光栅衍射实验的误差分析及改进途径

摘要:平行光未能严格垂直人射光栅将形成误差,常用的对称测盘法只能消除误差的一阶修正项,仍存在二阶修正项误差。采用测t最小衍射角的方法能有效地消除一阶、二阶修正项的误差,而且能观测到更高级次的衍射条纹,从而减少读数误差,提高实验精度。

1光栅放置误差的理论分析

当平行光与光栅平面法线成a角斜入射时的光栅方程为

或

上两式中Φk,Φ'k的物理意义如下图所示。因此,如果光栅放置得不严格垂直于人射光,而实验测量时仍用公式(1) 进行波长、分辨率等物理量的计算,将造成实验误差。不失一般性,就方程(2)考虑人射角θ对测量结果的影。

图1 平行光斜入射光栅

将方程(2)展开并整理,得

(4)

与(1)式比较可知,由于人射角θ不等于零而产生了两项误差,如果θ很小,第一项tan

(Φk/2)sinθ≈tan(Φk/2) x θ可视为一阶小量,第二项2sin2θ/2≈θ2/2可视为二阶小量,为

方便计,称第一项为误差的一阶修正项,第二项为误差的二阶修正项。如果θ较大,则引起的误差不能忽略。进一步分析表明,在相同人射角θ的条件下,当衍射级次k增加时,

Φk增加,由于tanΦk就是递增函数,因此一阶修正项增大,测量高级次的光谱会使实验误差

增大;而误差的二阶修正项与衍射级次k与衍射角Φk无关。

从测量理论来瞧,衍射级次k越高,衍射角Φk越大,估读Φk引起sinΦk的相对误差越小,因为△sinΦk/sinΦk = ctgΦk△Φk,而ctgΦk就是递减函数。另外角色散率dΦk /dλ= tanΦk/λ因正比于tanΦk而增大;角分辨率因正比于衍射级次k而增加。因此测量高次的光谱非但不增大二阶修正项的相对误差,反而能减小其它物理量的测量误差,而误差的一级修正项则与此矛盾。

2减少误差的途径

如果能测出θ值代入(4)进行计算,理论上能对光栅放置不精确而引起的误差进行修正。但作为教学型实验,人射角θ的测量有一定难度,而且从测量理论上考虑,应尽可能减少直接测量量的数目。考虑到第一修正项系数为奇函数,因此可以用对称测量的方法来消除,这也就是通常实验所采用的。为此将(2)式与(3)式相加并两边同除2,得

可见第一修正项已消除,但第二修正项仍然存在。如按对称测量方法,取左右两个衍射角的平均值,计算波长等物理量应该用公式(5),而不能简单地把(Φk+Φ'k)当作Φk代人(1)式计算。

比如波长几的计算,若不计第二修正项,则有

因此,平行光不垂直入射引起波长测量的相对误差为

其相对误差完全由人射角θ决定,与衍射级次k与衍射角Φk无关,而且对不同光栅,第二修正项误差都一样。其误差随人射角θ改变的理论计算结果如图2所示。

图2 光栅放置未能使平行光垂直入射引起的误差

我们在JJY型(测量精度为δ=1',光栅常数d = 1/300mm,待测光波长λ= 589、3nm)分光计上进行了测量,测量结果以散点形式在图2上标出,测量误差与理论计算误差相一致。当人射角θ=2°时,理论计算误差为0、061%,实验测定误差为0、11%;人射角θ=4°时理论计算误差为0、24%,实验测定误差为0、26%;人射角θ=30°时,理论计算误差为15%,实验测定误差为14%;理论计算与实验测量结果都表明,当不垂直而偏离的角度较小时(θ<2°),这部分误差较小而可以忽略;如果偏离角度大时,测量误差会显著增加。因此通常的对称测量方法并非就是最佳的实验方案。

考虑(2)式,注意到衍射级次k与衍射角Φk与入射角θ有关,经过简单的数学证明可知,对于一定的衍射级次k,当θ=Φk /2时,dΦk /dθ=0,而且d2Φk /dθ2> 0,因此存在一个最小衍射角Φkmin ,此时光栅方程简化为

正如找三棱镜最小偏向角一样,可以通过实验方便地测量出这一最小衍射角。即首先把望远镜的十字叉丝对准某一衍射级次的谱线,转动载物台带动光栅作微小转动,在望远镜中可见到光谱线跟随着光栅转动而移动,由此可确定最小衍射角的截止位置,记下此时的读数Φ1,然后取走光栅,将望远镜对准平行光管,记下此时的读数Φ2,则Φkmin=|Φ2-Φ1|。与通常的测量方法一样,只需两次读数就能测出波长等物理量,而且消除了第一、第二修正项引起的误差。因此,测量光栅最小衍射角,由方程(8)进行波长、分辨率等物理量的计算,不仅消除了一阶、二阶修正项引起的误差,而且还有另外一个优点,即增加光栅的衍射级次k,如实验室常用光栅,用对称测量法一般只能观测到二级衍射条纹,采用最小衍射角法,则能方便地观则到四级衍射条纹,因而增加Φkmin值,减少读数引起的相对误差,从而有效地提高测量精度。

图3 最小衍射的测量

3结束语

光栅衍射实验就是测量精度比较高的普通物理实验,以波长测量为例,如果分光计的调整与光栅放置精确,则测量最大误差可由下式

进行估算。取分光计的仪器误差δ作为测量角度的误差,光栅常数d通过测量某一标准波长为λ0的入射光的衍射角求得,则测量光栅常数d的误差为△d/d二ctgΦk*△Φk,所以

可见,测量波长的相对误差随衍射角的增加而快速减小。以对汞灯光谱的绿光波长测量为例,对一、二级谱线,其衍射角分别约为9°33',与19°23',取△Φk =δ=1',则△λ/λ分别为0、24%与0、12%,但学生测量结果的相对误差大多超过1、0%,其主要原因在于分光计的调整与光栅放置不精确。我们将其改为测量三阶最小衍射角,结果实验精度在1、0%以内。因此测量最小衍射角法可以在学生实验推广使用。

4讨论测量误差

这种方法的主要误差在于用光强来判断两套莫尔条纹重合的光强测量精度。因此,提高测量精度的主要方法就是提高光强测量精度或增加z2- z1之值。

设由光强测量误差引起的位置误差为△z ,则

当光强测量精度为0、5%,则△z=1、16mm,按照(15)式计算的值为0、28%。实际测量中常用不同K时的位置代入式(14)中计算,取平均值作为测量结果,偶然误差的影响减少。

干涉条纹重迭法中,单独每一套条纹在空间任一位置对比度都比较好,因此,当两套干涉条纹重合时,对比度就是更好的,测量将就是更精确。此方法的条件限制就是要求试件φ角比较小。

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