椭圆第二定义教案

教学目标

1. 理解椭圆的第二定义以及它与第一定义的等价性.

2. 理解椭圆第二定义中蕴含的转化思想，培养学生思维的灵活性，从而加深对椭圆性质的理解.

重点难点分析

教学重点：（1）用坐标法研究椭圆的第二定义.

（2）理解准线与相应焦点的对应关系.

（3）灵活运用椭圆第二定义解决有关问题.

教学难点：（1）椭圆两种定义的等价性.

（2）椭圆第二定义的灵活运用.

课前准备

1. 椭圆几何性质（小黑板）.

2. 练习（1）、（2）（小黑板）.

3. 教法准备：准备采用探索法，引导学生运用所学知识自己探索发现椭圆的第二定义.

教学设计

【课前预习】

课前给五分钟学生看课本第111页例4的求解过程，然后对比8.1节用椭圆定义推导椭圆标准方程时的化简过程有何异同.

【复习旧知识】

（1）求点的轨迹方程的一般步骤.

（2）椭圆定义？它的几何性质有哪些？

【提出问题，引入新课】

例4 点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹.

分析：这是根据给定条件求点的轨迹问题，同学们只要按照求点的轨迹方程的一般步骤进行求解即可，让学生动手独立完成.

解：设是点到直线的距离，根据题意，所求轨迹满足

即

将两边平方得

所求的点的轨迹方程为：

.

【探索问题】

1. 引导学生分析上述解法是否完成了此题？

所求的仅是点的轨迹方程，要进一步描述图形，还得进一步化简.

2. 引导学生回忆课前的预习是否曾见过此方程？当时是如何处理的？

曾在学习椭圆的标准方程时，得到了这个方程.见8.1节，若令，可把方程化简为 .即得到了椭圆的标准方程.

3. 这是否是一种巧合呢？引导学生对照8.1节及本例题，分析两种方法得到的椭圆有何异同？把8.1节中得到的等式变形可得到：

，

即

也即 .

故两种方法得到的椭圆方程可以相互转化，即是等价的.这就是今天我们所要学习的椭圆的新的定义.

4.引入椭圆新定义

当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆准线，常数是离心率.

5. 引导学生分析新定义（常叫椭圆第二定义，也是圆锥曲线的统一定义）

（1）椭圆的两种定义是等价的，只是研究角度不同.

（2）椭圆第二定义中新增了准线概念，椭圆的性质又多了一个内容.

(3) 由椭圆的对称性，椭圆的准线有两条，而且与焦点是对应的.对于椭圆，相对于左焦点的左准线为，相对于右焦点的右准线为.

(4) 定义中的比是有顺序的，先点后线，且是同侧对应的焦点和准线.

【课堂答疑】

给三分钟时间学生，针对本节课有哪个知识点有疑惑进行提问.

【课堂练习】

1. 教科书练习第6题、习题8.2第7题.

2.（1）已知椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14，且准线方程为.则椭圆标准方程为多少？

（2） 已知是椭圆上的点，到右准线的距离为8.5，则到左焦点的距离为多少？

【课堂小结】

1. 本节课学习了椭圆的第二定义，它与第一定义是等价的.

2. 准线与焦点是一一对应关系，不可混淆.

3. 椭圆的两种定义可以相互转化.

4. 椭圆的几何性质新增了准线方程.

【作业布置】

习题8.2第8、9题

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