区2015届高三上学期期末考试（一模）

数学试题

时间120分钟 ，分值150 分 2015、1、8

一、填空题（每空正确3分，满分36分）

1．已知全集，集合，则 .

2．某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，其中种型号产品有件，那么此样本的容量 .

3．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .

4．若双曲线的一个焦点是，则实数 .

5．已知圆与直线相切，则圆的半径 .

6．若是实系数一元二次方程的一个根，则 .

7．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字、、、的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为”的概率是 .

8．函数的反函数为 .

9．在中，已知，且的面积，则的值为 .

10．已知为单位矩阵，且，则 .

11．如图，在矩形中，为边的中点，，，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .

12．定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为 .

二、单项选择题（每题正确3分，满分36分）

13．正方体中两条面对角线的位置关系是 （ ）

A．平行 B．异面

C．相交 D．平行、相交、异面都有可能

14．下列命题中正确的是 （ ）

A．任意两复数均不能比较大小 B．复数是实数的充要条件是

C．复数是纯虚数的充要条件是 D．的共轭复数是

15．与函数有相同图像的一个函数是 （ ）

A． B．

C． D．

16．下列函数是在上为减函数的是 （ ）

A． B． C． D．

17．在空间中，设、是不同的直线，、是不同的平面，且，，则下列命题正确的是 （ ）

A．若，则 B．若、异面，则、平行

C．若、相交，则、相交 D．若，则

18．设是函数图像上任意一点，则下列各点中一定在该图像上的是 （ ）

A． B． C． D．

19．设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则该椭圆的方程为 （ ）

A． B． C． D．

20．在二项式的展开式中，系数最大项的系数是 （ ）

A． B． C． D．

21．已知数列的首项，，则下列结论正确的是 （ ）

A．数列是等比数列 B．数列是等比数列

C．数列是等差数列 D．数列是等差数列

22．在中，，则角的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

23．对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若、且，则的上确界为 （ ）

A． B． C． D．

24．定义两个实数间的一种新运算“”：，、。对于任意实数、、，给出如下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是 （ ）

A．个 B．个 C．个 D．个

三、解答题（7+7+8+13+13+14+16=78分）(写出必要的解题步骤)

25．判断函数的奇偶性．

26．如图，四棱锥的侧棱都相等，底面是正方形，为对角线、的交点，，求直线与面所成的角的大小．

27．已知函数，求的最小正周期，并求在区间上的最大值和最小值．

28．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车辆，混合动力型公交车辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入辆．设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设、分别为年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。

（1）求、，并求年里投入的所有新公交车的总数；

（2）该市计划用年的时间完成全部更换，求的最小值．

29．曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹，设曲线的轨迹方程．

（1）求曲线的方程；

（2）定义：若存在圆使得曲线上的每一点都落在圆外或圆上，则称圆为曲线的收敛圆．判断曲线是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．

30．对于正项数列，若对一切恒成立，则对也恒成立是真命题．

（1）若，，且，求证：数列前项和；

（2）若，，求证：．

31．设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则称为定义在上的函数．

（1）证明函数是定义域上的函数；

（2）判断函数是否为定义域上的函数，请说明理由；

（3）若是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数．

2015年1月奉贤区高三数学调研测试参考解答

一、填空题（每题3分）

1． 2． 3． 4．

5． 6． 7． 8．

9． 10． 11． 12．

二、单项选择题（每题3分）

13．D 14．B 15．D 16．A 17．C 18．B

19．A 20．C 21．B 22．C 23．A 24．D

三、解答题（7+7+8+13+13+14+16=78分）

25．， 1分

所以函数的定义域是， 2分

定义域关于原点对称， 3分

4分

， 5分

而，，， 6分

所以是奇函数不是偶函数。 7分

26．为正方形，为、的中点，

又， 2分

因为与交于一点，

平面， 4分

为直线与平面所成的角， 5分

在 ， 6分

所以直线与平面所成的角为． 7分

27．解：

2分

， 4分

5分

因为，所以， 6分

当时，即时，的最大值为， 7分

当时，即时，的最小值为． 8分

28．（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，

依题意知，数列是首项为、公比为的等比数列； 1分

数列是首项为、公差为的等差数列， 2分

所以数列的前和， 4分

数列的前项和， 6分

所以经过年，该市更换的公交车总数

； 7分

（2）因为、是关于的单调递增函数， 9分

因此是关于的单调递增函数， 10分

所以满足的最小值应该是， 11分

即，解得， 12分

又，所以的最小值为147． 13分

29．（1）设动点为，则由条件可知轨迹方程是； 3分

（2）设为曲线上任意一点，可以证明

则点关于直线、点及直线对称的点仍在曲线上 6分

根据曲线的对称性和圆的对称性，若存在收敛圆，

则该收敛圆的方程是 7分

讨论：时最多一个有一个交点满足条件 8分

（1）代入（2）得 10分

曲线存在收敛圆 11分

收敛圆的方程是 13分

30．（1）， 2分

， 4分

， 6分

； 7分

(2)， 10分

， 11分

， 12分

13分

。 14分

31．（1）证明如下：

对任意实数及，

有 2分

， 4分

即， 5分

∴是函数； 6分

（2）不是函数， 7分

说明如下(举反例)：

取，，，

则

，

即，

∴不是函数； 10分

（3）假设是上的函数， 11分

若存在且，使得。

（i）若，

记，，，则，且，

那么

，

这与矛盾； 13分

（ii）若，

记，，，同理也可得到矛盾； 14分

∴在上是常数函数， 15分

又因为是周期为的函数，

所以在上是常数函数，这与的最小正周期为矛盾. 16分

所以不是上的函数。

上海市奉贤区2015届高三上学期期末考试（一模）数学试题