2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）

理科数学

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知复数满足word/media/image2.gif，则word/media/image3.gif的模为（ ）

A．word/media/image4.gif B．word/media/image5.gif C．word/media/image6.gif D．word/media/image7.gif

2. word/media/image8.gif为第三象限角，word/media/image9.gif，则word/media/image10.gif（ ）

A．word/media/image11.gif B．word/media/image12.gif C．word/media/image13.gif D．word/media/image14.gif

3.已知全集为word/media/image15.gif，集合word/media/image16.gif，word/media/image17.gif，则word/media/image18.gif（ ）

A．word/media/image19.gif B．word/media/image20.gif C．word/media/image21.gif D．word/media/image22.gif

4.不等式word/media/image23.gif所表示的区域为word/media/image24.gif，函数word/media/image25.gif的图象与word/media/image26.gif轴所围成的区域为word/media/image27.gif.向word/media/image24.gif内随机投一个点，则该点落到word/media/image27.gif内概率为（ ）

A．word/media/image28.gif B．word/media/image29.gif C．word/media/image30.gif D．word/media/image31.gif

5.直线word/media/image32.gif过抛物线word/media/image33.gif：word/media/image34.gif的焦点且与word/media/image26.gif轴垂直，则直线word/media/image32.gif与word/media/image33.gif所围成的面积等于（ ）

A．word/media/image36.gif B．word/media/image37.gif C．word/media/image38.gif D．word/media/image39.gif

6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（ ）

A．word/media/image40.gif B．word/media/image41.gif C．word/media/image42.gif D．word/media/image43.gif

7.阅读如图所示程序框图，运行相应的程序.当输入的word/media/image44.gif时，则输出word/media/image45.gif的范围是（ ）

A．word/media/image46.gif B．word/media/image47.gif C．word/media/image48.gif D．word/media/image49.gif

8.函数word/media/image50.gif的图象沿word/media/image26.gif轴向右平移word/media/image51.gif个单位后，得到word/media/image52.gif为偶函数，则word/media/image53.gif的最小值为（ ）

A．word/media/image54.gif B．word/media/image55.gif C．word/media/image56.gif D．word/media/image57.gif

9.平面word/media/image58.gif内有word/media/image59.gif个点（无三点共线）到平面word/media/image60.gif的距离相等，能够推出word/media/image61.gif，三个平面将空间分成word/media/image53.gif个平面，则word/media/image62.gif的最小值为（ ）

A．word/media/image63.gif B．word/media/image64.gif C．word/media/image65.gif D．word/media/image66.gif

10.已知word/media/image26.gif，word/media/image45.gif满足word/media/image67.gif，word/media/image68.gif的最小值、最大值分别为word/media/image69.gif，word/media/image70.gif，且word/media/image71.gif对word/media/image72.gif上恒成立，则word/media/image73.gif的取值范围为（ ）

A．word/media/image74.gif B．word/media/image75.gif C．word/media/image76.gif D．word/media/image77.gif

11.向量word/media/image78.gif，word/media/image79.gif，word/media/image80.gif满足：word/media/image81.gif，word/media/image82.gif，word/media/image83.gif，则word/media/image84.gif最大值为（ ）

A．word/media/image85.gif B．word/media/image86.gif C．word/media/image87.gif D．word/media/image88.gif

12. word/media/image89.gif的导函数满足：当word/media/image90.gif时，word/media/image91.gif，则（ ）

A．word/media/image92.gif B．word/media/image93.gif

C．word/media/image94.gif D．word/media/image95.gif

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）

13.二项式word/media/image96.gif展开式中，只有第word/media/image97.gif项的二次项系数最大，则展开式中常数项是 ．

14.已知两个圆word/media/image98.gif，word/media/image99.gif与两坐标系都相切，且都过点word/media/image100.gif，则word/media/image101.gif ．

15.在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想.比如在word/media/image102.gif中“...”即代表无限次重复，但原数中有个定数word/media/image26.gif，这可以通过word/media/image103.gif确定出来word/media/image104.gif，类似地可得到：word/media/image105.gif ．

16. word/media/image106.gif中，角word/media/image107.gif，word/media/image108.gif，word/media/image109.gif所对边分别为word/media/image69.gif，word/media/image70.gif，word/media/image110.gif.word/media/image111.gif是word/media/image112.gif边的中点，且word/media/image113.gif，word/media/image114.gif，word/media/image115.gif，则word/media/image106.gif面积为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）

17.数列word/media/image116.gif满足word/media/image117.gif.

（1）求数列word/media/image116.gif的通项公式；

（2）设word/media/image118.gif，求word/media/image119.gif的前word/media/image59.gif项和word/media/image120.gif.

18.甲乙两个班进行物理测试，其中女生word/media/image121.gif人，男生word/media/image122.gif人，从全部word/media/image123.gif人任取一人及格的概率为word/media/image124.gif，并且男生和女生不及格人数相等.

（1）完成如下word/media/image125.gif列联表

（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过word/media/image126.gif的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？

（3）从两个班有放回的任取word/media/image127.gif人，记抽取的word/media/image127.gif人中不及格人数为word/media/image128.gif，求word/media/image128.gif的数学期望和方差.

附：word/media/image129.gif.

19.平行六面体word/media/image140.gif中，底面word/media/image141.gif为菱形，word/media/image142.gif，word/media/image143.gif，word/media/image144.gif.

（1）证明：平面word/media/image146.gif平面word/media/image147.gif；

（2）设word/media/image148.gif与word/media/image149.gif交于word/media/image150.gif点，求二面角word/media/image151.gif平面角正弦值.

20.已知椭圆word/media/image33.gif：word/media/image152.gif，点word/media/image107.gif、word/media/image108.gif、word/media/image109.gif都在椭圆word/media/image33.gif上，word/media/image150.gif为坐标原点，word/media/image111.gif为word/media/image153.gif中点，且word/media/image154.gif.

（1）若点word/media/image109.gif的坐标为word/media/image155.gif，求直线word/media/image153.gif的方程；

（2）求证：word/media/image106.gif面积为定值.

21.设word/media/image156.gif.

（1）word/media/image157.gif在word/media/image158.gif上单调，求word/media/image69.gif的取值范围；

（2）已知word/media/image159.gif在word/media/image160.gif处取得极小值，求word/media/image69.gif的取值范围.

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线word/media/image24.gif的参数方程为：word/media/image161.gif（word/media/image58.gif为参数），曲线word/media/image27.gif的极坐标方程为word/media/image162.gif.

（1）求曲线word/media/image24.gif的普通方程与曲线word/media/image27.gif的直角坐标方程；

（2）曲线word/media/image24.gif与曲线word/media/image27.gif有两个公共点，求word/media/image53.gif的取值范围.

23.选修4-5：不等式选讲

已知word/media/image163.gif.

（1）解不等式：word/media/image164.gif；

（2）不等式word/media/image165.gif对任意word/media/image166.gif恒成立，求word/media/image26.gif的范围.

2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）

理科数学参考答案

一、选择题

1-5: CBCAC 6-10: CDDCB 11、12：DC

二、填空题

13. word/media/image167.gif 14. word/media/image168.gif 15. word/media/image169.gif 16. word/media/image170.gif

三、解答题

17.解：（1）当word/media/image171.gif时，word/media/image172.gif；

当word/media/image173.gif，word/media/image174.gif word/media/image175.gif，可得word/media/image176.gif，

又∵当word/media/image171.gif时也成立，∴word/media/image176.gif；

（2）word/media/image177.gifword/media/image178.gif，

∴word/media/image179.gifword/media/image180.gif

word/media/image181.gif.

18.解：（1）

（2）由word/media/image185.gifword/media/image186.gif，犯错误概率不超过word/media/image126.gif的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关；

（3）由题意可知word/media/image187.gif，∴word/media/image188.gif，∴word/media/image189.gif.

19.（1）证明：设word/media/image149.gif，word/media/image148.gif交于点word/media/image150.gif，∵底面word/media/image141.gif为菱形，∴word/media/image190.gif，又∵word/media/image144.gif，word/media/image150.gif是word/media/image148.gif的中点，∴word/media/image191.gif，word/media/image192.gif，∴word/media/image193.gif平面word/media/image194.gif，又∵word/media/image195.gif平面word/media/image147.gif，∴平面word/media/image146.gif平面word/media/image147.gif；

（2）解：∵word/media/image196.gif，word/media/image150.gif是word/media/image149.gif的中点，∴word/media/image197.gif，word/media/image198.gif，word/media/image199.gif，word/media/image200.gif两两垂直，以word/media/image199.gif，word/media/image200.gif，word/media/image198.gif分别为word/media/image26.gif，word/media/image45.gif，word/media/image3.gif轴建立空间直角坐标系如图所示，

设word/media/image201.gif，由题得word/media/image202.gif，word/media/image203.gif，word/media/image204.gif，则

word/media/image205.gif，word/media/image206.gif，word/media/image207.gif，word/media/image208.gif，

设word/media/image209.gif是平面word/media/image210.gif的一个法向量，

word/media/image211.gif，word/media/image212.gif，

word/media/image213.gif，可得word/media/image214.gif，

设word/media/image215.gif是平面word/media/image216.gif的一个法向量，

word/media/image217.gif，word/media/image218.gif word/media/image219.gif，

word/media/image220.gif，可得word/media/image221.gif，

word/media/image222.gifword/media/image223.gif，

∴二面角word/media/image151.gif平面角正弦值为word/media/image224.gif.

20.解：（1）设word/media/image226.gif，word/media/image227.gif，word/media/image228.gif，∵word/media/image154.gif，∴word/media/image229.gif，将word/media/image107.gif，word/media/image108.gif带入椭圆方程中，可得word/media/image230.gif化简可得

word/media/image231.gif，

∴word/media/image232.gifword/media/image233.gif，

∴直线word/media/image234.gif的方程为word/media/image235.gif；

（2）证明：设word/media/image236.gif，∴word/media/image237.gif，

①当直线word/media/image153.gif的斜率不存在时，word/media/image238.gif，由题意可得word/media/image239.gif，word/media/image240.gif，word/media/image241.gif或word/media/image242.gif，word/media/image243.gif，word/media/image244.gif，此时word/media/image245.gif；

②当直线word/media/image153.gif的斜率存在时，word/media/image246.gif，由（1）word/media/image247.gif，

∴word/media/image153.gif：word/media/image248.gif，即直线word/media/image153.gif：word/media/image249.gif word/media/image250.gif，

即word/media/image251.gif，word/media/image252.gif word/media/image253.gif，

∴word/media/image254.gif，word/media/image255.gif，∵word/media/image154.gif，

word/media/image256.gif

word/media/image257.gif

word/media/image258.gif，

word/media/image150.gif到word/media/image153.gif的距离word/media/image259.gif，

word/media/image260.gifword/media/image261.gif.∴word/media/image262.gif为定值.

21.解：（1）由word/media/image263.gif，

即word/media/image264.gif，word/media/image265.gif，

word/media/image266.gif，

①word/media/image267.gif在word/media/image158.gif上单调递增，∴word/media/image268.gif对word/media/image269.gif恒成立，即word/media/image270.gif对word/media/image269.gif恒成立，得word/media/image271.gif；

②word/media/image267.gif在word/media/image158.gif上单调递减，∴word/media/image272.gif对word/media/image269.gif恒成立，即word/media/image273.gif对word/media/image269.gif恒成立，得word/media/image274.gif，

由①②可得word/media/image69.gif的取值范围为word/media/image275.gif；

（2）由（1）知，

①word/media/image276.gif，word/media/image277.gif在word/media/image278.gif上单调递增，∴word/media/image279.gif时，word/media/image280.gif，word/media/image159.gif单调递减，word/media/image281.gif时，word/media/image282.gif，word/media/image159.gif单调递增，∴word/media/image159.gif在word/media/image160.gif处取得极小值，符合题意；

②word/media/image283.gif时，word/media/image284.gif，又word/media/image277.gif在word/media/image285.gif上单调递增，∴word/media/image279.gif时，word/media/image280.gif，∴word/media/image286.gif时，word/media/image282.gif，∴word/media/image159.gif在word/media/image287.gif上单调递减，word/media/image288.gif上单调递增，word/media/image159.gif在word/media/image160.gif处取得极小值，符合题意；

③word/media/image289.gif时，word/media/image290.gif，word/media/image277.gif在word/media/image287.gif上单调递增，∴word/media/image281.gif上单调递减，

∴word/media/image265.gif时，word/media/image291.gif，word/media/image159.gif单调递减，不合题意；

④word/media/image292.gif时，word/media/image293.gif，当word/media/image294.gif时，word/media/image282.gif，word/media/image159.gif单调递增，当word/media/image281.gif时，word/media/image280.gif，word/media/image159.gif单调递减，∴word/media/image159.gif在word/media/image160.gif处取得极大值，不符合题意；

综上所述，可得word/media/image295.gif.

22.解：（1）在曲线word/media/image24.gif中word/media/image296.gifword/media/image297.gifword/media/image298.gif，

∴曲线word/media/image24.gif的普通方程为word/media/image299.gif，word/media/image300.gif.

在曲线中：由可得，∴曲线的直角坐标方程为；

（2）联立word/media/image301.gifword/media/image302.gif，word/media/image300.gif有两解，

令word/media/image303.gif，在word/media/image304.gif上有两解，

∴word/media/image305.gif，

∴word/media/image306.gif.

23.解：（1）①word/media/image307.gif，

②word/media/image308.gifword/media/image309.gif，

③word/media/image310.gifword/media/image311.gif，

由①②③可得word/media/image312.gif；

（2）①当word/media/image313.gif时，word/media/image314.gif，∴word/media/image315.gif；

②当word/media/image316.gif时，即word/media/image317.gif对word/media/image53.gif恒成立，

word/media/image318.gif，当且仅当word/media/image319.gif，即word/media/image320.gif时取等号，

∴word/media/image321.gif，解得word/media/image322.gif.

“”——

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